基于Stribeck模型的摩擦界面粘滑振動數值仿真分析

陳超山，謝國進，盧 敏，黃 斌

（1.柳州職業技術學院 機電工程學院，廣西 柳州 545000；2.廣西科技大學 機械與汽車工程學院，廣西 柳州 545000；3.廣西柳州鋼鐵集團公司質量部，廣西 柳州 545006）

粘滑振動（stick-slip vibration）作為一種典型的非光滑振動，主要是由于摩擦界面動、靜摩擦系數數值不同而發生的“運動—靜止—運動—靜止”的摩擦現象。粘滑振動廣泛存在于含有摩擦副的各類機械系統中，尤其是低相對滑動速度、高外部作用載荷條件下[1]。粘滑振動導致機械系統顫振和極限環振蕩，并由其引起系統的不穩定振動，帶來諸如低鳴噪聲（如汽車制動器[2]）、降低加工精度（如機床[3]）等嚴重問題。因此，全面、系統地研究摩擦系統的粘滑振動發生機理及其關鍵影響因素，對于提高含有摩擦的機械系統的工作性能具有重要的工程指導價值。

目前，國內外研究人員對振動摩擦系統中的粘滑振動現象開展了許多理論研究和試驗研究工作，有效促進人們對于粘滑振動的認識。在理論研究方面，Papangelo等[4]建立了單自由度摩擦模型，并以傳送帶滑動速度作為分岔參數，采用數值計算方法繪制了傳送帶滑動速度作用下的摩擦系統分岔圖，且采用標準線性穩定性分析和非線性穩定性分析討論了大擾動下的摩擦系統的振動特性。Wei等[5]建立了汽車制動系統雙層制動片結構的動力學模型，討論了制動片質量和連接剛度對系統穩定性的影響，以及不同外部壓力作用下系統的非線性行為和粘滑振動響應。Marín等[6]利用數值仿真分析軟件，討論了單自由度模型和二自由度模型中主要參數對粘滑振動相平面和相空間運動的影響規律。張立軍等[7]采用有限元方法建立了汽車盤式制動器的有限元模型，討論了蠕動顫振發生時汽車制動器的非線性動力學特性。閻俊等[8]以典型的含結合面干摩擦振動系統為研究對象，建立了含多尺度粘滑干摩擦模型的系統模型，討論了諧波激勵下摩擦振動系統的非線性行為。

在試驗研究方面，Park等[9]采用1∶5縮比試驗裝置開展了制動界面接觸平臺大小及分布對制動器粘滑振動的影響研究，發現接觸平臺對粘滑振動的強度及頻率均具有顯著影響。Gweon等[10]采用試驗方式研究了制動片摩擦材料中玻璃纖維分布情況對粘滑振動的影響，發現含有研磨玻璃纖維的摩擦材料具有較高的摩擦系數、高磨損系數和更大的振蕩振幅。張立軍等[11]以某乘用車為研究對象，開展了常規平路起步和坡道空擋起步工況下汽車制動顫振試驗研究，并對汽車制動器粘滑振動的關鍵影響因素進行了分析和討論。滕學清等[12]采用ESM鉆柱振動測量工具測量了某超深井井下鉆柱的三向振動加速度信號，并采用信號處理方法對粘滑振動特征進行提取，討論了井下鉆柱的粘滑振動行為。

Stribeck摩擦模型考慮了庫倫摩擦、黏性摩擦、靜摩擦以及Stribeck效應，能夠較好地描述干摩擦過程摩擦系數的演變情況，因而在粘滑振動的理論和試驗研究中均得到了廣泛的應用。然而，卻鮮有研究人員系統地開展Stribeck摩擦模型參數變化下粘滑振動的數值及有限元仿真分析。為此，本文針對機械裝備摩擦系統中普遍存在的粘滑振動現象，建立了考慮界面接觸行為的4自由度摩擦模型，討論了Stribeck摩擦模型、界面接觸行為和外部輸入對摩擦系統粘滑振動的影響。研究成果為進一步研究粘滑振動發生機理及尋找有效的抑制措施提供一定的理論指導。

