非高斯風(fēng)壓極值估計：基于無可行區(qū)限制的傳遞函數(shù)對比研究

吳鳳波，郭增偉，劉 敏，吳 波，黃國慶

(1. 重慶交通大學(xué)省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗室，重慶 400074；2. 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400044)

風(fēng)壓極值的準(zhǔn)確估計對房屋的抗風(fēng)設(shè)計是極其重要的[1]，特別是低矮房屋圍護(hù)結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計[2]。研究表明：靠近房屋分離區(qū)的風(fēng)壓具有強(qiáng)非高斯特性[3-4]，這使得傳統(tǒng)用于計算高斯風(fēng)壓極值的公式不再適用。為估計非高斯風(fēng)壓極值，眾多研究者主要提出了以下幾種方法：整體極值法、區(qū)域極值法、峰值超閥值法、平均條件超越法、傳遞過程法等。其中，由于概念直接性和操作簡便性，傳遞過程法常用于非高斯風(fēng)壓極值的估計[5-12]。

基于傳遞過程法進(jìn)行非高斯風(fēng)壓極值估計首先需要確定傳遞函數(shù)。由于簡單易用，Hermite 多項式模型(HPM)[6]經(jīng)常被用作傳遞函數(shù)來估計非高斯過程的極值。HPM 模型參數(shù)僅需要數(shù)據(jù)的前四階矩即可確定。Huang 等[8]利用超長風(fēng)壓數(shù)據(jù)對HPM 估計風(fēng)壓極小值的精度進(jìn)行了評估，研究表明HPM 對具有強(qiáng)非高斯性的風(fēng)壓極小值估計誤差較大。基于風(fēng)洞試驗風(fēng)壓數(shù)據(jù)，眾多學(xué)者[8-10]評估了HPM 估計非高斯風(fēng)壓極大值和極小值的精度，結(jié)果表明：HPM 對極大值的估計誤差較大。同時，傳遞過程理論要求傳遞函數(shù)需要保持單調(diào)性，這就意味著HPM 具有一定的可行區(qū)。對于偏度和峰度組合值落在HPM 可行區(qū)外的非高斯風(fēng)壓，HPM 不再適用。為了提高HPM 精度和拓寬其可行區(qū)，Liu 等[9]通過定義新的統(tǒng)計矩提出了piecewise HPM(PHPM)模型，數(shù)值案例分析結(jié)果表明PHPM 精度相比HPM 具有較大的提升。

最近，由于比HPM 有更大的可行區(qū)，Johnson轉(zhuǎn)換模型[13-16](JTM)也被用作傳遞函數(shù)來建立高斯過程與非高斯過程之間的映射關(guān)系。JTM 的可行區(qū)可涵蓋整個Pearson diagram 中的區(qū)域，這就意味著JTM 適用于所有的非高斯過程。Ma 等[14]基于JTM 對高層建筑表面的風(fēng)壓進(jìn)行了模擬，進(jìn)而給出了峰值因子估計值，結(jié)果表明：JTM 對風(fēng)壓極小值的估計效果較好。Wu 等[15]基于JTM 提出了非高斯風(fēng)壓模擬及極值估計方法，且系統(tǒng)比較了HPM 和JTM，研究表明：HPM 和JTM 極值估計差距不大，且兩模型對非高斯風(fēng)壓極小值估計精度都有待提升。受新統(tǒng)計矩成功用于HPM 的啟發(fā)，piecewise JTM(PJTM)也可作為非高斯風(fēng)壓極值估計的選擇模型。然而，目前PJTM 對非高斯風(fēng)壓極值估計精度尚不清楚；同時，JTM、PJTM和PHPM 三種無可行區(qū)限制模型在非高斯風(fēng)壓極值估計精度方面的差別也尚不明確。

為系統(tǒng)比較三種無可行區(qū)限制模型估計非高斯風(fēng)壓極值的精度，進(jìn)而提供非高斯風(fēng)壓極值估計模型選擇原則，本文對三種模型估計非高斯風(fēng)壓峰值因子的精度進(jìn)行了系統(tǒng)的對比研究。首先，對三種模型進(jìn)行了簡要介紹；其次，從理論上對比了三種模型，明確了三種模型的傳遞函數(shù)及其估計極值的區(qū)別；最后，采用超長的風(fēng)洞試驗風(fēng)壓數(shù)據(jù)對理論分析結(jié)果進(jìn)行了驗證，詳細(xì)評估了三種模型估計非高斯風(fēng)壓峰值因子的精度。

