復數編碼的樽海鞘群算法及其應用*

彭石燕，鄭洪清

（1.柳州鐵道職業技術學院，廣西柳州 545616；2.廣西職業師范學院教育學院，廣西南寧 530007）

0 引言

群智能算法作為一種新興的演化計算技術，已引起越來越多研究者的關注并在許多領域發揮著重要作用，但是當優化問題越來越復雜，傳統優化算法的收斂精度和速度難以滿足要求，因此設計一種新算法勢在必行。

樽海鞘群算法(Slap Swarm Algorithm，SSA)[1]由Mirjalili等人于2017年提出，由于其參數調節少、計算簡單和尋優能力相對較強，一經提出便得到廣泛應用。[2-4]為了進一步提高其性能，不同學者提出不同改進方法：文獻[5]采用折射反向學習機制和引入自適應控制因子于追隨者位置中，增強了算法的局部開發能力；文獻[6]引入慣性權重因子和結合種群成功率來平衡算法的全局和局部搜索能力；文獻[7]將正弦余弦算法嵌入SSA中并對最優樽海鞘的空間進行差分演化變異策略，增強了算法局部搜索能力；文獻[8]對SSA的領導者的更新公式進行改進并引入領導者—跟隨者數量自適應調整策略提升尋優精度和穩定性；文獻[9]引入自適應變化的權重因子和黃金正弦算法增強算法的全局搜索和局部開發能力；文獻[10]結合引力搜索技術和正態云發生器，提升了算法的搜索效率。

上述算法雖然在不同程序上提高了算法的性能，但很少結合種群編碼的角度來改進，本文借鑒文獻[11]的思想提出一種復數編碼的樽海鞘群算法(A Complex Encoding Slap Swarm Algorithm，CESSA)。該算法從以下兩個方面進行改進：(1)構建復數編碼樽海鞘群，拓展種群多樣性；(2)融合灰狼算法中頭狼的搜索思想，利用食物源位置分別指導當前追隨者和上一個追隨者的搜索行為并取兩者平均值。通過13個基準函數和4個非線性方程組對算法進行測試，驗證了CESSA算法的有效性。

1 樽海鞘群算法

在海洋中，樽海鞘在覓食過程中彼此形成環狀的長鏈，該長鏈分為兩部分：一部分為領導者，位于長鏈的前端；另一部分為追隨者，位于領導者其后，逐個相連。領導者以食物源為目標，其位置更新公式如下：

其中，Fj表示第j 維領導者的位置，c1表示收斂因子，c2，c3∈[0，1]之間均勻分布的隨機數，lbj，ubj為搜索空間第j維的下界和上界。l為當前迭代次數，lmax為最大迭代次數。

追隨者的位置更新公式如下：

2 復數編碼樽海鞘群算法

2.1 復數編碼

對于一個d維函數優化問題，則構建一個d維的復數空間，記第i個復數為：

其中Ri和Ii分別表示第i個復數的實部和虛部。

2.2 復數編碼樽海鞘群初始化

由（6）式可知一個復數可以用模和幅角來表示，則需按（5）式分別隨機產生一個 d 維模 ρi空間和 d 維幅角 θi空間。

i=1，2，…，d，于是構成d維復數，[ai，bi]為問題變量的取值范圍，即第i個復數可以寫成如下：

2.3 復數編碼樽海鞘群搜索行為及模與幅角更新

在灰狼算法(Grey Wolf Optimizer，GWO)[12]中，狼群群體構建了嚴格的等級制度，它們分為α，β，δ和ω狼，在覓食過程中α，β，δ狼指導ω狼向食物源搜索前進。其搜索獵物的數學公式為：

其中，Xp(t)為食物源的位置，X(t)為第t代個體的位置，r1，r2∈[0，1]之間的隨機數，·表示乘法運算。而在SSA算法中的性能取決于領導者的搜索能力，若領導者陷入局部最優，則跟隨者必陷入局部最優。因此本文嘗試在復數編碼的樽海鞘群追隨者過程中，利用食物源位置分別指導當前樽海鞘和上一個樽海鞘的搜索行為；又由于在種群初始化階段分別產生了模和幅角種群，所以追隨者的位置更新公式分為模與幅角更新，其公式重新定義如下：

其中，bestρ表示最佳模的位置，ρi-1j表示i-1個模第j維的位置；bestθ表示最佳幅角的位置，θi-1j表示i-1個幅角第j維的位置，A1，A2，C1，C2分別由式(9～10)產生的值。

2.4 適應度計算

為計算目標函數值，必須將復數編碼轉換為實數編碼，實數值為復數模，其符號由幅角決定，具體做法：

其中RVi為復數轉換為實數后的值。

2.5 CESSA實施步驟

通過上述分析，CESSA的實施步驟如下。

步驟1：設置種群規模、最大迭代次數和由問題邊界計算出模和幅角的取值范圍等參數。

步驟2：在邊界范圍內按（5）式隨機初始化模和幅角種群，按(6)式構成復數編碼種群，再按(17～18)式轉換為實數編碼，并求解此時目標函數值fmin、最佳模位置和最佳幅角位置。

