基于HLRF 法與修正對稱秩1 方法的改進可靠度方法

范文亮，劉 丞，李正良

(1. 重慶大學土木工程學院，重慶 400045；2. 山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室(重慶大學)，重慶 400045)

在結構可靠度分析領域，研究者經常使用概率分布模型來描述目標結構的荷載、材料屬性等不確定性因素。為考慮這些不確定性因素對結構性能及安全性的影響，發展準確而有效的可靠度分析方法是非常必要的。

一次可靠度方法[1-7]是最常用的可靠度分析方法。其中的驗算點法(即Hasofer-Lind-Rackwitz-Fiessler 方法，簡稱HLRF 法)以其迭代格式簡單、收斂迅速，被廣泛應用于求解可靠指標，且研究者針對HLRF 法在面對復雜問題時常出現的迭代迂回振蕩甚至不收斂的問題，發展了一系列改進的HLRF 法[8-11]。由于驗算點的迭代計算在形式上可以表示為一個約束優化問題，通過引入拉格朗日乘子可得到與之等效的無約束優化方程，因此，將收斂性能更優的無約束優化方法(如擬牛頓優化方法等)引入可靠度分析是可行的研究方向。文獻[12]將擬牛頓優化方法中的BFGS(Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno)方法[13]引入可靠度分析，并結合HLRF 法的步長參數，提出了HLRF-BFGS方法，避免了傳統方法中的步長搜索過程，改善了計算效率。

一次可靠度方法采用了功能函數在驗算點處的線性近似，因此對于功能函數非線性程度較高的強非線性問題，可靠指標的精度往往很難保證。為此，在一次可靠度方法的基礎上，若引入功能函數在驗算點處的二次函數近似，并以此為基礎計算可靠指標，則形成了二次可靠度方法[14-18]。由于需要利用功能函數在驗算點處的Hessian 矩陣，若采用差分法對其計算，盡管改善了計算精度，但降低了計算效率。利用擬牛頓優化方法中對稱秩1 方法[13]近似Hessian 矩陣的良好特性[19]，文獻[20 - 21]分別將一次可靠度方法的傳統優化求解結果或HLRF-BFGS 方法的求解結果與對稱秩1 方法的近似Hessian 矩陣計算相結合，給出了與一次可靠度方法具有相同效率的二次可靠度方法。然而，在利用各優化方法獲得一次可靠度的結果后，上述方法均主觀地將迭代過程的結果直接用于對稱秩1 方法中Hessian 矩陣的正迭代，不能保證迭代結果的匹配性；此外，由于引入拉格朗日乘子處理約束優化問題，迭代過程中的Hessian矩陣是針對拉格朗日函數，而非功能函數，因此，嚴格意義上需通過拉格朗日函數的Hessian 矩陣確定功能函數的Hessian 矩陣。

為此，本文將修正對稱秩1 方法[22]與HLRF 法的步長確定策略相結合，發展了一種具有更優收斂性能的改進一次可靠度方法；其次，利用改進一次可靠度方法的迭代結果給出了功能函數的近似Hessian 矩陣，保證了一次可靠度分析與Hessian矩陣近似中參數的匹配性。然后，結合坐標旋轉、單變量降維近似模型與非中心卡方分布，提出了可兼顧效率和精度的改進二次可靠度方法。

1 基于修正對稱秩1 方法的改進一次可靠度方法

1.1 標準正態空間內可靠度問題的等價描述

式中：ρX為X的相關系數矩陣；μi和σi分別為X的均值和標準差；Herk(·)為Hermite 正交多項式；φ(·)為標準正態變量的概率密度函數；mi為方程的最高次數。表1 給出了三種常用分布的mi，其余常用分布的mi詳見文獻[23]。

表1 常用分布的miTable 1 mi for common distribution

由上述Nataf 變換，可得標準正態空間的功能函數表達式：

1.2 基于HLRF 法與修正對稱秩1 方法的可靠度分析

1.2.1 基于修正對稱秩1 方法的可靠度分析

對于式(10)所示的無約束優化問題，可以采用各種優化方法求解。擬牛頓優化方法是一類具有較好收斂性能的優化方法，其中的對稱秩1 方法在保持良好收斂特性的同時可以獲得較好的近似Hessian 矩陣[19]，修正對稱秩1 方法[22]由于在優化迭代過程中更充分地利用了功能函數的函數值與一階偏導數值，具有比對稱秩1 方法和BFGS方法等擬牛頓優化方法更好的收斂性能和計算效率，因此，文中引入修正對稱秩1 方法求解上述優化問題。

