“用倒推的策略解決問題”學習路徑優化的實證研究

江蘇蘇州市實驗小學校（215000）王逸駿

一、引言

“解決問題的策略”（又稱“還原問題”）是蘇教版教材的重要內容之一。此內容的設置旨在讓學生初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識和其他知識解決簡單的數學問題，發展應用意識和實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識。

“倒推”是解決問題時經常用到的一種策略。在用“倒推”策略解決問題時，學生要進行分析、選擇、判斷、對比、優化等一系列復雜的思維活動?！暗雇啤辈呗?，通俗地講就是“倒過來想”，即從事情的結果倒過去想它在開始的時候是怎樣的，教學的目的在于培養學生的逆向思維和發散性思維，提高其解決問題的能力。為了讓學生能夠真正掌握“倒推”的策略，必須探索出利于學生理解的學習路徑，筆者把研究問題定為：教師預設的學習路徑是怎樣的？經過實踐檢驗并優化過的學習路徑是怎樣的？如何驗證學習的路徑是否得到了優化？

二、研究設計

1.研究對象

根據學生的期末考試成績和前測數據，發現蘇州市S小學六年級甲、乙兩個平行班的學生在數學學習水平上沒有顯著的差異。兩次教學均由W教師承擔，教齡4年。

2.研究流程

研究的主要步驟如圖1所示：

圖1

主要采用課堂觀察法、問卷調查法、訪談法、行動研究法來收集數據。來自教師的數據包括教學設計、教學錄像、教學反思日志、課前和課后測試單。

3.對學生的后測

（1）理論模型

本文以斯根普的理解模型為理論依據，把學生的理解分為以下三種類型（如表1），以這三類理解為標準判斷學生對倒推策略的理解情況。

表1

（2）后測材料

用盡可能多的方法（可用文字、算式、畫圖等）表示解決以下問題的過程。

問題1 有一位老人說：“把我的年齡加上12，再除以4，接著減去15，最后乘10，恰好是100歲?！鼻筮@位老人的年齡。

問題2 學校運來36棵樹苗，樂樂與歡歡兩人爭著去栽，樂樂先拿了若干樹苗，歡歡看到樂樂拿得太多，就搶了10棵，樂樂不肯，又從歡歡那里搶回來6棵，這時樂樂拿的棵數是歡歡的2倍。問：最初樂樂拿了多少棵樹苗？

問題3 糧庫內有一批面粉，第一次運出總數的一半多3噸，第二次運出剩下的一半少7噸，還剩4噸。問：糧庫內原有面粉多少噸？

問題4 糧庫里有120噸面粉，第一次運出總數的一半多2噸，第二次運出剩下的一半少7噸，現在還有多少噸面粉？

問題5 結合問題3和問題4，說說在什么情況下需要用倒推的策略來解決問題。

（3）計分標準

根據學生的回答，參照表1的理解類型，對學生的理解進行分類并計分（如表2）。

表2

三、結果與分析

1.學習路徑A

（1）學習路經A的呈現

W教師獨立備課，并在甲班上課。根據課堂實錄，歸納出第一次設計與實施的學習路徑A（如圖2）。

圖2

首先，從前測已知學生對于簡單的一步還原問題掌握得還是非常到位的，正確率高達94.59%，但是對于較復雜的類似于“幾分之幾多幾”的多步還原問題，學生的正確率卻只有62.16%。因此以簡單的一步還原問題作為任務1，旨在讓學生在教師的引導下通過直觀表征的方式理解題中信息，進而用倒著想的方法解決問題，最后能夠將理解的內容抽象為算式。

