數(shù)學(xué)建模：從“結(jié)構(gòu)”走向“建構(gòu)”
——提升小學(xué)生問(wèn)題解決能力的教學(xué)策略

浙江杭州錢塘新區(qū)臨江新城實(shí)驗(yàn)學(xué)校（310020）雷興榮

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：在“問(wèn)題解決”的教學(xué)中，不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中思維的過(guò)程。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、建立模型，增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力。

一、建模困境：小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)的現(xiàn)狀審視

1.缺少建模，思維散亂

一些教師只注重問(wèn)題解決方法的訓(xùn)練，缺乏對(duì)學(xué)生分析、加工、整合信息能力的培養(yǎng)，沒(méi)能引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)問(wèn)題解決的策略，形成系統(tǒng)的問(wèn)題解決的模型。

例如，用車運(yùn)煤，現(xiàn)有載重2噸和3噸的兩輛車，要求每輛車每次都要裝滿，正好可以運(yùn)完8噸煤，如何安排最合理呢？

某教師首先讓學(xué)生自主探究，完成表格的填寫；然后呈現(xiàn)表格（如表1），選擇恰好運(yùn)完的情況，列出算式4×2+0×3=8（噸）或1×2+2×3=8（噸）；最后給出其他練習(xí)讓學(xué)生訓(xùn)練。

表1

這位教師重視學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，但過(guò)于偏重解題結(jié)果，缺乏問(wèn)題解決模型的構(gòu)建。

2.錯(cuò)誤建模，不善遷移

數(shù)學(xué)建模應(yīng)該是基于學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)、思維方式和問(wèn)題本質(zhì)而形成的問(wèn)題解決策略。但是一些教師在問(wèn)題解決教學(xué)時(shí)給學(xué)生建立的所謂“模型”并沒(méi)有基于問(wèn)題解決的本質(zhì)特征。

例如，人教版教材一年級(jí)上冊(cè)問(wèn)題解決（如圖1）教學(xué)中，關(guān)于加法模型、減法模型，一些教師教學(xué)時(shí)都是告知學(xué)生：“見(jiàn)到‘一共’，就圈上，列加法算式解答；見(jiàn)到‘剩下’，就列減法算式解答。在圖形列式中，‘？’在下面的做加法，‘？’在上面的做減法。”

圖1

這樣的教學(xué)沒(méi)有真正借助情境去幫助學(xué)生理解加法和減法運(yùn)算的意義。

3.固化模型，機(jī)械運(yùn)用

在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題教學(xué)中，為了增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的意識(shí)和能力，一些教師首先將問(wèn)題分成知道單位“1”和不知道單位“1”，根據(jù)兩種情況，分別建立模型：若知道單位“1”，就用乘法（算術(shù)法），用單位“1”的量×對(duì)應(yīng)分率；若不知道“單位1”，就用除法（算術(shù)法），用已知量÷對(duì)應(yīng)分率。這樣的教學(xué)加上強(qiáng)化練習(xí)，看似提升了學(xué)生的問(wèn)題解決能力，但學(xué)生的思維也固化了。

二、建模途徑：提升小學(xué)生問(wèn)題解決能力的建模策略

1.正確建模——引發(fā)思考，抽象本質(zhì)

（1）精選素材，激發(fā)建模興趣

合理的素材可以讓抽象的知識(shí)與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、類比等多種思維方式學(xué)習(xí)。因此，教師要認(rèn)真選擇數(shù)學(xué)素材，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣。

【案例1】“統(tǒng)計(jì)圖”的教學(xué)

師：育才小學(xué)小導(dǎo)游社團(tuán)的孩子對(duì)西湖接待的游客進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)。

師（出示無(wú)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖，圖略）：你認(rèn)為哪張圖表示的接待游客多呢？

師（在圖中補(bǔ)充數(shù)據(jù)，如圖2-1）：現(xiàn)在你知道了嗎？

圖2-1

生1：兩張圖表示的都一樣多。

師：曲線明明不一樣，怎么會(huì)一樣多呢？

生2：因?yàn)榭v軸不一樣，第一張圖上的1格代表10萬(wàn)人，第二張圖上的1格代表20萬(wàn)人。

師（出示有數(shù)據(jù)但沒(méi)有橫軸信息的統(tǒng)計(jì)圖，圖略）：隨著西湖游客越來(lái)越多，甲、乙兩位船夫也忙得不亦樂(lè)乎，誰(shuí)搭載的乘客多呢？

