基于前測(cè) 由表及里 深刻感悟
——“方程的意義”本質(zhì)探析與教學(xué)路徑思考

浙江寧波市奉化區(qū)居敬小學(xué)（315500）王培幼

浙江寧波市奉化區(qū)西塢街道中心小學(xué)（315500）丁玉成

方程是一種認(rèn)識(shí)與思維方式的巨大轉(zhuǎn)變——學(xué)生首次由算術(shù)思維轉(zhuǎn)向代數(shù)思維。但方程教學(xué)往往只注重描述性定義的理解，即只抓住“有未知數(shù)”“是等式”兩個(gè)特征來(lái)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)方程，沒(méi)有深入挖掘方程的本質(zhì)，導(dǎo)致教學(xué)效果不理想。因此，在教學(xué)之前，教師需要重視以下兩個(gè)核心問(wèn)題。

問(wèn)題一：方程教學(xué)如何從“表象”走向“內(nèi)涵”？

概念描述與真正理解運(yùn)用之間的距離到底有多遠(yuǎn)？作為教師，如何幫助學(xué)生跨越這個(gè)距離，從而幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)方程意義的真正建構(gòu)？如何將教學(xué)的重心由對(duì)方程概念的“靜態(tài)”定義，轉(zhuǎn)向讓學(xué)生主動(dòng)地“動(dòng)態(tài)”建構(gòu)對(duì)方程的認(rèn)識(shí)？

首先要對(duì)方程的內(nèi)涵做深入挖掘；其次，思考怎樣的素材能更好地建構(gòu)方程的意義；再次，根據(jù)方程的內(nèi)涵設(shè)計(jì)合理的活動(dòng)幫助學(xué)生理解；最后，讓方程的內(nèi)涵和表象完美統(tǒng)一，完成教學(xué)。

問(wèn)題二：如何在多種等量關(guān)系中突出順向思維的優(yōu)勢(shì)？

對(duì)于“8-5=x”“x=3”是不是方程，從定義上看這兩個(gè)式子是“等式”又有“未知數(shù)”，所以是方程，但從方程內(nèi)涵來(lái)看它們已經(jīng)失去了方程的意義，所以教師在列方程時(shí)都不會(huì)選擇這種類型。

對(duì)于“5+x=8”和“8-x=5”哪個(gè)好的問(wèn)題，很多教師會(huì)說(shuō)兩種都可以，但用方程解答的優(yōu)勢(shì)在于用順向思維來(lái)解決問(wèn)題，倒推式的逆向思維與算術(shù)思維并無(wú)區(qū)別，應(yīng)該優(yōu)化。怎樣在多種等量關(guān)系中突出順向思維的優(yōu)勢(shì)？這值得思考。

一、基于方程本質(zhì)的前測(cè)題及結(jié)果分析

1.前測(cè)題

第一組：用一個(gè)式子表示圖1中天平的平衡情況。

圖1

【設(shè)計(jì)意圖：凸顯左右相等才能列出等式，對(duì)學(xué)生能否用等式來(lái)表示天平的平衡情況進(jìn)行摸底。】

第二組：圖2中的兩個(gè)天平都是平衡的，請(qǐng)你從數(shù)學(xué)的角度把圖的意思表示出來(lái)。

圖2

【設(shè)計(jì)意圖：平衡的天平的等量關(guān)系比較明顯，學(xué)生可能會(huì)以文字形式表述。不管是文字還是方程，都說(shuō)明學(xué)生有等量關(guān)系的意識(shí)。本題還考查學(xué)生是否有將未知量設(shè)為未知數(shù)并作為已知信息參與列式的意識(shí)。】

第三組：你能找到下面兩題的等量關(guān)系嗎？用一個(gè)式子表示出來(lái)。

圖3

【設(shè)計(jì)意圖：這兩道題有比較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，為的是凸顯順向思維的優(yōu)勢(shì)。】