1 基于矩的無可行區(qū)限制的傳遞函數(shù)

1.1 Johnson 轉(zhuǎn)換模型—JTM

Johnson[13]基于中心極限定理并參照Perason四參數(shù)系統(tǒng)，提出了一種能將標(biāo)準(zhǔn)高斯序列Z(t)轉(zhuǎn)換為非高斯序列X(t)的四參數(shù)轉(zhuǎn)換模型，該模型被稱為Johnson 轉(zhuǎn)化模型(JTM)。JTM 一般可表示為[13]：

圖1 JTM 的可行范圍Fig. 1 Application range of JTM

1.2 piecewise Hermite 多項式模型—PHPM

基于矩的HPM 可行區(qū)有限，對于強(qiáng)偏斜的非高斯過程，HPM 模型不適用。為了拓寬HPM 可行區(qū)，Liu 等[9]通過定義新的統(tǒng)計矩提出無可行區(qū)限制的PHPM 模型。新的統(tǒng)計矩是基于新定義的概率密度函數(shù)或者數(shù)據(jù)計算獲得。新定義的概率密度函數(shù)具有關(guān)于中值對稱的特性，其對稱的一邊按照如下原則獲得：當(dāng)估計極大值時，取為原始概率密度函數(shù)在中值右邊區(qū)域的部分；當(dāng)估計極小值時，取為原始概率密度函數(shù)在中值左邊區(qū)域的部分。基于新定義的概率密度函數(shù)，與極小值相關(guān)的新四階矩可由式(7)計算：

1.3 piecewise Johnson 轉(zhuǎn)換模型—PJTM

由于新統(tǒng)計矩中的偏度為0，故與極小值或極大值相關(guān)的非高斯過程屬于SU模型或者SB模型。因此，PJTM 模型可表示為如下：

式中：ε-、λ-、γ-和η-為與極小值相關(guān)的PJTM 參數(shù)值；ε+、λ+、γ+和η+為與極大值相關(guān)的PJTM 參數(shù)值。

2 非高斯過程峰值因子估計

在傳遞理論中，非高斯過程和高斯過程基本滿足一一對應(yīng)的關(guān)系，即高斯過程的峰值因子也對應(yīng)于非高斯過程的峰值因子。因此，基于傳遞函數(shù)JTM、PJTM 和PHPM，標(biāo)準(zhǔn)非高斯過程X(t)的峰值因子可近似表示為：

3 JTM、PJTM 和PHPM 模 型 理 論對比

表1 SU&SU、SU&SB 和SB&SB 三種情況的原始和新統(tǒng)計矩Table 1 The original and new statistical moments for the cases SU&SU、SU&SB and SB&SB

基于JTM、PJTM 和PHPM 估計的非高斯過程母本概率密度函數(shù)(PDF)的對比如圖2 所示。值得注意的是，圖2 縱坐標(biāo)采用的是對數(shù)坐標(biāo)，以使PDF 區(qū)別更為明顯。從圖2(a)和圖2(b)中可以看出，對于SU&SU和SU&SB的情況，基于PJTM和PHPM 確定的非高斯母本PDF 尾部較為接近，二者與基于JTM 確定的相應(yīng)值具有顯著的差距。具體來說，基于JTM 確定的PDF 負(fù)尾部大于基于PJTM 和PHPM 確定的值，而正尾部小于PJTM和PHPM 確定的值。從圖2(c)可以看出，對于SB&SB的情況，基于JTM、PJTM 和PHPM 估計的非高斯過程母本PDF 負(fù)尾部差距較小，而正尾部差距較為顯著。具體而言，基于PHPM 估計的非高斯過程母本PDF 正尾部比基于JTM 和PJTM估計的值大。此外，隨著峰度值的增加，基于三個模型估計的非高斯母本PDF 尾部都有所增加。

