猶豫模糊語言術語集中考慮專家權重的決策方法

朱國成 ,趙瑞華

(1.廣東創新科技職業學院科學技術協會,廣東 東莞 523960；2.云安中學生物組，廣東 云浮 525700)

0 引言

自2010 年Torra[1]提出猶豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets,HFS)概念(可以使用多個不同的隸屬度來表達決策群體對某事物的認知程度)以來,其在多屬性群決策(Multi-Attribute Group Decision Mak?ing,MAGDM)問題中得到了廣泛應用[2-4].在具體的決策問題應用中學者使用不同類型的信息數據刻畫隸屬度值,例如,文獻[5]采用精確數據刻畫隸屬度并建立了猶豫模糊互補判斷矩陣(HFCJM)決策模型,文中排序結果對比表明模型決策效果較好;文獻[6]使用區間數作為隸屬度值,提出了一種改進的ELECTRE 方法來解決多屬性決策問題;在應用HFS解決MAGDM 問題過程中,描述隸屬度的信息數據還有三角模糊數[7]、梯形模糊數[8]、語言評價術語集[9]等.在猶豫模糊語言術語集多屬性群決策(Hesitant Fuzzy Linguistic Terms Sets Multi-Attribute Group Decision Making,HFLTSMAGDM)問題中,通常做法是將語言術語換算為對應的數據信息再采用集結算子對屬性的綜合數據信息進行糅合,通過比較糅合數值結果達到排序方案目的.截止目前,在解決HFLTSMAGDM 問題的過程中,將語言評價術語轉換成對應數據信息過程中鮮有學者考慮隸屬度為語言評價術語時其關聯的決策專家權重問題,事實上,決策過程中對于不同專家的偏好時有發生,怎樣解決此類問題,本文進行了有益嘗試,并用不同算法對此類問題進行了分析,以期為今后的進一步研究提供參考.

1 預備知識

定義 1.1[10]令X為預知集合,A=為X上定義的HFS，其中hA(x)是在區間[0,1]中不同數值構成的集合,x屬于集合A的可能隸屬度用里面具體數值表示.稱hA(x)為一個猶豫模糊元(Hesitant Fuzzy Elements,HFE).

定義1.2[11]設S={si|i=0,1,…,2τ}是由粒度為2τ+1個語言術語組成的集合(粒度是指術語的個數),S滿足以下運算特征:

（1）逆運算si=neg(sj) ?I(si)+I(sj)=2τ；

（2）有序性si≤sj?I(si)≤I(sj)；

（3）最大值max(si,sj)=si,當si≥sj；

（4）最小值max(si,sj)=si,當si≤sj.

定義1.3[12]語言評價術語采用九段制，為了突出較差與較好程度模糊性,在轉換成區間數時加大區分力度,具體對應轉換分數如表1所示.

表1 語言評價術語轉換表

定義1.4[13]，稱為一個區間數.特別地,若aL=aU,則退化為一個實數.區間數運算法則如下:設=[aL,aU]和=[bL,bU],且λ≥0,則

定義1.5[14]區間數a=[a-,a+],b=[b-,b+],稱

定義1.7令ai(i=1,2,…,n)為一組非負實數，且r=1,2,…,n.若

則稱（1）式為Maclaurin 對稱平均算子,其中：i1,i2,…,ir為遍歷組合1,2,…,n中的一切r元組;為二項式系數.

由式（1）可知,Maclaurin 對稱平均算子有下列性質：

（1）對于任意的i,若ai=a≥0,則

（2）對于任意的i,若0 ≤ai≤bi,則有

（3）對于任意的ai≥0,有≤Max(a1,a2,…,an).

2 主要方法與結論

2.1 算法一

2.1.1 問題陳述及相關定義

在MAGDM 問題中,設決策專家集Z={z1,z2,…,zλ,…,zT},其權重用ωzλ表示且已知;設決策方案集為A={a1,a2,…,ai,…,aM}，屬性集為G={g1,g2,…,gj,…,gN},屬性權重用符號ωgj表示且未知；決策專家組給予第i個方案的第j個屬性的評價信息用HFLTSsij表示,HFLTSsij中的元素定義為本文考慮的屬性類型皆為效益型,有如下定義:

定義2.1根據定義1.3 將評價信息HFLTSsij中的隸屬度LTS 轉換為對應的區間數(Interval Numbers,IN),構成區間猶豫模糊元(INHFE)hij,hij=#hij表示INHFEhij中的元素個數,表示區間猶豫模糊數(INHFN),顯然有對應關系

定義2.2確定屬性的理想屬性值(繼續用區間數表示),具體計算方法為

其中,k,k′∈{1,2,…,#hij};i,i′∈{1,2,…,M}.

2.1.2 計算屬性權重

證明（1）（2）證明略.

（3）因為

2.1.3 算法步驟

步驟1 根據定義1.3將評價專家給予方案的評價信息表轉換為決策矩陣[hij]M×N；

步驟2 由2.1.2節內容計算屬性權重ωgj；

步驟3 計算HFE的加權綜合值

步驟4 采用定義1.7對進行集結,得結果

由式(1)集結性質可知,f(ai)大者其對應的方案為優.

2.2 算法二

2.2.1 問題陳述及相關定義

陳述內容與算法一一致,有以下擴展定義：

定義2.5由定義2.1 計算INHFEhij的綜合值,為了完整保留INHFEhij的決策信息,其綜合值仍用區間數表示為

定義2.6確定屬性理想屬性值(繼續用區間數表示),確定方法為

2.2.2 計算屬性權重

步驟2 采用文獻[16]中的方法,將相離度矩陣[dij]M×N規范化為矩陣[uij]M×N,這里顯然有

2.2.3 算法步驟

步驟1 根據定義1.3將評價專家給予方案的評價信息表轉換為決策矩陣[hij]M×N.