生3：一樣多。

生4：不好判斷，因?yàn)椴恢罊M軸的數(shù)據(jù)。

師（在圖中補(bǔ)充橫軸的數(shù)據(jù)，如圖2-2）：現(xiàn)在你知道了嗎？

圖2-2

師：有些圖像看上去一樣，但統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不同；有些圖像雖然有所不同，但是統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)卻是相同的。在讀取圖中信息和對(duì)比分析時(shí)，應(yīng)該要注意些什么？

生5：不僅要觀察圖像，更應(yīng)分析數(shù)據(jù)。

生6：標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)建模的價(jià)值在于從研究實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，整理、提煉出數(shù)學(xué)策略。學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)統(tǒng)計(jì)圖，但是在問(wèn)題解決的過(guò)程中容易忽略統(tǒng)計(jì)圖的一些要素，缺乏整體的思考和細(xì)節(jié)的關(guān)注。本案例利用現(xiàn)實(shí)情境提醒學(xué)生分析問(wèn)題不僅要觀察圖像，還要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

（2）積累表象，打好建模基礎(chǔ)

教師在教學(xué)時(shí)要給學(xué)生提供必要的物體、模型和圖形等，為學(xué)生的思維活動(dòng)提供必要的素材，幫助學(xué)生將實(shí)物與抽象的符號(hào)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)。

【案例2】以“分?jǐn)?shù)的意義”為例，教師在引領(lǐng)學(xué)生分單一的圖形或物體的四分之一的基礎(chǔ)上，給學(xué)生提供10個(gè)圓片，讓學(xué)生任選幾個(gè)進(jìn)行平均分，找出四分之一。

學(xué)生有多種分法：有的選擇了偶數(shù)個(gè)，有的選擇了奇數(shù)個(gè)，有的是先把每一個(gè)圓片平均分成四份后選擇每個(gè)圓片的四分之一，有的把所有的圓片看成整體后再平均分成四份……學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，能對(duì)單位“1”有更深層的理解和體悟，從而自主建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義。

對(duì)此，教師可通過(guò)問(wèn)題“每個(gè)圖形被涂色部分的大小、個(gè)數(shù)、形狀都不相同，為什么都可用來(lái)表示四分之一？”引導(dǎo)學(xué)生思考后呈現(xiàn)數(shù)學(xué)模型（如圖3）。

圖3

出示練習(xí)：（1）說(shuō)說(shuō)你對(duì)“我國(guó)小學(xué)生中，睡眠不足的人數(shù)大約占總?cè)藬?shù)的”的理解。（2）猜一猜圖4中涂色部分有幾個(gè)蘋果，為什么？

圖4

拼、擺等操作可以將抽象的問(wèn)題形象化，更利于空間想象能力比較弱的學(xué)生。

（3）抽象本質(zhì)，正確構(gòu)建模型

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是感受和領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)，教師要善于激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，幫助學(xué)生構(gòu)建問(wèn)題解決的模型。

【案例3】教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，教師可給出3道不同的習(xí)題以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同情境問(wèn)題與數(shù)學(xué)算式間的共同規(guī)律，然后再揭示乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生的思維能得到提升和發(fā)展，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的知識(shí)也印象深刻。

數(shù)學(xué)抽象，是先讓學(xué)生親身感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，形成數(shù)學(xué)思想和方法，再抽象出必要的數(shù)學(xué)模型，最后加以解釋和應(yīng)用，這就是一個(gè)建模學(xué)習(xí)的過(guò)程。通過(guò)建模學(xué)習(xí)，能不斷增強(qiáng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角來(lái)分析、思考和解決問(wèn)題的能力。

2.優(yōu)化建模——發(fā)展思維，提升能力

（1）深度挖掘，構(gòu)建有效模型

建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是知識(shí)從外到內(nèi)的簡(jiǎn)單傳遞，而是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)和積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程。因此，教師要設(shè)計(jì)具有一定思考價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，幫助學(xué)生構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)模型。

