六自由度工業機器人運動學分析與仿真

李雪梅，崔菲菲，駱海濤，李 喆

（1.桂林電子科技大學 機電工程學院，桂林 541004；2.中國科學院沈陽自動化研究所，沈陽 110016）

0 引言

隨著制造業的日益發展與進步，各行各業對產品的質量和生產效率的要求也在不斷提高，然而人工作業很難滿足工業發展的需求[1]。為了解決這一問題，許多行業開始使用機器人代替人工作業，從而促使工業機器人的需求量越來越大。同時，對機器人的控制精度、穩定性以及生產效率的要求也在不斷提高[2]，而機器人運動學分析是實現機器人運動控制與軌跡規劃，提高機器人控制精度、穩定性以和生產效率的基礎[3]。

機器人的所有操作動作都靠其關節變化來實現，關節數越多其靈活性越高，越能完成較復雜的動作[4]。目前使用最為廣泛的是6自由度工業器人，該類型機器人的運動學分析相對復雜。因此，對6自由度機器人的運動學進行研究很有必要。

1 機器人運動學分析

1.1 基于D-H參數法的機器人模型

以EFORT機器人作為分析模型，該模型是一個開式運動鏈機器人。它由7個連桿通過6個旋轉關節串聯而成，可以在工作空間以不同的方式運動。采用Denavit與Hartenberg兩位科學家提出的D-H參數法來描述連桿和關節的幾何關系。由于連桿0是機器人的基座，連桿6連接著末端執行器。因此，在機座處建立基坐標系{0}，在連桿6處建立工具坐標系{6}，其他坐標系分別建在余下的各個關節處[5]，如圖1所示。

圖1 機器人的D-H空間坐標系

根據圖1建立的機器人連桿坐標系，可以獲得EFORT機器人的D-H參數表，如表1所示。

表1 EFORT機器人參數

1.2 正運動學分析

機器人正運動學分析是在已知機器人各個關節的轉角θi和關節偏移di的條件下，通過運動學方程求解出機器人末端執行器任意時刻的位姿[6]。根據EFORT機器人坐標系和D-H參數表，可以計算出相鄰兩個坐標之間的變換矩陣nTn+1(i=1，2，…，6)。即：

由于該型機器人含有6個旋轉關節，所以存在6個未知變量，即關節角θ1～θ6，將6個關節參數代入到式(1)中，然后依次相乘，得到六自由度機器人末端執行器相對基坐標系的總變換矩陣：

為了檢驗機器人的正運動學方程是否正確，將表1中的數據代入式(2)中并利用MATLAB計算，計算的結果為：

0T6的左側3x3矩陣表示機器人的姿態，可以發現：機器人末端的x軸與基坐標系的y軸方向相反，y軸與基坐標系的x軸同向，z軸與基坐標系的z軸同向。第四列元素代表機器人末端的位置，可以發現：機器人末端位置在基坐標系中沿x0軸平移了940mm的距離，沿z0軸平移了1290mm的距離[7]。計算結果與圖1所示的工具坐標系6的位姿完全相同，表明正運動學方程是正確的。

1.3 逆運動學分析

機器人的逆運動學分析是在已知機器人末端執行器某一個期望點位置和姿態的條件下，求解機器人6個旋轉關節的參數。由于所研究的EFORT機器人滿足Piper準則，所以采用反變換法求解6個關節角度值。由式(1)可以發現，矩陣中含有三角函數，為了使角度解耦[8]，可用單個矩陣的“逆”左乘末端執行器的位姿矩陣0T6，于是可求得各關節變量θ1～θ6，依次求得結果如下：

由于在[-180°，180°]區間內，θ1有1個解，θ2、θ3分別有4個解，θ4、θ5、θ6分別有8個解，因此可以得到8組封閉解。

為了檢驗逆運動學算法是否正確，在機器人的工作空間中任意選取一個末端點的位姿，其矩陣為：

調用MATLAB工具箱中的robot.ikine(T)函數，計算出各個連桿的關節角為：

q=[0，-1.5708，0.5236，0，1.0472，0]

用時0.043毫秒。由于機器人工具箱中自帶的ikine函數在求解時會出現迭代不收斂的情況，從而無法確定每次獲得的任意位姿下機器人的關節角度是否都是準確的、合理的[9]。因此，用MATLAB編寫出前文用反變換法計算出的逆解表達式的相應代碼，可求出機器人的8組封閉解：

用時0.006毫秒。將以上8組解分別代回MATLAB的fkine函數中，均能得到與式(4)相同的結果，從而對逆運動學算法的準確性進行了檢驗。

2 運動學仿真

為了更直觀地觀察機器人在工作空間中的運動狀態，采用MATLAB軟件對其進行運動學仿真。利用MATLAB Robotics Toolbox中的Link和robot函數對機器人的初始位姿進行建模。相關程序如下：