步驟2 由2.2.2節知識計算屬性權重ωgj.

步驟3 為了進行此步工作,需要給出以下幾個定義：

根據定義2.7、2.8、2.9 最終確定INHFEhij的有效加權綜合值|hij|.

步驟4 利用定義1.6,對不同方案進行測度,測度形式為

步驟5 統計T(|hij|×|hi′j|) >1的個數(Qii′,i,i′∈{1,2,…,M}),根據之間的大小比較各方案優劣,

（1）當T+(ai,ai′)>T-(ai,ai′)時,說明方案ai優于方案ai′；

（2）當T+(ai,ai′)

（3）當T+(ai,ai′)=T-(ai,ai′)時,說明方案ai與方案ai′等同.

3 案例分析

高考結束以后,考生對于高等學校的選擇是全家的“頭等大事”,在眾多高校當中,考生能夠怎樣科學高效的選擇適合自己的學校是一個決策問題,為了將全家的“頭等大事”做好,則全部家庭成員參與決策.一個家庭有4位成員,分別是哥哥、媽媽、爸爸以及妹妹,在群決策問題中4 位成員用符號zλ(λ=1,2,3,4)表示,其權重ωz1=0.5,ωz2=0.2,ωz3=0.2,ωz4=0.1.根據哥哥的成績,全家篩選出4 所學校(a1,a2,a3,a4)(決策方案)供選擇并排序,對于學校的考察主要從學校排名(g1)、專業實力(g2)、區位優勢(g3)、學 費(g4)、校園環境(g5)、住宿條件(g6)、辦學歷史(g7)以及學校名稱(g8)等8 個方面(屬性)考慮,其權重ωgj(j=未知,1,2,…,8)各位家庭成員根據自己的思考給出語言術語信息,利用本文知識解決此決策問題,評價信息見表2(具體符號語言信息意義見表1).

表2 語言術語評價信息表

3.1 算法一

3.1.1 計算屬性權重

步驟1 根據定義2.1,將表2中語言信息轉換為IN 信息數據并將家庭成員以其權重之和表示,見表3.

表3 轉換表

步驟2 確定屬性的理想屬性值hj并讓與屬性的理想屬性值hj進行測度及測度結果關聯的決策專家權重,結果見表4.

表4 測度表

步驟3 計算HFE的幾何距離函數值e()與離差程度函數值d()分別為

步驟4 由式(5)、(6)可得各屬性的權重分別為

3.1.2 算法步驟

步驟3 利用定義1.7 計算f(ai)（不失一般性,這里取r=1）如下：

由f(ai) 大小比較可知,各方案優劣排序為a4?a3?a2?a1.

3.2 算法二

3.2.1 計算屬性權重

步驟1 由定義2.6計算出如下各個屬性的理想屬性值、根據表3 可得綜合值矩陣[]4×8及相離度矩陣[dij]4×8.

步驟3 計算gj上的熵值sj及其權重ωgj依次為

3.2.2 算法步驟

步驟1 屬性權重ωgj已經算出,確定INHFEhij的有效加權綜合值|hij|分別為：

步驟2 測度T(|hij|× |hi′j|),i,i′∈{1,2,3,4},j={1,2,…,8},繪制測度表見表5.

表5 測度表

步驟3 統計T(|hij|×|hi′j|) >1 的個數Qii′(i≠i′,i,i′ ∈{1,2,…,8}),得

由判定規則可知方案排序分別為a1?a2,a1?a3,a1?a4,a2?a4,a3?a4,因為Q23=故依據Q23無法判斷方案a2,a3之間的優劣,考慮到

有T+(a2,a3)>T-(a2,a3),即a2?a3.

綜上可得方案排序為a4?a2?a3?a1.

本文針對HFLTSMAGDM 問題,建立了兩種算法,兩種算法在決策前都需要將LTS信息轉換為對應的區間數而后再進行運算.算法一利用積型貼近度公式將HFN 與HFE 的理想值進行測度,把測度結果與之對應的決策專家權重看作二維變量并以點坐標形式書寫,在考慮HFE 的整體值大小與其元素之間離差程度大小基礎上計算屬性權重,考慮的因素比較全面,故具有很強的說服力,最后通過Maclaurin 對稱平均算子集結方案各屬性的加權綜合值.算法二采用經過處理的HFN 值構造區間數并利用區間數熵值法計算屬性權重,通過統計各方案在相同屬性上進行測度的結果數量來判定方案優劣.

4 結論

綜上研究表明，兩種算法在確定屬性權重方面差異明顯,但是都能快速取得排序結果,同時對于最優方案與最差方案的認同也完全一致.這說明兩種算法計算屬性的權重差異只影響處于排序中間的方案順序,決策過程中決策者可以根據決策環境靈活選擇決策算法以滿足決策需求.算法一對于各HFE 中元素數量不同的問題還需要進一步研究;算法二在屬性中存在“一票否決”式重要程度的屬性,決策算法不再適用(對于在教師評優評先及職稱晉升的決策問題中,師德這一評價屬性就是一票否決的,但是,如果在評選的所有教師中,師德皆沒有問題,則可以使用該方法).在HFS中,將隸屬度發生的可能性作為變量添加之后稱之為概率猶豫模糊集(PHFS,見文獻[17]),概念從決策專家數量層面進行的思考.本文從決策專家整體重要性的角度出發,進行了決策算法應用研究,后續針對兩者之間的關系及差異還將做進一步深入研究.