有限元法提取寄生參數的宏敏感度模型

張 程，徐小宇

（1.中國科學院微電子研究所，北京 100029；2.中國科學院大學，北京 100049）

在集成電路（IC）設計過程中，寄生參數提取的精度問題是一個非常重要的議題，它取決于基于麥克斯韋方程組的電磁場求解器，通過求解器進行參數提取往往會耗費大量的時間與資源，不符合當前集成電路設計中快速簽核的目標。宏模型通常是原始物理系統的簡化等效模型，它保留了原系統的基本物理屬性，能夠提高系統分析的速度、節省計算時間。近幾年來，宏模型還被用來保護設計中的知識產權，作為黑盒子來模糊處理敏感的設計或者工藝，達到加密的效果[1-4]；另一方面，集成電路制造技術的特征尺寸如今已發展至納米級，工藝波動也是一個關鍵問題[5-9]。

在有限元法的基礎上，文中提出一種敏感度模型，以擴大宏模型的應用范圍。將該敏感度模型與宏模型進行結合，能夠用來分析集成電路寄生參數的敏感度，從而為半導體廠商提供評估宏模型可靠性的方法，為電路設計者提供優化電路布局、提升整體電路設計效率的手段。

1 宏敏感度模型

1.1 宏模型

對集成電路電阻、電容等參數的提取需要通過麥克斯韋方程組求解電路的場分布，可以采用多種電磁場數值求解方法，如有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、邊界元法（BEM）、浮動隨機行走法（FRW）、矩量法（MoM）、多層快速多極子法等，這些方法各有利弊[1-15]。

電磁場數值求解方法都可用來生成宏模型，相應地，宏模型也可被上述方法進行調用[1]。需要注意的是，對于不同方法生成的宏模型，其構成元素的含義并不完全一致，因此在使用不同方法交叉調用宏模型時需要根據不同的含義在界面的節點或者面元上進行電勢或者電通量的耦合。

在使用宏模型對相應電路進行參數提取時，為了保證精度和可靠性，需要對網格充分細化，必要時還可使用二階基函數描述網格單元[3]。

下面以二維情形為例說明宏模型的構成。如圖1所示，在多導體靜電系統之中，兩個導體結構位于接地襯底之上，其中，虛線標識的區域（導體#1 周圍）為宏模型區域，導體#1 與導體#2 位于接地襯底（導體#0）上方。宏模型區域可以由任意形狀的封閉曲面圍成，也可以包含多個導體、多層介質。

圖1 多個導體的二維靜電系統示意圖

根據有限元法的基本求解過程，首先對計算區域進行空間體網格離散。對于電介質區域內的各個網格節點，設定電勢Vi；對于導體表面的網格節點，設定電勢Vc，注意這里不包括導體的內部節點，導體內部區域可以從計算區域之中去掉；對于宏模型表面上的節點，設定電勢Vp，表面節點可以類比電路的端口（port）。上述的網格節點分別稱為內部節點、導體節點、端口節點。對于集成電路結構中的浮導體，可以視為介電常數較大的介質類比處理。對于宏模型邊界包含導體面的特殊情況，即部分端口節點是導體節點，其大致流程沒有顯著變化，文中僅就一般情況進行討論。

通過有限元法構建的宏模型采用矩陣形式表達，記為矩陣KM，如式（1）所示[1]：

其中，K為有限元法生成的總體剛度矩陣，子矩陣Kii描述了內部節點間的相關關系，Kpp描述了端口節點間的相關關系，而子矩陣Kip和Kpi互為轉置，描述了端口節點和內部節點間的相互聯系。

向量Vi和宏模型矩陣KM之間的關系通過式（1）變換導出：

由此，可得到宏模型的組成，主要包括：

1）端口節點的坐標以及節點之間的關聯關系；

2）宏模型矩陣KM。

生成該宏模型后，半導體制造廠商可以只將宏模型提供給設計者，由于宏模型區域只包含表面節點信息，不包含宏模型內部區域的細致結構信息，因此保護了重要敏感目標和相應的知識產權，如關鍵的工藝信息不會被競爭對手輕易獲得。對于大量重復出現的結構，宏模型可簡化計算，不用對此類結構內部進行反復建模分析。

1.2 宏敏感度模型的推導

當前，最先進的集成電路工藝特征尺寸處于納米量級，并且繼續向極限發展。制造過程中的工藝波動（也可稱為變異或漲落）相對于電路線寬等尺寸的比例越來越顯著，成為可制造性設計中不可回避的問題。敏感度分析是處理此類工藝變異問題的有效工具[6-7]。當集成電路的幾何參數或材料參數發生變化時，它能夠有效預測在標稱尺寸下的參數提取結果。