圖2 基于JTM、PJTM 和PHPM 的非高斯過程母本PDFFig. 2 Parent PDF of the non-Gaussian process by JTM,PJTM and PHPM

圖3 對比了基于JTM、PJTM 和PHPM 的傳遞函數(shù)。從圖3 可以看出，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)高斯過程絕對值較小時，三種模型的傳遞函數(shù)較接近；當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)高斯過程絕對值較大時，三種模型的傳遞函數(shù)具有明顯的差距。對于傳遞函數(shù)正尾部，在峰度較小時，PHPM 最大，JTM 次之，PJTM 最小；而隨著峰度增加至某一值時，JTM 最大，PJTM 次之，PHPM 最小。基于上述現(xiàn)象可得出結(jié)論：隨著峰度增加，三種模型估計的極大值增加速度次序為：JTM、PJTM、PHPM，這意味著JTM 估計的極大值對峰度最為敏感，PHPM 最不敏感。對于傳遞函數(shù)負(fù)尾部，從圖3(a)和圖3(b)可以看出，當(dāng)峰度較小時，PJTM 確定的負(fù)尾部(絕對值)最大，PHPM 次之，JTM 最小；而隨著峰度增加至某一值時，JTM 的傳遞函數(shù)負(fù)尾部(絕對值)最大，PJTM 次之，PHPM 最小。基于上述現(xiàn)象可得出結(jié)論：隨著峰度的增加，JTM 估計的極小值(絕對值)增加速度大于PJTM 和PHPM 估計的相應(yīng)值，這意味著JTM 估計的極小值對峰度最為敏感。綜上所述，基于JTM、PJTM 和PHPM 估計的極值存在差距，這種差距受峰度的影響。

圖3 基于JTM、PJTM 和PHPM 的傳遞函數(shù)Fig. 3 Translation functions by JTM, PJTM and PHPM

4 數(shù)據(jù)驗證

4.1 非高斯風(fēng)壓數(shù)據(jù)

為了評估三種模型估計非高斯極值的精度，本文選用了一組超長風(fēng)洞試驗風(fēng)壓數(shù)據(jù)。風(fēng)壓數(shù)據(jù)來自北京交通大學(xué)風(fēng)洞實(shí)驗室完成的鞍形大跨屋面的風(fēng)壓實(shí)驗。鞍形屋面模型如圖4(a)所示，模型每邊尺寸都為600 mm。模型縮尺比為1∶100，屋面上共布置了265 個測點(diǎn)，具體的測點(diǎn)布置和風(fēng)向角定義如圖4(b)。參考高度的平均風(fēng)速為8.95 m/s，采樣頻率和時長分別為312.5 Hz和55 min。模型和實(shí)際的風(fēng)速比取為1∶2，因此，對應(yīng)的實(shí)際采樣頻率和時長分別為6.25 Hz 和2750 min。本文考慮0°、45°和90°三個風(fēng)向角。因此，共有265×3=795 個風(fēng)壓過程用于分析。該實(shí)驗數(shù)據(jù)的更多詳情可參考文獻(xiàn)[5]。

圖4 風(fēng)洞試驗中的鞍型屋蓋及相應(yīng)測點(diǎn)Fig. 4 Pressure measurements of a saddle roof model in wind tunnel

每個測點(diǎn)處的標(biāo)準(zhǔn)化風(fēng)壓系數(shù)可分為275 段，每段時長為10 min，每段可分別獲取一個最大值和最小值，進(jìn)而得到275 個最大值和最小值的樣本。最大值和最小值樣本的平均值被視為風(fēng)壓系數(shù)對應(yīng)極大值和極小值的真實(shí)峰值因子。同時，本文分別采用275 段的原始和新四階統(tǒng)計矩(均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度)的均值確定JTM 參數(shù)和PJTM/PHPM 參數(shù)，其中每段的新統(tǒng)計矩由每段數(shù)據(jù)的經(jīng)驗PDF 并采用式(7)和式(8)確定。基于確定的JTM、PJTM 和PHPM，采用式(20)和式(21)即可獲得風(fēng)壓系數(shù)峰值因子估計值。值得注意的是，在后面的分析和討論中，假定極值估計不受采樣不確定性的影響。

