自抗擾控制器在球桿系統中的應用與研究

翟光雯，陳海峰

（1．蕪湖市科技館，安徽 蕪湖 241000；2.安徽工程大學，安徽 蕪湖 241000）

球桿控制系統的非線性研究具有重大的意義，其結構簡單，工作原理直觀。因本身的非線性問題，在電位計對小球位置測量時，由于電壓波動導致的不連續性等非線性因素，且球桿控制系統易受到多方干擾。因此，對實際非線性穩定性的研究可以移植到球桿系統上來[1-3]。

國內外學者對球桿系統進行了大量研究。李真等[4-8]對球桿系統采用了自適應控制策略，提高了控制性能如對外部干擾的抑制，但是文章并沒有提到內部干擾對系統的影響；曹海青等[9]利用自適應網絡控制和分數階PID 控制相結合，針對球桿系統的數學模型不確定性問題進行了研究仿真，設計過程簡單，并取得了較好的控制效果；作為經典的控制策略，PID 控制器在球桿系統中得到了一定的應用[10-13]。球桿系統的不穩定特性對整個球桿系統有較大的影響，PID 控制不能較好地對其進行控制。

球桿系統的研究不僅有以上所陳述的控制，還有模糊控制、有限時間控制、滑膜控制、分數階控制等策略[14-17]，有效提高了球桿系統的控制效果。由于球桿系統的外部、驅動機構和執行機構帶來的干擾未能得到很好地抑制，該系統的控制精度已經不能滿足人們的需求。為此，本文設計了一種自抗擾控制策略，不僅有效跟蹤了小球的位置還抑制了系統的總擾動，很好地控制了小球的運動，提高了系統的穩定性和控制品質。

自抗擾控制器是韓京清先生提出的，采用了能提供更好的噪聲衰減性能并避免抖振現象的跟蹤微分器。為了提高快速運動條件下的伺服平臺跟蹤性能，提出了一種新型的NLSEF；哈爾濱工程大學研究員將自抗擾控制技術應用到水下機器人，仿真得出其具有自適應性和魯棒性[18]。周凱等[19]在滑膜控制的基礎上，為解決永磁同步電機的速度不可控問題設計使用了自抗擾控制技術，實現了4 段式速度伺服控制。然而在解決此問題的過程中，出現了大量的參數需要整定。為了解決此問題，劉丙友等[20]運用等效替代法對PIDNN 的參數整定進行了公式推導從而整定出自抗擾控制器的參數，代替了經驗法的參數整定；王麗君等[21]在其他學者的研究基礎上提出了基于粒子群算法的自抗擾控制器運用于航天器姿態控制，通過該方法優化了參數，使參數選擇不再依賴于經驗。因此本文將使用自抗擾控制器對球桿系統進行研究。

本文首先建立了球桿系統的數學模型，然后對自抗擾控制進行概述，隨后通過自抗擾控制器對球桿系統的不精確數學模型、球桿系統內部及外部的干擾等進行及時補償，擴張為一個新的狀態變量，最后基于自抗擾控制器對球桿系統進行仿真。

1 球桿系統的數學模型

球桿系統的支撐導軌是由測量小球位置的刻度尺和將位置信號轉換為電壓信號的電位計兩部分構成。球桿系統的整體結構圖如圖1 所示。系統通過改變直流伺服電機的位置角最終確定橫桿的角度，使小球在重力的作用下在支撐導軌上運動。