1 摩擦自激振動物理模型

本文基于模態耦合理論，借鑒Hoffmann提出的2自由度摩擦模型[13]，建立了考慮摩擦界面接觸剛度的4自由摩擦自激振動物理模型，如圖1所示。

圖1 摩擦自激振動物理模型

該摩擦自激振動物理模型由具有x1和y12個方向自由的質量塊m1和x2及y22個方向自由度的傳送帶m2構成。質量塊m1由2根斜彈簧（k1和k2）及2個阻尼器（c1和c2）共同支撐，其中斜彈簧k1和k2與x1軸的夾角分別為α1和α2，阻尼器c1與y1軸同向，阻尼器c2與x1軸同向。對于傳送帶m2而言，其主要由彈簧k3和k4與阻尼器c3和c4共同支撐，當中k3和c3與x2軸同向，k4和c4與y2軸同向。傳送帶m2沿著圖中方向以速度V0滑動，并通過接觸剛度kn和接觸阻尼cn與質量塊m1實現接觸，故質量塊m1受到的摩擦力Ff方向與傳送帶m2滑動方向一致。為了保證質量塊m1與傳送帶一直處于摩擦接觸狀態，在質量塊m1上施加沿y1反方向的作用力Fn。

由于Stribeck摩擦模型能夠較好地描述相對運算速度和摩擦系數之間的關系以及動靜摩擦力的轉換過程，因而在摩擦自激振動的相關研究中得到廣泛應用[1]。根據Stribeck摩擦模型可將質量塊m1與傳送帶m2之間的摩擦系數數學表達方程式可寫為

式中：μk為動摩擦系數；μs為靜摩擦系數；α為Stribeck摩擦模型的指數衰減因子。其中，指數衰減因子α決定摩擦系數衰減的速度，α越大，摩擦系數的衰減速度越快。當α=0時，此時摩擦系數曲線沒有衰減趨勢，最大靜摩擦系數的數值和動摩擦系數的數值相等，即摩擦系數和速度無關。此外，νr為質量塊m1與傳送帶m2之間沿著x1方向的相對速度，其數學表達式可描述為

由前述建立的摩擦自激振動物理模型，結合牛頓第二定律可得到該物理模型的數學表達式：

式中：Fcontact-n為質量塊m1與傳送帶m2之間的界面接觸力，其可描述為

式中：kn為質量塊m1與傳送帶m2之間的接觸剛度；cn則為接觸阻尼。

2 摩擦系統粘滑振動特性分析

基于前述建立的4自由度摩擦自激振動物理模型及其數學表達式，討論Stribeck摩擦模型參數、外部輸入及界面接觸剛度對摩擦系統粘滑振動的影響。其中，該摩擦系統的主要參數設置：m1=2 kg，m2=10 kg，k1=3 000 N/m，k2=5 000 N/m，k3=k4=8 000 N/m，c1=c2=c3=c4=0.1 N/（m/s）。這里需要說明的是，本文建立的4自由度摩擦自激振動模型及其參數選取并非為了重現某一特定的物理或試驗現象，而是為了定性地闡明不同因素影響下摩擦系統的粘滑振動特性及其演變規律。

2.1 Stribeck摩擦模型參數影響分析

在式（1）Stribeck摩擦模型基礎上，以動摩擦系數μk=0.1，指數衰減系數α=1，靜摩擦系數μs分別為0.2、0.3、0.4、0.5、0.6，可得到摩擦系數隨相對速度νr的變化規律如圖2（a）所示；以動摩擦系數μk=0.2，靜摩擦系數μs=0.5，衰減系數α分別為1、2、3、4、5，可得到以上參數影響下摩擦系數隨相對速度νr的變化規律如圖2（b）所示。由圖2可以看出，相對速度較小時，靜摩擦系數對摩擦系數整體大小的影響最為顯著，但隨著相對速度的增大，靜摩擦系數的影響較小。指數衰減系數則顯著影響動、靜摩擦系數之間的轉換。指數衰減系數較大時，動、靜摩擦系數快速轉換，而指數衰減系數較小時，動、靜摩擦系數隨著相對速度變化而緩慢過渡。