其次，出示任務2，旨在讓學生在復雜情境中獨立整理題目中的信息，用倒著想的方法解決問題，能夠列出算式。

最后，出示任務3，旨在讓學生在教師的引導下通過列表的方式整理信息，并用倒著想的方法解決問題，能夠列出算式。

（2）教學效果

教學結束后，對甲班學生進行后測，學生不同理解類型的平均得分如表3所示。

表3

工具性理解得分為0.324，說明部分學生對于還原問題還停留在表象階段，記住的僅僅是加變減、乘變除以及運算順序需要相反的規則，但不理解這一規則背后的意義。

關系性理解得分為0.432，而形式性理解得分為0.243，主要原因有以下三點：

①形式性理解對于學生而言認知難度較高；

②部分學生解題時需要借助線段圖整理信息，但在復雜情境中無法將線段圖直接轉換成算式；

③W教師在課堂上過分強調用畫圖的方式整理信息，忽視了對學生倒著想的方法的引導和思維的訓練。

（3）問題分析

①不會直觀表征。學生是通過線段圖來整理信息，進而列出算式的，而真正的直觀理解應該是看圖即可知道結果，不需要再次進行計算。

②難以抽象成算式。教師著重于信息的整理，對于倒著想的方法的引導比較少，進而使得學生抽象理解不到位，抽象成算式的能力較弱。

③分率問題對倒推造成干擾。任務1導致大部分學生陷入了“單位1”是否已知的怪圈，因為學生看到分數就自然而然想到了分數應用題，不會從倒推的角度去思考問題。

④時間分配不合理。任務1耗時過長，以至于后面的任務2匆忙，任務3來不及出示。

（4）改進建議

①替換任務1。教師發展指導者L在教學研討中提出：任務1容易對學生造成干擾，使學生陷入解決分率問題的怪圈，并不適合放在課始，應當改為從整數出發的還原問題，并在學生提出用線段圖或者流程圖以后，補充列表的方法。這樣一來，3種整理信息的方法都在任務1中有所體現，且從整數出發，學生不會將其與分率問題混淆，倒推的味道更濃，學生也更容易從倒著想的方法出發解題。

②增加對比練習。教師發展指導者Q在教學研討中提出：還原問題的特點是已知現在的情況，探索原來的情況。但是現實中，還原問題不過是諸多現實問題中的一個種類，所以在教學新知后，需要出示兩道對比練習題，讓學生體會遇到什么類型的問題適合用倒推的策略去解決。

2.改進后的學習路徑B

（1）學習路徑B的呈現

經過對學習路徑A的課后反思與討論，W教師重新修改教學設計，在乙班實施了學習路徑B（如圖3）。

圖3

（2）教學效果

教學結束后，W教師對學生實施了后測，結果如表4所示。

表4

比較表3和表4可以發現，學生的工具性理解的得分明顯下降，形式性理解的得分顯著上升，關系性理解的得分基本持平，這與教師有意識地引導學生倒著想并用自己的話解釋倒推的過程這一設計是密不可分的。此外，形式性理解的提升還與教師有意識地引導學生進行對比練習，進而總結出還原問題的一般規律有關?？傮w來說，學生在還原問題的理解上取得了一定的進步，說明這一學習路徑的優化確實可行。

四、結論與建議

1.結論

W教師預設的學習路徑A中的任務1太過注重教授學生用畫圖的策略去整理信息，而忽視了對學生運用倒推策略的引導。在經過教師發展指導者L和Q的干預后，W教師重新進行任務單的設計。從不涉及分率的問題出發，啟發學生用倒著想的方法去解決問題，讓學生自由交流解決問題的具體過程，自然生成線段圖、流程圖、列表的信息整理方法，最后利用兩道對比練習題（任務4）引導學生思考在什么樣的情況下適合用倒推的策略解決問題。

對比甲、乙兩個班學生的后測數據可知，優化學習路徑后，學生工具性理解的得分明顯下降，而形式性理解的得分顯著上升。

2.建議

（1）弱化整理信息的策略教學

倒推策略和逆向思維的培養是本節課的教學重點和教學目標，但還有一個重要的過程性策略，那便是畫圖整理題中的信息。不少教師在教學時往往會本末倒置，習慣性依托畫圖來解釋解決問題的過程，忽視了對于學生倒推策略和逆向思維的培養。因此，教師在教學該內容時要弱化整理信息的策略教學。

（2）任務設計的指向性要明確

如果任務設計從含有分率的還原問題出發，那么學生在思考如何解決問題時就容易從解決分率問題的角度入手，這樣一來便不利于教學的開展。因此，教師在設計任務時指向性要明確，要有意識地引導學生從倒推的角度思考解決問題的方法。