打破思維定式 感悟代數思想
——“認識方程”教學案例研究

安徽碭山縣實驗小學（235300）房天營

【案例背景】

方程是小學階段培養學生代數思想的重要載體，是學生由算術思維邁向代數思維的起點，所以方程在小學階段具有極其重要的地位。方程是學生在經歷了用字母表示數的過程，并且會尋找數量之間的等量關系的基礎上學習的。然而，無論是用字母表示數，還是尋找數量之間的等量關系，對學生而言都是很抽象的，他們一下子很難接受代數思維，所以教學的難度很大。

【教學內容分析】

“認識方程”這節課的重點是要學生結合具體情境了解方程的意義，會用方程表示情境中的等量關系，并且經歷將現實問題抽象成等式與方程的過程，學生在學習的過程中將積累等量關系符號化的活動經驗。為了使學生體會方程是刻畫現實世界的一個數學模型，激發學生的學習興趣，教材編排了三個情境（如圖1-1、1-2、1-3）和三個問題：

圖1-1

圖1-2

圖1-3

第一個問題是用口頭語言描述上述情境中的等量關系（如圖2）。

圖2

第二個問題是引入“用字母表示數”，引導學生用式子表示情境中的等量關系（如圖3）。

第三個問題是觀察上面表示等量關系所用的式子，抽象并概括出共同特征，從而認識方程（如圖4）。

圖4

【教學回放】

師（出示圖1-1）：估一估櫻桃的質量。

生1：我估計大約有10克。

生2：我估計大約有30克。

師：你們說的都是具體的數量，能不能用字母來表示櫻桃的質量？

生3：櫻桃的質量是n克。

生4：櫻桃的質量是x克。

……

出示：

圖5

師：根據這幅圖說一個式子。

生5：櫻桃的質量+小砝碼的質量=大砝碼的質量。

師：現在櫻桃的質量是x克，能列出一個式子嗎？

生6：x+2=10。

［教學思考：借助天平直觀演示平衡，說明兩邊物體的質量相等，學生說出等量關系后很容易列出等式。由實物演示到抽象式子的過程，學生的思維能力得到進一步發展。］

出示圖6：

圖6

師：觀察情境圖，說出圖中的數量關系。

生7：4塊月餅的質量=380克。

生8：每塊月餅的質量×4=380克。

生9：380÷4就等于每塊月餅的質量。

師：如果每塊月餅重y克，能列出一個等式嗎？

生10：380÷4=y。

師（有點著急）：沒錯，這是一個等式，但不是根據“每塊月餅的質量×4=380克”來列的，還可以怎么列？

（學生沉默）

師：看黑板上的式子“每塊月餅的質量×4=380克”，左邊是什么？右邊呢？怎么列式？

生11：y×4=380。

出示：4塊月餅的質量=380克

4y=380

［教學思考：由天平過渡到電子秤，形式的變化使學生失去了直觀的兩端相等的參照，陷入了用算術法計算結果的慣性思維當中。盡管教師一再啟發、提示，但學生由于沒有學習方程，始終很難想到用方程式子表示等量關系。］

出示課本情境圖：

圖7

師：看到這幅圖，你會列式嗎？

生12：（2000-200）÷2。

師：為什么這樣列式？

生12：這樣可以算出每個熱水瓶能裝900毫升水。

師：我們不需要計算出結果，只需要表示它們之間的相等關系。2個熱水瓶的容量和1個水杯的容量正好是水壺的容量，應該怎樣列式？

生13：2個熱水瓶的容量+1個水杯的容量=水壺的容量。

師：如果每個熱水瓶的容量是n毫升，怎樣用式子表示？

生14：2×n+200=2000。

生15：2n+200=2000。

（教師根據板書的算式分類、歸納，揭示方程的概念。然而在練習環節，學生依然出現了“不列方程，而用算術方法直接算出結果”的現象。）

［教學思考：用語言表達等量關系本身就是教學的難點，更何況是這么復雜的等量關系，學生不能順利說出等量關系也是意料之中。但教師沒有更好的辦法引導學生感受順向思維的優勢。］