1.3 隱式功能函數的處理

綜合1.1 節～1.3 節，即可形成一種無步長搜索的高效一次可靠度分析方法，本文將其稱為基于修正對稱秩1 方法的改進一次可靠度方法，簡稱為改進一次可靠度方法或建議方法1。

1.4 改進一次可靠度方法的實現步驟

文中建議的改進一次可靠度方法的實現步驟為：

1) 計算等效相關系數，將原始空間隨機向量X轉換為獨立標準正態向量U。

2 功能函數的近似Hessian 矩陣及改進二次可靠度方法

功能函數的Hessian 矩陣計算是二次可靠度方法的重要環節。由于在第1 節改進一次可靠度方法的過程中利用了Hessian 矩陣的逆矩陣，盡管該逆矩陣是針對拉格朗日函數的，但仍可能在不增加功能函數調用次數的基礎上獲得功能函數的Hessian 矩陣近似解。

2.1 基于修正對稱秩1 方法的功能函數近似Hessian矩陣

2.1.1 拉格朗日函數的近似Hessian 矩陣

2.2 基于非中心卡方分布積分的改進二次可靠度方法

2.2.1 基于正交矩陣的坐標旋轉

為降低二次近似函數中交叉項的影響，一般需采用正交矩陣進行坐標旋轉。常用的正交矩陣有：1) 由梯度向量正交化確定的正交矩陣[27]；2) Hessian 矩陣的特征向量矩陣[28]；3) 上述兩個矩陣的乘積[20]。考慮到文中Hessian 矩陣是近似確定的，為避免誤差累積，故由梯度向量正交化確定的正交矩陣進行旋轉。

綜合2.1 節和2.2 節，即可形成一種更好地兼顧精度與效率的二次可靠度分析方法，本文將其稱為改進二次可靠度方法。

2.3 改進二次可靠度方法的實現步驟

在第1 節改進一次可靠度方法的基礎上，改進二次可靠度方法的實現步驟如下：

1) 基于改進一次可靠度方法的計算結果，可根據迭代法(結合式(18)、式(21))或求逆法(結合式(19)、式(21))計算功能函數的近似Hessian 矩陣。

4) 基于式(36)求解失效概率，其中，FZ(·|s,δ)可直接調用MATLAB 軟件中的 ncx2cdf(·|s,δ)命令計算。

由于存在迭代法和求逆法兩種確定Hessian 矩陣的方式，文中把與之對應的改進二次可靠度方法分別稱為建議方法2-1 與建議方法2-2。

3 算例分析

為了驗證所提出方法的有效性，文中分別對2 個純數學表達式的功能函數算例和2 個具有工程背景的算例進行分析。其中，前兩者視為功能函數表達式已知的顯式功能函數情形，其分析次數為函數調用次數與偏導數計算次數的和；后兩者視為功能函數表達式未知的隱式功能函數情形，功能函數的偏導數采用差分法計算，其分析次數為函數調用的次數。同時，為考察建議方法的精度與效率，文中將其與一次可靠度方法中的HLRF法[5]、HLRF-BFGS 方法[12]和二次可靠度方法中的Breitung 方法[14]、擬牛頓近似方法[21]進行對比分析。其中，文獻[21]是將近似的Hessian 矩陣與常用的7 種二次可靠度方法分別結合的結果的均值作為最終結果，為簡便，本文僅采用其與Breitung方法結合的結果。各方法精度比較時，以抽樣數為108的Monte Carlo 法(記為MCS)結果作為標準解，各方法的誤差為：

由表3 結果可知，本文建議方法1 相比HLRF法和HLRF-BFGS 方法而言，能夠更快收斂，減少了功能函數調用次數，而且達到了近乎相同的一次可靠指標精度，但是上述三種一次可靠度方法的結果精度都不理想。本文建議的改進二次可靠度方法在改進一次可靠度方法的基礎上，不額外增加函數調用次數和偏導數計算次數，用更高的效率達到了與二次可靠度方法的Breitung 方法、擬牛頓近似方法相近的精度。值得注意的是，建議方法2-1 與建議方法2-2 的效率與精度完全一致，這驗證了本文所提改進二次可靠度方法在一次可靠度分析與Hessian 矩陣近似過程中是自洽的。其余算例在自洽性方面都有相同結論，因此后續算例不再進行討論。

表2 算例1 中隨機變量的統計特征Table 2 Statistical characteristics of the random variables in Example 1

