含外部輸入的非線性自回歸模型及其在實時混合模擬中的應用

陳夢暉，徐偉杰，高小殊，郭 彤，陳 城

(1. 東南大學混凝土與預應力混凝土結構教育部重點實驗室，江蘇，南京 210096；2. 山東大學土建與水利學院，山東，濟南 250061；3. 舊金山州立大學工程學院，加州舊金山 94132)

實時混合模擬(real-time hybrid simulation，RTHS)作為一種能夠減少實驗室場地尺寸限制和節約試驗成本的新型動力試驗方法，近來受到越來越多國內外研究者的關注[1-4]。實時混合模擬結合了數值計算和試驗測試的優勢，將結構分為數值子結構、試驗子結構2 部分，其中，易于模擬的數值子結構用計算機進行有限元計算，而不易模擬的試驗子結構在實驗室進行實時測試[5-6]。

由于對同步性有極高要求，實時混合模擬一般采用顯式積分算法[7-8]并通過補償[9-10]來消減時滯的不利影響[11-12]。傳統實時混合模擬對數值子結構多采用有限元計算[13]，當數值子結構自由度較多時，容易導致在指定積分步長內無法完成結構下一步響應的計算。相比廣泛用于結構動力分析的有限元軟件，諸如OpenSees 和ABAQUS，目前支持實時混合模擬的有限元軟件HybridFEM[14]和Frame2D[15]無法對復雜的非線性的數值子結構進行快速準確的計算。為了提高計算效率，并充分兼容各種有限元軟件及顯隱式算法的優勢，本文提出了一種基于代理模型的實時混合模擬方法，其核心在于，用含外部輸入的非線性自回歸模型來代替并回避實時混合模擬中的有限元計算，以提高實時混合模擬試驗的計算效率并保證其精度。

1 含外部輸入的非線性自回歸模型

1.1 模型表達式

含外部輸入的非線性自回歸模型(nonlinear autoregressive with exogenous input，NARX)是一種根據輸出和輸入信號的歷史軌跡預測強非線性動態系統輸出的模型[16-17]。對于可以表示成離散差分方程的非線性結構動力系統，含外部輸入的非線性自回歸可以表示為：

1.2 模型設計

由于結構速度響應被選為模型的輸出以更好地反映系統的非線性[20]，本文中NARX 模型的輸入為地震動加速度、試驗子結構反饋力和歷史結構速度響應，輸出為當前步的結構速度響應，實時混合模擬指令位移將根據輸出的速度進行積分得到。NARX 模型被設計為有包括常數項在內的30 項回歸項，回歸項分為如下3 種類型：

式中：x(t)為地震動加速度；F(t)為試驗子結構反饋力；v(t)為結構速度響應；k和n的取值范圍為0～4；j的取值范圍為1～4；l的取值為0 或1；m的取值為0 或3。

一般，向前最大步數建議取值為系統自由度數的2 倍[20-21]，為了充分考慮系統的非線性，本文中向前最大步數被設置為4，提高了模型精度而不影響計算效率。公式中附加的余弦函數是為了消除一些計算中的不穩定現象[21]。

1.3 模型篩選

在NARX 模型中，并非所有的回歸項都是必要的，不必要的回歸項會影響模型的穩定性[19]。實際操作中一般采用最小角回歸對模型進行篩選[21-22]。通過設置閾值從用來訓練的N個試驗中選擇N1個具有較強非線性的試驗，得到篩選后的含外部輸入的非線性自回歸模型：

2 NARX 模型訓練

2.1 單自由度實時混合模擬及數值模型

本文以圖1 所示的單自由度結構的實時混合模擬為研究對象進行仿真與試驗。數值子結構采用Bouc-Wen 模型[23]作為非線性恢復力，而試驗子結構為一個有自復位能力的粘滯流體阻尼器[24]，由預加載的環形彈簧和粘滯流體阻尼器組成，同時具有位移相關和速度相關的滯回性能。阻尼器的參數如下[24]：最大行程±30 mm，最大出力3.6 t；阻尼系數1000 N/(mm/s)0.4，速度指數0.4，最大速度300 mm/s，粘滯流體阻尼器最大出力1 t；環形彈簧預壓力0.1 t，最大出力3.1 t。

圖1 單自由度實時混合模擬Fig. 1 Single-degree-of-freedom RTHS

2.2 隨機地震波

NARX 模型對用于訓練和驗證的地震波沒有特殊要求，采用真實或人工地震波皆可達到同樣效果。本文采用隨機地震動模型[25]生成人工波作為外部激勵。隨機地震動模型的加速度可以通過時間調制的歸一化濾波白噪聲過程與具有時變參數的濾波器表示為[25]：