步驟3：判斷算法是否終止，如果是，輸出目標函數值fmin、最佳模位置和最佳幅角位置，否則進入步驟4。

步驟4：分別對實部和虛部更新，即對模和幅角更新，首先按(11～13)式對模更新并處理變量越界，其次按(14～16)式對幅角更新并處理變量越界，最后按(17～18)式轉換為實數編碼。

步驟5：對更新后模與幅種群中的每一個樽海鞘求解其目標函數值，并判斷是否優于上一代目標函數值，如果是則替換目標函數值、對應的模和幅角。再對整個種群求解此時目標函數值fnew、最佳模位置和最佳幅角位置。

步驟6：判斷fnew是否小于fmin，如果是則替換fmin、最佳模位置和最佳幅角位置。迭代次數加1，跳轉至步驟3。

2.6 CESSA算法時間復雜度分析

假設種群規模N，問題維數n，最大迭代次數MaxIter，目標函數f (x)，式(3)的運行時間t1，由SSA的實現步驟可知SSA 的時間復雜度為：MaxIter×(N×( N 2×n+N 2×t1)+N×f (n))=O( f (n)+n)，設式(11～16)的運行時間t2，則CESSA 算法的時間復雜度為：MaxIter×(N2×n+N×(t1+t2)+2×N×n+N×f (n))=O( f (n)+n)，雖然運行時間有所增加，但當問題規模足夠大時，算法的時間復雜度并未增加。

3 仿真實驗與結果

3.1 基準函數測試

為了驗證CESSA算法的性能，選取文獻[1]中13個基準函數進行測試，其中f1～f7屬于單峰函數，僅包含一個全局最優，這些函數能夠測試算法的局部開發能力；f8～f13屬于多峰函數，包含多個局部最優，這些函數能夠測試算法的全局搜索能力。函數表達式、維度、自變量取值范圍和理論值如表1所示。

表1 基準函數

利用CESSA算法對13個基準函數進行求解，并與基本SSA算法、GWO算法進行對比，以驗證綜合改進策略的效果。為了公平比較，所有算法的參數設置：種群規模為30，最大迭代次數為500，其余參數設置與原論文一致。每種算法在Matlab 2016a中獨立運行30次，計算結果如表2所示，表中的加粗字體表示最佳實驗結果。

從表2可知，對13個基準函數而言，對f6和f13這2個函數，CESSA算法求解平均值Mean和方差Std僅次于基本SSA算法，但優于GWO算法；但是，對f1～f4，f9和f11這6個函數，CESSA算法求解的平均值Mean達到理論最優值，方差Std均為0，明顯勝出基本SSA和GWO算法；而未達到理論最優值的函數f5，f7，f8，f10，f12，無論是平均值Mean還是方差Std也都優于基本SSA和GWO算法。

表2 基準函數的實驗結果

為了直觀地展示CESSA算法的收斂性能，圖1～圖5給出了部分基準函數前100代的收斂曲線（隨機選取30次實驗結果中某一次），從圖1～圖4可知，CESSA算法收斂速度最快，幾乎呈直線下降；從圖5可知，雖然CESSA算法初期收斂速度不是最快，但中后期進化明顯。可見綜合改進策略有助于提升算法的求解精度、收斂速度和魯棒性。

圖1 f3函數收斂曲線

圖4 f7函數收斂曲線

圖5 f8函數收斂曲線

3.2 非線性方程組測試

為了進一步驗證CESSA算法的性能，采用文獻[13]中含有較多根的4個方程組，這里表示例1～例4；并與文獻[13-14]中部分算例進行比較，參數設置與其相同，每個方程組用CESSA算法(鑒于篇幅，未列出SSA、GWO算法計算結果)獨立運行50次的計算結果如表3～表6所示。

例1：

其中：xi∈[-10,10],i=1,2,共有13個根。

例2：

其中：xi∈[-1,1],i=1,2,共有8個根。

例3：

其中：xi∈[-2,2],i=1,2,共有10個根。

例4：

由表3～表6可知，對例1而言，CESSA算法獲取9個根且與理論值較為接近，而文獻[14](IBOA)僅獲取8個根，從求解根效果來看，CESSA算法略優于IBOA算法；對例2而言，CESSA算法獲取全部根且與理論值較為接近，求解成功率為100%，與文獻[13]效果一致；對例3 而言，CESSA算法獲取全部根且與理論值較為接近，與IBOA算法求解效果一致；對例4而言，CESSA算法獲取8個根且與理論值較為接近，丟失1個根，次于文獻[13]。

表3 CESSA算法求例1的結果

表6 CESSA算法求例4的結果

綜上所述，所有實驗結果表明CESSA算法在全局搜索和局部開發方面具有相對優勢。

4 結語

本文基于復數編碼與灰狼算法頭狼搜索獵物行為提出一種復數編碼的樽海鞘群算法。首先構建復數編碼樽海鞘群，拓展種群多樣性；其次對樽海鞘群追隨者方式進行改進，利用食物源位置分別指導當前樽海鞘和上一個樽海鞘個體。通過13個基準測試函數和4個非線性方程組的仿真實驗，所有實驗結果表明：采用綜合改進策略的CESSA算法可以有效提升原SSA算法的性能。

圖2 f4函數收斂曲線

圖3 f6函數收斂曲線

表4 CESSA算法求例2的結果

表5 CESSA算法求例3的結果