圖1 球桿系統的整體結構圖

設小球的質量為m，坐標位置為（x，y），根據直角坐標與極坐標的關系并求導，得到速度關系為：

為此可得小球在軌道上運動W1的動能（即小球沿橫桿方向上運動的動能）

設R為小球的半徑，則求導得

則小球沿自身轉動的動能W2為

式中：J為小球的轉動慣量

小球沿固定端點轉動的動能W3為

式中：JL為橫桿的轉動慣量

故，系統的動能W為

小球沿r方向運動引起的勢能為

球桿自身旋轉所引起的勢能為

總勢能V為

根據Lagrange 函數對T定義：系統總動能W與系統總勢能V之差，即T=W-V得：

根據Lagrange 運動學方程式（1）得

由上式得

對球桿系統簡化處理得

當齒輪轉動時就會導致連桿上下移動，連桿作用到導軌上使得其繞固定端連桿的頂端上下轉動。轉角θ 和轉角α 之間的關系可以由式（16）表示：

從式（16）中我們發現該方程是一個非線性函數，因此簡化處理可得

將式（17）帶入到式（15）得

將上式變換得

2 自抗擾控制器的設計

2.1 跟蹤微分器

跟蹤微分器為球桿控制系統提供一個優質的信號，對球桿系統輸入安排過渡過程[22]。

球桿控制系統跟蹤微分器為

式中：r為球桿控制系統的輸入信號；x1是球桿系統的跟蹤；x2是球桿系統跟蹤信號的微分；fhan（ψ，x2，r0，h0）為最速控制綜合函數，

2.2 擴張狀態觀測器

擴張狀態觀測器對球桿系統的各種不確定性進行補償。本文所設計的改進型自抗擾控制器中采用了2個ESO，ESO1 用來觀測估計小球的位置信號和系統外環的擾動，ESO2 用來驅動機構的位置角和系統內環的擾動。改進型ESO 表達式：

式中：e1，e2，e3分別為球桿系統的誤差，誤差的積分，誤差的微分；x（t）為球桿控制系統小球的輸入位置；Z11是小球的跟蹤信號；Z12是小球跟蹤信號的微分信號；Z13是球桿控制系統的總擾動；α1，α2，α3為非線性因子；β1，β2，β3是ESO 的增益。

2.3 非線性狀態誤差反饋控制律

NLSEF 表示跟蹤差分（TD）的輸出與擴展狀態觀測器（ESO）產生的狀態變量估計之間的非線性連接。

式中：α1，α2，α3為函數的非線性因子；β1，β2為函數的增

益。它具有良好的適應性和魯棒性。

2.4 系統的整體結構

系統總體結構如圖2 所示。

圖2 球桿系統的自抗擾控制策略

改進型NLSEF 是通過非線性組合的方式，它的參數直接對TD 和改進ESO 能否達到最佳組合產生影響。改進型ADRC 各部分參數見表1。

表1 球桿系統的自抗擾控制策略

3 仿真分析

為了驗證本文提出的自抗擾控制策略的優越性，對其進行仿真。輸入1 個階躍函數時，對比圖3 中3 種控制器的響應曲線，其中小球到達指定位置時PID 最慢，改進的ADRC 速度最快，且小球達到穩定時間最快，傳統ADRC 介于2 者之間。改進型ADRC 解決了超調和快速響應之間的矛盾。

圖3 階躍響應曲線

輸入一個正弦函數時，觀察圖4 中3 種控制器都有較好的跟蹤效果。從圖中能發現，PID 控制的超調量較大，傳統ADRC 和改進型ADRC 都無超調量，但在跟蹤效果上，改進型ADRC明顯比傳統ADRC的效果要好。

圖4 正弦響應曲線

為了更好地驗證改進型ADRC 控制器的魯棒性，對不同方差的白噪聲干擾進行仿真。從圖5 中發現PID 控制器的輸出幅值有明顯的波動，傳統ADRC 有較小的波動，改進型ADRC 基本無波動。從而驗證了改進型ADRC 的魯棒性較強。

圖5 白噪聲干擾響應曲線

4 結論

從仿真實驗可知，在球桿系統中，改進型ADRC 控制器具有更好的控制效果。相比于兩種傳統的控制策略，改進型ADRC 控制器響應速度更快，抗干擾能力更強，具有更好的魯棒性，具有一定的工程意義。