2.前測(cè)結(jié)果分析

通過(guò)分析前測(cè)結(jié)果，可以確定學(xué)生的起點(diǎn)：（1）對(duì)于等式的認(rèn)識(shí)不存在困難，對(duì)不等式感覺(jué)陌生；（2）思維停留在算術(shù)層面，本單元前半部分的“用字母表示數(shù)”沒(méi)能很好地幫助學(xué)生積累代數(shù)思維的經(jīng)驗(yàn)；（3）對(duì)等量關(guān)系的認(rèn)識(shí)模糊，提取有困難；（4）對(duì)方程的優(yōu)越性沒(méi)有任何體驗(yàn)。

二、基于前測(cè)的教學(xué)路徑設(shè)定與實(shí)施

學(xué)生往往能依據(jù)方程的兩要素——“是等式”和“有未知數(shù)”從一組式子中識(shí)別出方程，但看圖列方程卻存在困難。這是由于教材編排的“方程的意義”“等式的性質(zhì)”等練習(xí)中出現(xiàn)過(guò)很多看圖列方程的題，這些題的要求都是“請(qǐng)你用方程表示下面的數(shù)量關(guān)系”或“根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，并求出方程的解”。

“數(shù)量關(guān)系”和“等量關(guān)系”是有區(qū)別的，但教材對(duì)列方程的要求并沒(méi)有以“等量關(guān)系”的字眼出現(xiàn)。教材第一次真正出現(xiàn)等量關(guān)系的式子是在“實(shí)際問(wèn)題與方程”的例1中，但為時(shí)已晚。

根據(jù)對(duì)教材的分析與方程的教學(xué)現(xiàn)狀，筆者將以“整體教學(xué)”的思想為指導(dǎo)，以“尋找等量關(guān)系”為抓手，突破方程意義教學(xué)的難點(diǎn)。

【教學(xué)片段1】平衡中初識(shí)等量關(guān)系，認(rèn)識(shí)等式和不等式

師（出示前測(cè)題第一組）：兩個(gè)天平的平衡情況是怎樣的？可以用怎樣的式子把天平的平衡情況表示出來(lái)？對(duì)于第（1）題，大家為什么用50+50=100這個(gè)式子來(lái)表示？

生1：因?yàn)樘炱绞瞧胶獾模宰笥覂蛇叺馁|(zhì)量相等，一個(gè)50克的蘋果加上一個(gè)50克砝碼等于一個(gè)100克的砝碼質(zhì)量，所以我用50+50=100這個(gè)式子來(lái)表示。

師：是的，天平是平衡的，說(shuō)明天平的左右兩邊質(zhì)量相等，我們就說(shuō)左邊的質(zhì)量等于右邊的質(zhì)量，它們之間存在著相等的關(guān)系。這樣的相等關(guān)系在數(shù)學(xué)中就是等量關(guān)系，表示這種等量關(guān)系的算式“50+50=100”叫作等式。

師：第（2）題的天平的左右兩邊存在等量關(guān)系嗎？

生2：不存在的，因?yàn)樘炱绞莾A斜的。

師：還能用等式來(lái)表示天平的情況嗎？

生3：不能用“=”，要用“＞”，x+50＞100。

師：左邊比右邊重，就用x+50＞100這個(gè)不等式來(lái)表示。這里為什么有個(gè)x？

生4：因?yàn)檫@個(gè)箱子上就寫著“xg”。

生5：箱子重量不知道，所以用“x”來(lái)表示。

前測(cè)結(jié)果顯示，學(xué)生對(duì)于等式和不等式的認(rèn)識(shí)不存在困難，這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)目的在于通過(guò)引出等式和不等式，讓學(xué)生初步知道左右兩邊相等時(shí)就存在等量關(guān)系。

【教學(xué)片段2】天平中提取等量關(guān)系，觸摸方程“外衣”