基于有限元法，結合宏模型以及敏感度分析，文中提出了宏模型的敏感度模型，為方便起見，可稱為宏敏感度模型。

給定一個設計參數p，該參數可以是幾何參數（如導體寬度、厚度尺寸或者導體之間的距離）或材料參數（如絕緣介質層的介電常數）。將式（1）中的表達式分別對設計參數p求偏導，可得到：

將式（2）代入式（4），可獲得Vi關于p的偏導數：

將式（2）、（3）和式（6）代入式（5），KM對設計參數p的偏導數可以寫為：

通常，由有限元法生成的矩陣KM和Kii是對稱矩陣，從式（7）也可以看出，同樣是對稱矩陣。

根據上述推導，完整的一階宏敏感度模型由如下三部分組成：

1）端口節點的坐標以及節點之間的關聯關系；

2）宏模型KM；

2 應用

2.1 宏模型的應用

在結合有限元法使用宏模型時，除了宏模型所處的子區域，計算區域其余部分都需要進行網格離散。設基于有限元法所形成的總體剛度矩陣為M，根據節點所處的位置，其可分解為：

其中，Moo表示宏模型區域之外電介質內節點之間的本構系數，Mop表示內節點與宏模型端口節點之間的本構系數，Mpp表示宏模型端口節點之間的本構系數，KM表示宏模型，Noc表示內節點與導體面上節點之間的本構系數，Npc表示端口節點與導體面上節點之間的本構關系，Lcc表示導體面上節點之間的關系。

對于n個導體系統的電容參數矩陣提取來說，設定其中一個導體為主導體（施加1 V 電勢），其他導體為環境導體（施加0 V 電勢），可以得到：

其中，Vo是施加在除宏模型區域之外的區域中電介質內節點上的電勢，Vp是施加在宏模型端口節點上的電勢，vo0i和vp0i表示在提取參數時施加在導體上的電勢矢量，下標i表示第i個導體，導體i上施加1 V 電勢，其他導體為0 V 電勢。

求解方程式（10）可以得到電勢分布ve。

需要注意的是，宏模型區域邊界上的節點信息是既有存在的，在對計算區域進行網格剖分時，需要適應這些節點信息。如果計算區域不按照這些既定網格節點進行剖分，就會導致網格節點不匹配，這時需要在界面上進行插值和映射處理[16]。

2.2 宏敏感度模型的應用

采用同樣的方式，將式（10）兩邊對參數p求偏導數，得到：

3 數值算例

分析上述推導過程可以發現，處理二維和三維參數提取問題的方法是一致的，并且與常規的有限元法形成的線性代數矩陣相比，在宏模型之外的區域沒有差異，因此，為方便起見，可以只采用二維問題進行數值分析與驗證。

如圖1 所示算例，各標稱尺寸分別為導體#1 寬度W為0.1 μm，厚度T為0.22 μm，導體#1 與導體#2的間距S12為0.24 μm，導體#1 與導體#0 的間距D10為0.50 μm。導體所處空間電介質的相對介電常數為εr=4.2。假設W和T分別有10%的變異程度，分別使用直接有限元法和靈敏度模型計算變異之后的電容，計算結果如表1 所示。

表1 采用不同方法獲得的電容提取結果（單位長度電容的單位：×105 fF）

由于宏模型的內部結構和材料信息被隱藏，在使用宏模型時，半導體制造商可以計算宏模型內所有導體的全電容矩陣，而設計機構只能將宏模型視為等效導體，并得到宏模型邊界上的表面電荷。因為敏感度模型的精度受網格精度的影響較大，所以需要嚴格控制離散網格的密度以達到最優的求解性能。敏感度分析是在局部范圍內進行的，因此只考慮宏模型內部（如圖1中的T、W和ε1）和邊界上（如圖1中的S12和D10）的變化。

4 結論

文中提出了一種宏模型的敏感度模型用于集成電路寄生參數提取，并給出詳細的實現與應用流程。與宏模型相比，該模型能夠提供更多的局部場信息，可以用來預測工藝變異對寄生參數的影響。半導體制造廠商提供宏模型以加密電路結構時，能夠通過它來評估宏模型的可靠性，而電路設計者則可以在僅掌握宏模型的信息基礎上，以此來分析工藝變化對電路性能的潛在影響。