【案例4】被除數(shù)、除數(shù)、商，如果其中一個(gè)量或兩個(gè)量變了，還有一個(gè)會(huì)怎么變？

呈現(xiàn)：

學(xué)生舉例驗(yàn)證，教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)進(jìn)行歸納。

拓展：

達(dá)成共識(shí)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)增加相同的倍數(shù)，商不變。

層層遞進(jìn)的多樣素材和情境問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生深入思考、主動(dòng)探究。

（2）拉伸長(zhǎng)度，升華數(shù)學(xué)模型

重疊問(wèn)題的靈魂是集合思想，集合思想的具體表現(xiàn)形式為用集合圈將具有某種特征的數(shù)圈在一起。在學(xué)生經(jīng)歷了集合從實(shí)物階段向符號(hào)階段抽象的過(guò)程后，教師可幫助學(xué)生運(yùn)用熟知的實(shí)物來(lái)感受數(shù)學(xué)模型，并且依托數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

【案例5】如圖5，教師引導(dǎo)學(xué)生理解算式“8+9-3”的含義，并且理解“-3”的道理，至此初步建立了重疊問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

圖5

接下來(lái)教師還可以向?qū)W生介紹集合圈的數(shù)學(xué)歷史故事，舉出生活中的實(shí)例，使學(xué)生能將所學(xué)知識(shí)與新情境進(jìn)行聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的魅力。

這樣的擴(kuò)展不僅可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生提出、分析和解決問(wèn)題的能力。

3.活用模型——拓寬思路，破除定式

（1）注重情境創(chuàng)設(shè)

通過(guò)創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境的方式引入新知識(shí)，既能增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，又有助于學(xué)生根據(jù)情境靈活選擇數(shù)學(xué)模型解題。

【案例6】“雞兔同籠”問(wèn)題的拓展

買物品問(wèn)題：紅鉛筆每支0.38元，藍(lán)鉛筆每支0.22元，兩種鉛筆共買了16支，花了5.60元。紅、藍(lán)鉛筆各買了幾支？

三個(gè)量的問(wèn)題：蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀，現(xiàn)在這三種動(dòng)物共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀。每種動(dòng)物各幾只？

配制鹽水的問(wèn)題：有甲、乙兩種鹽水，甲種鹽水中含鹽4%，乙種鹽水中含鹽7%。小強(qiáng)要用這兩種鹽水來(lái)配制含鹽5%的鹽水60千克，可選用甲種鹽水和乙種鹽水各多少千克？

學(xué)生通過(guò)某一個(gè)問(wèn)題情境掌握了問(wèn)題解決的策略，在初步建立了數(shù)學(xué)模型后，教師可以不斷變換情境，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解和實(shí)際運(yùn)用能力，幫助學(xué)生發(fā)展和提升數(shù)學(xué)思維。

（2）適時(shí)交流爭(zhēng)辯

【案例7】一邊靠墻的圖形的周長(zhǎng)計(jì)算問(wèn)題：圖6中的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算是否正確？

圖6

在學(xué)生列出正確算式“（3+5）×2=16（米）”后，教師可通過(guò)問(wèn)題“如果3+5×2=13（米）成立，那計(jì)算的是哪些部分的長(zhǎng)度？”引出三組圖形周長(zhǎng)計(jì)算的對(duì)比（如圖7）。

圖7

對(duì)于靠墻圖形的周長(zhǎng)計(jì)算問(wèn)題，學(xué)生錯(cuò)誤率較高，究其原因是學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的理解不到位。對(duì)此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體分析來(lái)構(gòu)建正確的模型。開展問(wèn)題解決教學(xué)時(shí)，既要結(jié)合具體問(wèn)題情境培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的思想，也要避免讓學(xué)生陷入固化的數(shù)學(xué)模型當(dāng)中。因此，要去模型化，使學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇正確的、合適的解題方法。

通過(guò)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，學(xué)生學(xué)會(huì)了融會(huì)貫通知識(shí)，更能認(rèn)識(shí)和理解知識(shí)的本質(zhì)規(guī)律，能夠根據(jù)知識(shí)的本質(zhì)特點(diǎn)正確建立數(shù)學(xué)模型，從而分析、歸納和解決問(wèn)題。由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進(jìn)行數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，其價(jià)值和意義是深遠(yuǎn)的。