假設質量塊m1受到的法向力Fn=100 N，動摩擦系數μk=0.1，指數衰減系數α=1，傳送帶m2的滑動速度V0=0.01 m/s，接觸剛度kn=5 000 N/m，接觸阻尼cn=0 N/（m/s）。將圖2（a）中的摩擦系數代入前述建立的4自由度摩擦自激振動物理模型的數學表達式，并在MATLAB中采用ode45進行求解，可得到以上參數作用下摩擦系統的振動特性，如圖3所示。

圖2 摩擦系數隨相對速度的變化

由圖3可以看出，靜摩擦系數μs對摩擦系統粘滑振動的時域特性和頻域特性均具有顯著影響。其中，靜摩擦系數較小時（μs=0.2），質量塊m1僅沿著x1軸的負方向滑動，且滑動速度也最小。隨著滑動速度的增大，質量塊m1的運動方向將不僅限于x1軸的負方向，而是沿著x1軸的正、負方向均有運動。此外，隨著靜摩擦系數μs的增大，質量塊m1沿著x1軸的正、負方向的振動速度均顯著增大。因此，靜摩擦系數的變化對摩擦系統的振動強度具有顯著影響。

圖3 不同靜摩擦系數下摩擦系統粘滑振動的時域特性和頻域特性

在摩擦系統粘滑振動的頻域特性方面，不同靜摩擦系數下摩擦系統均表現為多階諧波振動，各階振動頻率沒有隨著靜摩擦系數的變化而變化。對于摩擦系統而言，其頻率響應特性主要由其固有結構（如結構剛度和質量等）決定，故而Stribeck摩擦模型靜摩擦系數的變化并不會改變摩擦系統的頻率響應特性。盡管如此，隨著靜摩擦系數的增大，摩擦系統各階振動強度均明顯增強，這與前述時域特性分析結果一致。

不同靜摩擦系數下摩擦系統的運動相圖如圖4所示。由圖4可以看出，各個靜摩擦系數下摩擦系統均能夠明顯區分粘著和滑動2種運動狀態。靜摩擦系數μs=0.2時，摩擦系統滑動階段振動速度均小于傳送帶滑動速度（0.01 m/s），且摩擦系統的振動位移均小于0，即往x1軸的負方向。隨著靜摩擦系數增大，摩擦系統運動相圖的極限環也隨之增大，振動速度和振動位移都存在于x1軸的正、負方向。其中，靜摩擦系數的增大也導致摩擦系統往x1軸正、負方向的振動速度和位移增大。

圖4 不同靜摩擦系數下摩擦系統運動相圖

同樣地，假設質量塊m1受到的法向力Fn=100 N，靜摩擦系數μs=0.5，動摩擦系數μk=0.2，傳送帶m2的滑動速度V0=0.01 m/s，接觸剛度kn=5 000 N/m，接觸阻尼cn=0 N/（m/s）。將圖2（b）中的摩擦系數代入前述建立的4自由度摩擦自激振動物理模型的數學表達式，對摩擦系統進行求解可得到以上參數作用下摩擦系統的振動特性，如圖5所示。

由圖5可以看出，Stribeck摩擦模型的指數衰減系數對摩擦系統的粘滑振動強度具有一定影響，隨著指數衰減系數的增大，粘滑振動的強度也有一定程度的減弱，如圖5（a）所示。其中，在指數衰減系數α=4時，摩擦系統滑動階段振動速度方向正好與其他幾種情況相反。對圖5（a）中不同指數衰減系數下的摩擦系統粘滑振動時域信號進行FFT分析，結果如圖5（b）所示。從而得出，各指數衰減系數下摩擦系統粘滑振動在頻域上均呈現出倍頻關系，即粘滑振動為多階諧波振動。此外，指數衰減系數對摩擦系統粘滑振動各階頻率均沒有影響，僅影響了各階頻率下能量聚集情況。不難發現，隨著指數衰減系數的增大，各階頻率處聚集的能量均增強，這與摩擦系統的時域信號分析一致。