NARX 模型的精度隨著訓練地震波數量的增加而提高，為了達到滿足需要的精度而不過多增加訓練耗時，本文生成100 條隨機地震波tGM用于訓練NARX 模型如圖2 所示。圖2(a)和圖2(b)分別表示了兩個不確定性參數Ia、ω′與峰值加速度的分布，圖2(c)表示地震波的加速度時程。

圖2 訓練隨機地震波Fig. 2 Stochastic ground motions for training

2.3 NARX 模型訓練采樣

用近似的數值模型代替試驗子結構，將100 條訓練隨機地震波分別作為外部激勵，進行包含地震激勵、數值子結構計算和模擬試驗子結構反饋力計算的閉環數值模擬，用得到的數據來訓練NARX 模型。圖3 比較了試驗子結構的數值模型和實測滯回曲線，可以看出數值模型無法精確地模擬試驗子結構，說明NARX 模型的訓練無需對試驗子結構有十分精確的預估。在模型訓練中不考慮作動器時滯與補償。

圖3 試驗子結構的數值模型與實測滯回曲線Fig. 3 Numerical model and tested hysteretic curve of experimental substructure

從數值模擬得到的數據中提取出用來訓練NARX 模型的輸入和輸出樣本。模型輸入包含地震加速度、結構速度響應和試驗子結構反饋力的歷史時程。模型輸出是當前結構速度響應。每一條地震波運行一次虛擬實時混合模擬，得到一組模擬數據包含接近時間點個數的輸入輸出樣本，可以訓練得到一個NARX 模型。

2.4 篩選回歸項與系數計算

根據100 條訓練隨機地震波，訓練得到100 個NARX 模型。注意到訓練過程中有一些計算不收斂，最終往往得到少于100 個模型。根據閾值篩選出強非線性的訓練數據，再用最小角回歸方法進行篩選。根據最小二乘法計算回歸項前的系數。通過誤差計算選出一個最優的NARX 模型如圖4 所示。由式(7)計算的最小平均相對預測誤差需要滿足0.005 的精度要求。

選出最優模型后，保留最優回歸項，根據最小二乘法用驗證數據重新計算系數，得到的最終如式(3)表示的NARX 模型，其中回歸項和系數如表1 所示。

表1 NARX 模型回歸項和系數Table 1 Terms and coefficients of NARX model

3 基于NARX 模型的實時混合模擬試驗

3.1 實時混合模擬試驗裝置與方法

將作為試驗子結構的自復位粘滯流體阻尼器[24]與實驗室的MTS244.21 伺服液壓作動器連接如圖5 所示。

圖5 試驗子結構與作動器Fig. 5 RTHS experimental substructure and actuator

在實驗室分別進行傳統的實時混合模擬試驗和基于NARX 模型的實時混合模擬試驗，并比較兩者差異。在傳統實時混合模擬試驗中，一條驗證隨機地震波作為外部激勵被輸入到數值子結構中，用CR 算法求解運動方程。得到的計算位移通過IC 補償轉化為指令位移，發送給作動器實時地加載試件。試驗子結構反饋力和計算位移將反饋回數值子結構中，以進行下一步計算，如圖6 所示。

圖6 傳統實時混合模擬Fig. 6 Flow chart of traditional RTHS

在基于NARX 模型的實時混合模擬中，數值子結構被NARX 模型代替，如圖7 所示。外部激勵和反饋力被直接輸入到NARX 模型中，不再需要運動方程和積分算法。模型輸出的計算速度也被反饋回去作為下一步計算的輸入，同時計算位移將根據計算速度積分得到。注意到本文中積分帶來的影響有限，當積分帶來的影響超出可接受范圍時需采取措施消除。

圖7 基于NARX 模型的實時混合模擬Fig. 7 Flow chart of NARX surrogate model RTHS

3.2 實時混合模擬試驗工況

這里將從100 條驗證隨機地震波中，隨機選擇第8 號、第17 號和第20 號地震波作為外部激勵進行實時混合模擬試驗。這三種驗證隨機地震波的加速度時程如圖8 所示。

實時混合模擬試驗包括傳統的和基于NARX模型的實時混合模擬試驗如表2 所示。用于驗證的3 條隨機地震波所對應的2 個不確定性參數以及峰值加速度如表2 所示。

表2 實時混合模擬試驗工況Table 2 RTHS test cases

在實時混合模擬試驗進行中，對于每一條地震波，相同的傳統實時混合模擬試驗會進行2 次并得到99%以上的重合度，以此來保證試驗的可重復性。同時，對于每條地震波，采用IC 補償消除時滯。經過補償之后的作動器追蹤采用FEI[26]誤差包括幅值誤差和平均時滯如圖9 所示。由圖可以看出，時滯對實時混合模擬試驗的影響基本被消除。

