基于Hopfield 神經網絡的有限元模型修正

楊昕怡

(武漢理工大學土木工程與建筑學院，武漢 430070)

自有限單元元分析法問世至今，一直備受工程界學者的廣泛關注。利用有限元模型來模擬研究結構響應對結構的設計、運營、維護、監測等活動具有重大作用。有限元模型修正主要是用結構實測的響應來反演結構力學參數，如彈性模型、質量、密度、尺寸參數等。常用的結構實測響應數據主要有靜力數據和動力數據。由于結構動力數據種類豐富、測量方便，因此基于動力數據的有限元模型修正方法較多。國內外很多工程領域的研究人員都對基于動力數據的模型修正方法開展了研究，例如，方圣恩等[1]提出了一種模型修正措施,將建立的響應面模型與應用蒙特卡羅仿真技術得到的結構響應樣本相聯合，用于結構有限元模型修正。姚春柱等[2]采用了貝葉斯模型修正方法，將使用吉布斯抽樣的蒙特卡羅馬爾科夫鏈抽樣方法得到的數據代入隨機模型，應用貝葉斯理論，得到關于模型參數的后驗分布動態統計特征,達到對參數進行識別的目標。陳輝等[3]結合結構隨機響應實測數據列出了能準確表達待修正參數與結構反應之間聯系的模型修正方程式，并在求解該方程時運用混合攝動-伽遼金方法,從而獲取修正參數的概率統計特征。在國際上，美國的Beck J L教授[4]在對線彈性土木結構的隨機模型修正研究中應用了貝葉斯方法，通過判斷所抽取樣本對應的響應與測量結果是否吻合來確定修正參數。Rui[5]通過響應面法、改進的蒙特卡洛統計模擬法和移動最小二乘法求解了模型修正方程。

模型修正是力學反問題，求解模型修正方程，會涉及大型矩陣反復求逆，或存在多解或者病態問題，導致計算精度不高。并且根據目前國內外研究人員的研究成果可以看出學者們對模型修正的研究還在初級階段，還需克服許多困難。因此，在工程界的迫切需求下，提出更為實用和高效的模型修正方法具有必要性。使用Hopfield 神經網絡來求解模型修正方程能有效解決上述問題。首先建立基于動力模態數據的模型修正方程，并對Hopfield 神經網絡解決實際問題的理論解與模型推導進行闡述，然后通過一個兩跨連續梁對該方法進行了驗證。結果表明，該方法能非常準確地求解模型修正方程，使修正結果與預設的工況一致，修正后的結構參數能夠復現結構動力響應，具有實際工程意義。

1 理 論

1.1 模型修正方程的建立

考慮具有N個自由度的無阻尼結構，初始模型滿足以下特征值方程

Kaφi=λiMaφi(i=1,…,nc)

(1)

式中，Ka和Ma分別是初始結構模型的整體剛度矩陣和質量矩陣；λi和φi分別是初始模型的第i階特征值和特征向量;nc為初始模型的計算模態個數。

類似地，實際結構的特征方程可以表示為

(2)

初始結構跟實際結構的質量矩陣與剛度矩陣存在以下關系

(3)

(4)

式中，Ne為結構的單元個數;Kn和Mn分別是結構第n個單元的N×N單元組裝矩陣;αn和βn分別為結構第n個單元的質量和剛度的修正系數，表示為實際結構的單元剛度和質量相對于初始矩陣的變化率。

(5)

(6)

合并式(5)和式(6)可以得到

(7)

將式(3)、式(4)代入式(7)可以得到

(8)

對式(8)進行因式變換可以得到

(9)

式(9)可以簡寫為

(10)

1.2 Hopfield 神經網絡

Hopfield神經網絡作為一種遞歸神經網絡，具有多反饋回路。遞歸神經網絡通過結構遞歸建立，根據不同形式的遞歸性應用，產生了許多具有不同結構的遞歸網絡。在各種神經網絡的學習算法中，梯度下降法應用十分廣泛。采用Hopfield神經網絡來求解現行矩陣方程，根據得到的解與理論解之間的對比，能判斷該神經網絡模型求解線性矩陣方程的有效性。

x=[C(0)E(0)]/f(0)=([C(0)E(0)]-1)·f(0)

下面依據負梯度設計方法推導該神經網絡模型：

1)構造一個基于矩陣范數的標量誤差函數

2)為了使上述誤差減小，可采用經典的負梯度方法，因此我們可以得到如下誤差函數負梯度方向作為下降方向

3)線性的基于負梯度的神經網絡模型如下

其中參數γ>0決定網絡的收斂速度，如條件允許，越大越好。

2 數值算例

下面對一個雙跨連續梁進行模型修正研究，跨長和梁截面如圖1所示。模擬連續梁的有限元模型由12個相同的歐拉-伯努利梁單元組成。單元中的每一個節點包括兩個自由度、一個垂直位移和一個扭轉角度。假設初始梁模型彈性模量為2.8×l010Pa，密度為2.5 ×103kg/m3。

假設第②、⑤、⑩三個單元的真實質量分別下降了40%、30%和20%，同時第③、⑤、⑨、⑩、單元的彈性模量分別減少30%、40%、35%、30%和20%，其他單元的質量與彈性模量保持初始值不變。將12個單元的彈性模量和質量認定為修正參數。修正后的彈性模量參數從左到右編為1～12號，相應的質量參數為13～24。換句話說，修正后的參數總數為24。

計算得到該兩跨連續梁24個參數修正后的神經網絡預測值與實際真值結果對比如圖2所示。

由圖2可以看出，修正后的Hopfield識別值與實際真值基本吻合，由此可證明Hopfield神經網絡修正模型的有效性。

3 結 論

該文提出了一種基于Hopfield人工神經網絡和模態數據求解有限元模型修正參數的方法。基于結構實測響應，通過構建修正方程與Hopfield神經網絡對一兩跨連續梁質量與彈性模量參數進行修正，修正后得到的有限元模型與結構實際特征基本統一。因此可以認為將Hopfield神經網絡引入模型參數修正中可以避免大型矩陣求逆和正則化，能更準確的修正結構參數。