表3 算例1 中可靠度計算結果Table 3 computed reliability results of Example 1

算例2. 四變量功能函數

假設功能函數為[28]：

由表4 結果可知，一次可靠度方法中，本文建議方法1 在效率上與HLRF 法、HLRF-BFGS 方法相當，且該三種方法的精度都完全一致，但與MCS 結果相比誤差偏大。建議方法2-1 在效率與建議方法1 相同的情況下，提高了可靠指標精度，相比Breitung 方法、擬牛頓近似方法而言誤差更小。因此，本文建議的二次可靠度方法能更好地兼顧精度與效率。

表4 算例2 中可靠度計算結果Table 4 computed reliability results of Example 2

由表4 結果可知，一次可靠度方法中，本文建議方法1 在效率上與HLRF 法、HLRF-BFGS 方法相當，且該三種方法的精度都完全一致，但與MCS 結果相比誤差偏大。建議方法2-1 在效率與建議方法1 相同的情況下，提高了可靠指標精度，相比Breitung 方法、擬牛頓近似方法而言誤差更小。因此，本文建議的二次可靠度方法能更好地兼顧精度與效率。

算例3. 三變量工程實例

考慮Chan 和Low[32]首次提出的一個柔性矩形基礎沉降問題，并對其變量類型進行修改，沉降問題的功能函數可以表示為：

假設泊松比與彈性模量之間的相關系數為0.5，部分確定性參數見表5，隨機變量統計特征見表6。表7 給出了可靠度計算結果。

表5 確定性參數Table 5 deterministic parameters

表6 算例3 中隨機變量的統計特征Table 6 Statistical characteristics of the random variables in Example 3

表7 算例3 中可靠度計算結果Table 7 computed reliability results of Example 3

由計算結果可知，一次可靠度方法中，建議方法1 與HLRF-BFGS 方法具有一致的精度與效率，相比HLRF 法具有更高的效率。建議方法2-1相比Breitung 方法而言在保持相近的精度的同時，具有顯著的效率提高，與擬牛頓近似方法相比，盡管兩種方法效率一致，但建議方法在精度上有明顯的改善，進一步驗證了本文建議的改進二次可靠度方法在兼顧效率和精度上的優勢。

算例4. 多變量工程問題

考慮文獻[33]的具有9 個隨機變量的懸臂管工程算例，如圖1 所示，懸臂管在x-y平面上受集中荷載F1、F2，在y-z平面受軸力P與扭矩T，圖1中的A點將出現最大的Von-Mises 應力σmax，將σmax超過材料的屈服強度Sy作為失效準則，于是功能函數為：

圖1 懸臂管Fig. 1 Cantilever tube

算例中兩個角度為定值，θ1=5o、θ2=10o。懸臂管隨機變量統計特征見表8，其中，原文獻中可靠指標偏低，文中對屈服強度參數進行調整以達到高可靠指標。表9 給出了可靠度計算結果。

表8 算例4 中隨機變量的統計特征Table 8 Statistical characteristics of the random variables in Example 4

表9 算例4 中可靠度計算結果Table 9 computed reliability results of Example 4

可以看出，本文建議方法1 與HLRF 法在效率和精度上都一致，相比HLRF-BFGS 方法而言收斂更快。建議方法2-1 在效率和精度上，相比已有的二次可靠度方法都有一定改善。

4 結論

本文引入拉格朗日乘子，將約束優化的可靠度問題轉化為無約束優化問題，并結合修正對稱秩1 方法與HLRF 法，提出了具有較好收斂性的改進一次可靠度方法。在此基礎上，結合坐標旋轉、單變量降維近似和非中心卡方分布進一步提出了改進二次可靠度方法。通過算例分析可得到如下結論：

(1)由于修正對稱秩1 方法的良好收斂特性和HLRF 法無需迭代確定步長的特點，本文的改進一次可靠度方法繼承了兩者的優點，既有良好的收斂性，亦有較高的效率。

(2)由于近似的Hessian 矩陣既可以基于改進一次可靠度方法的迭代過程結果確定，亦可以由最終的Hessian 逆矩陣求逆獲得，且能保持兩者結果的一致性，因此，本文的改進二次可靠度方法在一次可靠度分析與Hessian 矩陣近似過程中是自洽的。

(3)由于改進二次可靠度方法所采用的Hessian矩陣不需要額外調用功能函數，因此，本文的改進二次可靠度方法可以更好地兼顧效率與精度。

(4)由于引入差分近似偏導數，本文的建議方法均適用于顯式、隱式功能函數。