出示圖8：

圖8

生16：x+20=20+50。

出示圖9：

圖9

生17：（11-7）÷2=x。

（有的學生干脆直接算出了結果）

【案例研討】

在議課環節，評課教師給出了積極的評價：執教者語言幽默詼諧，尤其是肢體語言極為豐富，課堂上笑聲不斷，給學生營造了一個愉快的學習氛圍；這節課的教學設計樸實而有新意，教學過程真實而生動，學生學得輕松又愉快。但是也提出了存在的問題：在揭示方程概念時，學生列方程表示的式子始終沒能達到要求，雖然這是學生真實的學習狀態，但是顯然沒有達到預期的教學效果。

學生在表示情境圖中的等量關系時為什么不會順向思維用方程表示，非得逆向思維用算術方法計算出結果呢？如何解決這一問題？

【案例分析及思考】

帶著這個問題，筆者認真查閱了相關資料并積極和教研組的教師進行了探討，得出以下幾個方面的因素。

1.學生的思維定式。用算術方法計算結果是學生多年的習慣，因為從小學一年級開始，面對問題時，教師常這樣提問：“要想求出這個問題，我們該怎么計算？”算術法已經成為學生的慣性思維，因而與新知造成沖突。而學生的認知與經驗發生沖突，正是學習新知的一個契機，也是學習新知的增長點。對此，教師首先應認可等式380÷4=y，再引導學生利用字母表示數的知識進行討論，最后得出4y=380。這樣，先讓學生明白同樣的等量關系可以用不同的等式表達，再引導學生比較這兩個等式哪個更好，更符合思維習慣。學生經過比較后也會得出“4y=380更好理解”的結論。

2.學生對于用字母表示數量和把字母當成已知數量參與運算不習慣。因為有了前一節的用字母表示數的認知基礎，本節課的教學如果要充分鏈接舊知識，在涉及從數量等式到含有字母的等式時，就需要適當過渡一下。如一開始的天平平衡，兩邊都放入已知的砝碼，左邊放2個5克砝碼，右邊放一個10克砝碼，讓學生得出5+5=10，然后把一個砝碼換成一個實物，假設它有x克，引導學生寫出5+x=10。這樣強化等量關系和等式的概念，便能喚醒學生的舊知，學生就能夠從生活情境中提煉出方程模型，并用含有未知數的等式來表達等量關系。

3.學生處在由具體形象思維到抽象思維的過渡時期。用天平演示時，學生很容易得出等量關系，并列出方程，而對于隱藏了天平的實物或圖片，學生則不容易列出方程。這就充分說明了具體形象的東西，學生容易理解和接受，而對于需要進行分析和推理的概念，學生則難以接受和領悟。對此，可充分利用多媒體和各種直觀的實物教具，先帶領學生對等量關系及等式進行有目的地觀察，讓學生從具體的形象中區分哪些是主要的，哪些是次要的，找出它們之間的內在聯系，再用形象生動的語言啟發他們比較、分析和判斷，找出其中的相同點和不同點，再歸納概括出等量關系與等式之間的本質屬性，學生就能從形象思維過渡到抽象思維，列方程就會更加順利。

4.提出的問題指向不明確。在出示4塊月餅重380克的情境圖之后，教師提出：“觀察情境圖，說出圖中的數量關系。”接著又問：“如果每塊月餅重y克，能列出一個等式嗎？”這樣的問題指向不夠明確，學生的思考也就沒有目的性。這里的問題可以更具體些，例如改成“根據情境圖，我們可以找到一個等量關系，寫出一個等式，那么在圖中你還能找到另一塊等量關系嗎？”這樣學生就能容易地說出“4塊月餅的質量=380克”。教師再啟發學生分析“當一塊月餅的質量未知時，我們可用字母x或y表示，那么能得出一個什么樣的等式呢？”這樣的引導更自然，學生用方程來表示也會水到渠成。

總之，教學方程知識，教師要根據教學內容和學生的思維水平，運用恰當的教學方法，提出切實可行的要求，對學生進行代數思維的初步訓練。只有這樣，才能讓學生感悟和接受方程思想，從而與初中數學的學習接軌。“教學永遠是一門遺憾的藝術”，但只要教師靜下心來思考，蹲下身體了解學生，深度把握細節，有效突破難點，就會讓課堂精彩而高效，也會讓遺憾少一些。