為評估JTM、PJTM 和PHPM 估計非高斯風(fēng)壓極值的效果，本文將針對PJTM 或PHPM 傳遞函數(shù)的四種情況選擇風(fēng)壓案例。由于PJTM 中的SB&SU與SU&SB在本質(zhì)上是一樣的，因此本文選擇PJTM 傳遞函數(shù)中的SU&SU、SU&SB和SB&SB三種情況作為分析的對象。本文分別選擇0°風(fēng)向角下的測點(diǎn)56 和32 作為SU&SU和SU&SB的案例，選擇90°風(fēng)向角下的測點(diǎn)46 作為SB&SB的案例，選擇的測點(diǎn)已在圖4(b)中用圓圈標(biāo)出。

4.2 SU&SU

測點(diǎn)56 處記錄的標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓時程的偏度和峰度分別為-1.19 和8.17。采用數(shù)據(jù)PDF 經(jīng)驗值計算與極小值和極大值相關(guān)的新峰度分別為8.43 和3.47，屬SU&SU型。圖5 給出了基于數(shù)據(jù)確定的經(jīng)驗傳遞函數(shù)和三個模型(JTM、PJTM 和PHPM)確定的傳遞函數(shù)。從圖5 可以看出，基于PJTM 和PHPM確定的傳遞函數(shù)在正尾部與經(jīng)驗值吻合較好，而基于JTM 確定的傳遞函數(shù)在正尾部偏離經(jīng)驗值，這主要是由于原統(tǒng)計矩不能較好反映目標(biāo)非高斯風(fēng)壓PDF 的正尾部。基于JTM、PJTM 和PHPM估計的傳遞函數(shù)在負(fù)尾部與經(jīng)驗值吻合較好。

圖5 測點(diǎn)56 處的風(fēng)壓系數(shù)傳遞函數(shù)Fig. 5 The translation functions for the wind pressure coefficient recorded at Tap 56

采用式(20)獲得標(biāo)準(zhǔn)高斯風(fēng)壓峰值因子，進(jìn)而通過式(21)獲得不同模型估計的非高斯風(fēng)壓峰值因子，見表2 所示。其中，誤差定義為：(估計值-觀測值)/觀測值。可以看出，三個模型對極小值的估計效果差距不大，估計誤差在10%左右。基于PJTM 和PHPM 對極大值的估計效果較好，而JTM 估計效果較差，這與圖5 得到的結(jié)論是相符合的。

表2 三種模型對測點(diǎn)56 的極值估計結(jié)果Table 2 Extreme value by three models for Tap 56

4.3 SU&SB

測點(diǎn)32 處記錄的標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓時程的偏度和峰度分別為-1.24 和10.11。與極小值和極大值相關(guān)的新峰度分別為10.63 和2.70，屬于SU&SB型。基于數(shù)據(jù)和三個模型確定的傳遞函數(shù)見圖6 所示。可以看出，基于PJTM 和PHPM 確定的傳遞函數(shù)在正尾部與觀測值吻合較好，而基于JTM 確定的相應(yīng)值偏離觀測值，其原因與SU&SU案例相同，即原統(tǒng)計矩不能較好反映目標(biāo)非高斯風(fēng)壓PDF 的正尾部。基于JTM 和PJTM 估計的傳遞函數(shù)在負(fù)尾部與目標(biāo)值吻合較好，而PHPM 確定的傳遞函數(shù)在負(fù)尾部稍偏離了觀測值。估計的高斯和非高斯風(fēng)壓的峰值因子見表3 所示。可以看出，PHPM和PJTM 對極大值和極小值的估計效果都較好，誤差在5%以內(nèi)。JTM 對極小值的估計效果較好，而對極大值的估計效果較差，這與圖6 得到的結(jié)論是相符合的。

表3 三種模型對測點(diǎn)32 的極值估計結(jié)果Table 3 Extreme values by three models for Tap 32

圖6 測點(diǎn)32 處的風(fēng)壓系數(shù)傳遞函數(shù)Fig. 6 The translation functions for the wind pressure coefficient recorded at Tap 32