師（出示前測(cè)題第二組）：這兩幅圖中平衡的天平都存在著什么關(guān)系？

生1：等量關(guān)系。

出示學(xué)生前測(cè)作業(yè)：

師：你能看懂這兩個(gè)算式嗎？

生2：他是把不知道的看作x，用算式來(lái)記錄左邊和右邊相等。

師：誰(shuí)能具體說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)等式的意思？（學(xué)生答略）

出示用算術(shù)方法解答的學(xué)生前測(cè)作業(yè)：

師：這兩個(gè)算式是什么意思？

生3：這是把母雞的重量和箱子的重量求出來(lái)了。

師：請(qǐng)比較這兩個(gè)算式與剛才表示等量關(guān)系的式子有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。說(shuō)說(shuō)這四個(gè)等式都是怎么寫出來(lái)的。

生4：圖4是把天平的左邊和右邊抄下來(lái)，圖5是先算出右邊的總數(shù)，再算出左邊的其中一個(gè)。

圖4

圖5

師：圖4就是今天要學(xué)習(xí)的方程。如果今天有位同學(xué)因?yàn)橛惺聸](méi)來(lái)上學(xué)，你打算怎樣向他介紹方程？

師：對(duì)，含有未知數(shù)的等式叫作方程，方程可以像故事發(fā)展順序那樣用等式把事情表達(dá)出來(lái)，不知道的數(shù)據(jù)就用字母表示。

這個(gè)環(huán)節(jié)的定位是通過(guò)天平上顯而易見(jiàn)的等量關(guān)系來(lái)幫助學(xué)生初步認(rèn)識(shí)方程。借助前測(cè)中學(xué)生的作業(yè)，讓學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會(huì)如何提取等量關(guān)系，并在方程與算術(shù)方法的對(duì)比中，發(fā)現(xiàn)相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，為學(xué)習(xí)方程的定義做好準(zhǔn)備。在教師有針對(duì)性的追問(wèn)下，方程神秘的面紗被一層層揭開(kāi)，學(xué)生在你一言我一語(yǔ)中基本能把方程的特征說(shuō)完整。

【教學(xué)片段3】對(duì)比中優(yōu)化等量關(guān)系，感受方程內(nèi)涵

師（出示圖6-1、6-2、6-3）：這三幅圖中沒(méi)有天平了，你能把“心中的天平”拿出來(lái)嗎？獨(dú)立想一想，再跟同桌說(shuō)一說(shuō)。（學(xué)生活動(dòng)）

圖6-1

圖6-2

圖6-3

師：誰(shuí)能用手勢(shì)表示天平，并把圖上的物體放在天平上？（學(xué)生答略）

師：能用方程表示這三幅圖嗎？（學(xué)生寫方程）

師：對(duì)于圖6-1，有三種不同的列法，分別是325+x=1280、1280-x=325、1280-325=x，請(qǐng)大家對(duì)比哪種好。（學(xué)生答略）

師：心中的天平建好后，只要把天平上的重量按左右相等寫下來(lái)是最方便的方法。那么再來(lái)看看1280-325=x，為什么沒(méi)有人說(shuō)這個(gè)好？

生1：這個(gè)不是照天平抄下來(lái)的，而且這個(gè)算式能直接算出結(jié)果，用x沒(méi)有什么用。

師：這個(gè)等式從特征上看也是個(gè)方程，但像剛才這位同學(xué)說(shuō)的，x沒(méi)什么用處，不用也能算出來(lái)，這樣列式就沒(méi)有意義了。因此我們要讓x去參與運(yùn)算，方程才會(huì)有意義。