建立的模型如圖2所示。

圖2 機器人三維結構圖

圖2顯示，將初始值（0，-pi/2，0，0，pi/2，-pi/2）分別輸入到q1～q6中，可以得到機器人末端的位姿，與圖1所示位姿相同，進一步檢驗了正運動學的正確性。也可以通過拖動q1～q6的值來觀察機器人在空間中的運動情況，方便實時模擬仿真。

3 機器人工作空間分析

當機器人的所有關節進行所有可能的運動時，機器人末端執行器所能達到的所有點的集合稱為機器人的工作空間。對機器人的工作空間進行分析，常用的方法是蒙特卡羅法，該法是通過隨機抽樣來使機器人的關節取值多樣化，以便在笛卡爾空間中獲得大量的末端點，進而可獲得機器人工作空間的形狀。該法求解步驟如下：

1）由機器人的正運動學方程，可以求解到機器人末端參考點在笛卡爾坐標系中的位置向量為：

2）使用MATLAB中的RAND函數，可以在0～1范圍內得到一組偽隨機數，得到各個關節變量的隨機值：

其中：θimax、θimin分別表示關節i運動轉角范圍的最大、小值；N為迭代次數，這里N取值為20000。

3）將機器人各關節變量隨機生成的N個隨機數代入末端執行器位置向量[px，py，pz]T中，可得機器人末端執行器在笛卡爾空間中的位置坐標。

4）借助MATLAB中的plot3函數繪制出機器人末端的工作空間點狀云圖，如圖3所示。

圖3 三維工作空間

圖4、圖5分別為空間點云圖在xoy二維平面和xoz二維平面上的投影。機器人的三維空間隨機位置點數量足夠的多，獲得的空間的精確度就越高，空間輪廓也越清晰。

圖4 XOY平面投影

圖5 XOZ平面投影

通過分析機器人的工作空間點云圖可以發現，機器人的工作空間沒有出現空腔和空洞，說明機器人整體上滿足作業要求[10]。

4 機器人的可操作性分析

機器人的可操作性是一個相對重要的技術指標，它關系到機器人在工作過程中與操作目標之間的協調性，這對于提高生產效率及生產安全性都至關重要[11]。

分析機器人的可操作性，一般用雅克比矩陣J(q)的行列式是否為0來判別機器人是否處于奇異位置，用雅克比矩陣的奇異性來描述機器人的靈巧性[12]。速度可操縱性橢球體可以表示機器人任意改變末端執行器位置和方向的能力。

末端執行器速度空間橢球體方程為：

式(J(q)J(q)T)-1指工作空間中的某個橢球，也叫作機器人操作度橢球。末端執行器可以以較高的速度沿著橢球的主軸方向運動，而以較慢的速度在副軸上運動。如果該橢球的形狀近似于球形，即它所有的半徑均在同一數量級，那么機器人末端可以達到任意的笛卡爾速度。如果其中一個或多個半徑相對較小，表明機器人末端不能達到那些小半徑所對應的速度。

當關節角為[0，-π/2，-π/2，0，π/6，-π/2]時，機器人是奇異的。然后用MATLAB 中的plot_ellipse(J*J’)函數繪制出末端執行器平移速度橢球，如圖6所示，可以發現，末端執行器的平移速度橢球近似于一個厚度幾乎為零的厚板。這表明機器人不能繞小半徑對應的方向旋轉，同時用MATLAB工具箱中的maniplty函數計算出此狀態下的機器人可操作度為0。

圖6 機器人末端平移速度橢球

當機器人處于標準位置時，末端執行器的旋轉速度橢球如圖7所示。由圖7可以看出：機器人末端執行器旋轉速度橢球近似于一個球體，所以末端執行器可以在y軸和z軸方向實現比x軸方向更高的速度，機器人的可操作度大一些。此時機器人旋轉操作度為0.475631，平移操作度為2.44949。

圖7 機器人末端旋轉速度橢球

5 結語

以EFORT機器人作為研究目標，采用D-H方法完成了6R機器人的運動學分析。通過兩個相鄰連桿之間的變換矩陣順次相乘得到末端執行器的位姿矩陣。根據反變換法求解出機器人的8組封閉解，并運用MATLAB軟件檢驗了其正、逆運動學方程的準確性和合理性。結果表明：用反變換編寫的函數求解速度要快于工具箱自帶函數求解速度。其次，依據蒙特卡羅法分析了機器人的工作空間，結果顯示，所得到的點云圖均勻且并不存在空腔等問題。最后，利用雅克比矩陣函數，分析了機器人的靈活性，結果表明機器人具有良好的可操作性。