圖5 不同指數衰減系數下摩擦系統粘滑振動的時域特性和頻域特性

圖6為Stribeck摩擦模型不同指數衰減系數下摩擦系統的運動相圖。結果表明，該相圖可以明顯看出摩擦系統存在粘著和滑動2種運動狀態，且摩擦系統的運動相圖隨著指數衰減系數的增大而增大。摩擦系統處于粘著狀態時，其振動速度與傳送帶滑動速度（V0=0.01 m/s）一致，振動位移方向則存在于x1軸的正、負方向；摩擦系統處于滑動狀態時，摩擦系統質量塊m1沿著x1軸的正負方向均有運動，其中主要以x1軸運動為主，且隨著衰減系數的增大，質量塊m1的振動速度和振動位移均增大。

圖6 不同指數衰減系數下摩擦系統運動相圖

2.2 外部輸入的影響分析

對于摩擦系統而言，外部輸入（如載荷和傳送帶滑動速度等）均會給其粘滑振動特性帶來顯著影響。為此，本節將著重討論作用在質量塊m1上的法向力和傳送帶滑動速度V0分別對摩擦系統粘滑振動特性的影響。假設Stribeck摩擦模型的靜摩擦系數μs=0.5，動摩擦系數μk=0.2，指數衰減系數α=1，傳送帶滑動速度V0=0.01 m/s，接觸剛度kn=5 000 N/m，接觸阻尼cn=0 N/（m/s）。分別取一系列法向載荷F（100、200、300、400、500 N），在MATLAB中通過ode45求解摩擦系統，可得到不同法向力作用下摩擦系統的粘滑振動時域特性和頻域特性，如圖7所示。

由圖7可以看出，在法向載荷F為100 N和200 N時，摩擦系統在x1軸的正負方向均存在運動，但是這2種載荷作用下摩擦系統的運動方向則正好相反。隨著法向載荷F的增大，摩擦系統的運動方向以x1軸的負方向為主，僅在m1振動速度從0過渡到傳送帶滑動速度V0=0.01 m/s這一過程中運動方向為x1軸正方向。在摩擦系統粘滑振動強度方面，在本文設定的參數范圍內，摩擦系統的粘滑振動強度隨著法向載荷F的增大呈減小趨勢。此外，在法向載荷較小時，摩擦系統的粘滑振動較為穩定，隨著法向載荷的增大，摩擦系統粘滑振動變得不穩定。由圖7（a）可知，粘滑振動峰值時大時小。

圖7 不同法向載荷作用下摩擦系統粘滑振動的時域特性和頻域特性

由圖7（b）可以看出，法向載荷的作用并未改變摩擦系統粘滑振動的頻域特性，各法向載荷作用下摩擦系統的粘滑振動仍然表現出倍頻關系，即呈現出多階諧波振動。不同法向載荷作用下，摩擦系統的粘滑振動均以一階振動（頻率為6 Hz）為主。隨著法向載荷的增大，摩擦系統粘滑振動各階頻率處所聚集的能量均減小，這與摩擦系統粘滑振動時域分析結果一致。

繪制不同法向載荷F作用下摩擦系統粘滑振動運動相圖，如圖8所示。由圖8可以看出，在法向載荷F為100 N和200 N時，摩擦系統粘滑振動運動空間均較大，且較為穩定并表現為單周期運動特征。隨著法向載荷的增大，摩擦系統粘滑振動運動相圖空間減小，并且運動相圖往x1軸負方向運動。此外，從圖8也可以看出，法向載荷給摩擦系統粘滑振動的穩定性帶來顯著影響，法向載荷為400 N和500 N時，摩擦系統粘滑振動運動相圖呈現出混沌狀態。盡管法向載荷增大導致摩擦系統粘滑振動速度減小，但是振動位移卻沿x1軸負方向顯著增大，這可能是法向載荷增大，摩擦系統粘著階段時間較長導致的。

圖8 不同法向載荷作用下摩擦系統運動相圖

假設Stribeck摩擦模型的靜摩擦系數μs=0.5，動摩擦系數μk=0.2，指數衰減系數α=1，接觸剛度kn=5 000 N/m，接觸阻尼cn=0 N/（m/s），作用在質量塊m1上的法向載荷F=100 N，傳送帶滑動速度V0分別取一系列值（0.01、0.02、0.03、0.04、0.05 m/s），在MATLAB中通過ode45求解摩擦系統，可得到不同傳送帶滑動速度V0作用下摩擦系統的粘滑振動時域特性和頻域特性，如圖9所示。