表面上看，這個(gè)環(huán)節(jié)是脫離天平找等量關(guān)系，但事實(shí)上是教師讓學(xué)生搬出“心中的天平”的形式來(lái)尋找等量關(guān)系，這個(gè)階段的“天平”是起到“扶”的作用。方程的優(yōu)勢(shì)在于順向思考問(wèn)題，可以避開(kāi)用算術(shù)方法的逆向思維，直擊方程的本質(zhì)。在六年級(jí)用方程解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，對(duì)于“求單位‘1’是多少”的題目，就經(jīng)常有學(xué)生寫出諸如“120÷x=1/2”的方程，顯然這不是最優(yōu)方程。對(duì)于“1280-325=x”是不是方程的疑問(wèn)，筆者認(rèn)為是學(xué)生對(duì)方程本質(zhì)理解欠缺造成的。為此安排一個(gè)對(duì)比環(huán)節(jié)，促使學(xué)生在初步認(rèn)識(shí)方程的基礎(chǔ)上對(duì)方程的內(nèi)涵有進(jìn)一步的感受。

【教學(xué)片段4】體會(huì)算術(shù)思維向代數(shù)思維的過(guò)渡，突出方程的優(yōu)越性

師（出示前測(cè)題第三組）：這兩道題中沒(méi)有了天平，你能找到等量關(guān)系嗎？也可以試著放到“心中的天平”上。

生1：茶壺的2000毫升水-1杯200毫升的水=2個(gè)熱水瓶的水。

生2：如果把它們放到“心中的天平”上，應(yīng)該是1杯200毫升的水+2個(gè)熱水瓶的水=茶壺的2000毫升水。

師：兩位同學(xué)從不同角度找到了等量關(guān)系，第一位同學(xué)是按照事情發(fā)展順序來(lái)找等量關(guān)系的，第二位同學(xué)是根據(jù)心中的天平來(lái)列的，兩種等量關(guān)系都可以。第（2）題能找到等量關(guān)系嗎？

生3：一個(gè)數(shù)×5+3=378。

師：請(qǐng)大家用方程表示。

師（出示圖7）：課前有同學(xué)是這么做的。請(qǐng)大家對(duì)比一下這與剛剛列出的方程有什么不同？

圖7

生4：列方程時(shí)想法比較簡(jiǎn)單，只要想好了等量關(guān)系，可以照抄。寫這兩道算式要難一些。

師：難在哪里？

生4：378-3算出了什么還需要想一想。

師（出示圖8）：這位同學(xué)做得對(duì)嗎？

圖8

生5：不對(duì)，一個(gè)數(shù)的5倍加上3得到378，應(yīng)該是378先減去3才能得到一個(gè)數(shù)的5倍，再除以5才能算出這個(gè)數(shù)。

師：你的思路很清晰，但為什么不能先除以5呢？可以試著畫一幅線段圖來(lái)幫助理解（線段圖略）。方程確實(shí)比以前列算式的方法要簡(jiǎn)單，題目怎么描述，等量關(guān)系就是怎樣的，不用顛來(lái)倒去的。方程還是有很大的優(yōu)勢(shì)呢。

前測(cè)題第三組比較復(fù)雜，目的是讓學(xué)生初步體會(huì)方程的優(yōu)越性，但是在前測(cè)中大部分的學(xué)生用算術(shù)方法解答，只有3位學(xué)生用了方程。這說(shuō)明學(xué)生的算術(shù)思維需要教師的引領(lǐng)才能向代數(shù)思維過(guò)渡。教師在教學(xué)中先基于學(xué)生在前面幾個(gè)環(huán)節(jié)積累的找等量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生找到等量關(guān)系并列方程，在學(xué)生正確列出方程后，再出示算術(shù)方法引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比，特別抓住錯(cuò)解來(lái)凸顯方程的優(yōu)勢(shì)。這樣一來(lái)，學(xué)生在學(xué)習(xí)方程的第一課就對(duì)方程有比較深刻的印象，為列方程解決問(wèn)題打下基礎(chǔ)。

綜上，整節(jié)課以“尋找等量關(guān)系”為抓手，幫助學(xué)生切實(shí)理解方程的本質(zhì)含義，讓學(xué)生建立“方程就是照等量關(guān)系寫出來(lái)”的意識(shí)，從而順利過(guò)渡到用方程解決問(wèn)題，切實(shí)感受方程的優(yōu)越性。