圖9 作動器位移追蹤效果(IC 補償后)Fig. 9 Actuator tracking error (after IC compensation)

3.3 基于NARX 的試驗與傳統的試驗結果比較

在實時混合模擬試驗結束后，將基于NARX模型的實時混合模擬和傳統的實時混合模擬得到的2 條位移響應曲線進行比較。定義峰值誤差和相對峰值誤差指標分別為：

式中：x(i)為傳統實時混合模擬試驗的位移響應序列；xs(i)為基于NARX 模型的實時混合模擬的位移響應序列。定義均方根誤差為：

式中，N為時間點數。

試驗的測量位移時程曲線如圖10 所示。由圖10(a)～圖10(c)可以看出，第8 號、第17 號和第20 號地震波的兩條位移響應曲線具有良好的吻合度。三條地震波基本都呈現出基于NARX 模型的實時混合模擬具有較高的試驗精度。誤差主要集中在小位移階段，這可能是由于試驗過程中阻尼器不可避免的滑移所導致的。

圖10 基于NARX 的與傳統的RTHS 測量位移比較Fig. 10 Comparison between traditional and NARX RTHS

兩種實時混合模擬試驗結果的誤差指標如表3所示。由表可以看出，第8 號、第17 號和第20 號地震波的試驗相對峰值誤差分別為1.14%、0.23%和1.55%。均方根誤差分別為0.2873 mm、0.3503 mm和0.3594 mm。試驗峰值誤差和相對峰值誤差隨著PGA 的增大而增大。均方根誤差隨著峰值位移的增大而增大。試驗結果表明基于NARX 模型的實時混合模擬試驗方法是可行的，且與傳統實時混合模擬試驗結果有較高的吻合度。

表3 兩種RTHS 試驗結果誤差Table 3 Error indices of two types of RTHS

試驗子結構阻尼器的滯回曲線如圖11 所示。由圖可以看出，阻尼器體現出自復位和耗能的特性。滯回曲線同樣顯示了基于NARX模型的實時混合模擬試驗與傳統的實時混合模擬試驗具有較高的吻合度。試驗子結構的能量耗散如圖12 所示。由圖可以看出，阻尼器耗散的能量隨時間增長逐步積累。說明基于NARX 模型的實時混合模擬可以獲得與傳統的實時混合模擬非常接近的試驗結果。

圖11 試驗子結構滯回曲線Fig. 11 Hysteretic curve of experimental substructure

圖12 試驗子結構能量耗散Fig. 12 Energy dissipation of experimental substructure

試驗結果還顯示出兩種實時混合模擬方法之間的吻合度與虛擬實時混合模擬得到的吻合度十分接近，這也同時證明了試驗的準確性。

需要說明的是，本文以單自由度非線性結構為例，概念性驗證基于NARX 模型的實時混合模擬方法的可行性與準確性。本文方法相當于在實時混合模擬實驗前，用大量的非線性回歸運算獲得一個近似的數值模型來代替有限元計算。由于NARX 模型為多項式形式，無論是單自由度還是多自由度體系，均采用多項式來代替傳統有限元模型，因此其計算效率是毋庸置疑的，可以在1/1024 s 步長內完成實時混合模擬實驗的計算。多自由度結構可以用有限元計算得到的數據訓練NARX 模型，原實驗中計算所需的大量時間被轉移到NARX 模型的離線訓練耗時中，在保證NARX 模型精度的同時大大節省實驗中的計算時間。本文重點描述準確性問題，在此基礎上的后續研究，將針對更為復雜的多自由度結構，以證實該方法在計算效率方面的優勢。

4 結論

本文采用含外部輸入的非線性自回歸(NARX)模型代替傳統實時混合模擬中數值子結構的有限元模擬和數值積分算法。針對一個包含非線性數值子結構和自復位阻尼器試驗子結構的單自由度實時混合模擬案例，以隨機地震動作為激勵，使用數值模擬數據訓練NARX 模型，以代替傳統的數值子結構，并選擇3 條地震波進行了實時混合模擬試驗驗證。得到以下結論：

(1) 對于選定的地震波，通過調整不確定性參數范圍，設計全模型和篩選方法，可以訓練出具有較高精度的NARX 模型。

(2) 三條驗證地震波的傳統實時混合模擬和基于NARX 模型的實時混合模擬試驗結果表明，兩種試驗方法具有較高的吻合度，驗證了基于NARX模型的實時混合模擬的試驗精度和可靠性。

(3) 基于NARX 模型的實時混合模擬具有替代傳統實時混合模擬的潛力。