4.4 SB&SB

測點(diǎn)46 處記錄的標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)壓時程的偏度和峰度分別為-0.81 和3.12。與極小值和極大值相關(guān)的新峰度分別為2.79 和2.07，屬于SB&SB型。基于數(shù)據(jù)和三個模型確定的傳遞函數(shù)見圖7 所示。從圖中可以看出，基于PJTM 和PHPM 估計的傳遞函數(shù)在負(fù)尾部與觀測值吻合較好，而JTM 確定的相應(yīng)值偏離了觀測值。三個模型確定的傳遞函數(shù)在正尾部都偏離了目標(biāo)值，其中PHPM 確定的值比JTM 和PJTM 確定的值更靠近觀測值。表4 列出了相應(yīng)高斯和非高斯風(fēng)壓峰值因子估計值。可以看出，三個模型對極大值的估計誤差超過10%，效果都較差。基于PJTM 和PHPM 對極小值的估計效果較好，而JTM 對極小值的估計效果較差。

圖7 測點(diǎn)46 處的風(fēng)壓系數(shù)傳遞函數(shù)Fig. 7 The translation functions for the wind pressure coefficient recorded at Tap 46

表4 三種模型對測點(diǎn)46 的極值估計結(jié)果Table 4 Extreme values by three models for Tap 46

4.5 總體評估

為全面評估JTM、PJTM 和PHPM 估計非高斯風(fēng)壓極值的效果，本文將基于三種模型對所有測點(diǎn)處的風(fēng)壓過程進(jìn)行極值估計。所有測點(diǎn)處的風(fēng)壓數(shù)據(jù)所對應(yīng)的高斯風(fēng)壓峰值因子見圖8 所示。從圖8 中可以看出，風(fēng)壓數(shù)據(jù)對應(yīng)高斯峰值因子范圍為3.5～3.9。

圖8 高斯風(fēng)壓峰值因子Fig. 8 Peak factor of the Gaussian wind pressure

基于高斯峰值因子，采用式(21)即可求得非高斯風(fēng)壓峰值因子，進(jìn)而獲得三種模型估計峰值因子的相對誤差。表5 統(tǒng)計出了基于JTM、PJTM和PHPM 估計峰值因子相對誤差的絕對值在指定誤差范圍內(nèi)的測點(diǎn)數(shù)目和所占比例。可以看出，PHPM 對極小值的估計誤差(絕對值)小于5%的測點(diǎn)數(shù)目大于JTM 和PJTM 相應(yīng)的測點(diǎn)數(shù)目；PJTM和PHPM 對極大值的估計誤差(絕對值)小于5%的測點(diǎn)數(shù)目遠(yuǎn)高于JTM 相應(yīng)的測點(diǎn)數(shù)目。綜合考慮極大值和極小值，JTM、PJTM 和PHPM 估計極值誤差(絕對值)小于15%的百分比分別為85.8 %、95.8%和98.0%。基于此結(jié)果可知，PHPM 和PJTM的估計效果比JTM 估計效果更好。

表5 三種模型估計的峰值因子誤差水平Table 5 Error level of peak factor estimated by three models

5 結(jié)論

本文首先在理論上對比了基于JTM、PJTM和PHPM 的概率密度函數(shù)和傳遞函數(shù)，然后采用超長風(fēng)洞試驗風(fēng)壓數(shù)據(jù)評估了三種方法估計非高斯風(fēng)壓峰值因子的精度。研究得出以下結(jié)論：

(1) 基于JTM、PJTM 和PHPM 估計的極值存在差距，差距大小受高斯峰值因子、峰度等因素的影響：隨著高斯峰值因子的增大，差距增大；JTM 估計的極值對峰度最為敏感，PJTM 次之，PHPM 最不敏感。

(2) 對于偏度為負(fù)的非高斯風(fēng)壓極小值的估計，PHPM 的精度比PJTM 和JTM 稍高；對于偏度為負(fù)的非高斯風(fēng)壓極大值的估計，PHPM 和PJTM的精度遠(yuǎn)高于JTM，且PHPM 的精度最高。

(3) 綜合來看，PHPM 和PJTM 估計非高斯風(fēng)壓極小值和極大值的精度整體比JTM 更好，其中PHPM 估計效果最好。