由圖9可以看出，傳送帶滑動速度對摩擦系統的粘滑振動特性同樣具有一定影響。在本文設定一系列傳送帶滑動速度影響下，摩擦系統均沿著x1軸的正負方向運動。其中，傳送帶滑動速度V0=0.01 m/s時，摩擦系統振動速度較小，傳送帶滑動速度增大時，摩擦系統相應的振動強度也急劇增大，而后粘滑振動強度隨著傳送帶滑動速度的增大未表現出明顯的增強。從圖9（b）中傳送帶不同滑動速度作用下摩擦系統粘滑振動頻域特性可以看出，傳送帶滑動速度對摩擦系統粘滑振動的頻率成分未帶來顯著影響，粘滑振動均表現出多階諧波振動特性。傳送帶滑動速度影響了摩擦系統各階頻率處能量的聚集情況，且影響規律與時域特性一致。

圖9 不同傳送帶滑動速度作用下摩擦系統粘滑振動時域特性和頻域特性

繪制不同傳送帶滑動速度作用下摩擦系統粘滑振動運動相圖，如圖10所示。由圖10可以看出，傳送帶滑動速度較小時，摩擦系統粘滑振動相圖空間較小，隨著傳送帶滑動速度的增大，相圖空間也急劇增大，而后未再顯著增大。此外，傳送帶滑動速度較小時，摩擦系統在x1軸的正負方向都存在粘著現象，而隨著傳送帶滑動速度的增大，僅在質量塊往x1軸的負方向運動過渡到沿正方向運動階段存在粘著現象。

圖10 不同傳送帶滑動速度作用下摩擦系統粘滑振動運動相圖

2.3 界面接觸剛度的影響分析

許多研究表明，摩擦系統界面摩擦學行為與系統振動響應存在直接關系，而界面摩擦學行為也將通過界面接觸剛度反饋于摩擦系統的摩擦自激振動[14-15]。為此，本節將討論摩擦系統界面接觸剛度對摩擦系統粘滑振動的影響。

假設作用在質量塊m1上的法向力F=100 N，傳送帶滑動速度V0=0.01 m/s，Stribeck摩擦模型的靜摩擦系數μs=0.5，動摩擦系數μk=0.2，指數衰減系數α=1，摩擦界面接 觸 剛 度 取 一 系 列 值（kn分 別 為2 000、3 000、4 000、5 000 N/m）。在MATLAB中通過ode45求解摩擦系統，得到不同界面接觸剛度作用下摩擦系統的粘滑振動時域特性和頻域特性，分別如圖11和12所示。

由圖11和圖12表明，接觸剛度kn=2 000 N/m時，質量塊m1的振動速度均小于傳送帶的滑動速度V0，且摩擦系統的振動強度也是最小的。接觸剛度kn為3 000 N/m和4 000 N/m時，摩擦系統的粘滑振動得到顯著增強，振動速度也不再是所有時刻都小于傳送帶的滑動速度，其中摩擦系統的接觸剛度kn=4 000 N/m時，具有最強的粘滑振動。然而，接觸剛度kn=5 000 N/m時，摩擦系統的粘滑振動強度反而減弱了，說明接觸剛度的增大并不會導致摩擦系統的粘滑振動無限增強。在接觸剛度對摩擦系統粘滑振動頻域影響方面，不同接觸剛度下摩擦系統的頻率成分表現出一定差異，但仍然存在多階諧波振動特性。

圖11 不同接觸剛度下摩擦系統粘滑振動時域特性

圖12 不同接觸剛度下摩擦系統粘滑振動頻域特性

繪制不同接觸剛度作用下摩擦系統粘滑振動相圖，如圖13所示。由圖13可以看出，接觸剛度kn=2 000 N/m時，摩擦系統表現出單周期運動特征，且質量塊m1的振動速度都小于傳送帶的滑動速度，其振動位移也處于x1軸的負方向。隨著接觸剛度增大，摩擦系統的粘滑振動相圖先由混沌狀態逐漸趨于單周期振動，且相圖的范圍也先增大后減小。

圖13 不同接觸剛度下摩擦系統粘滑振動運動相圖

3 結論

本文建立了考慮界面接觸行為的4自由度摩擦自激振動模型，討論了Stribeck摩擦模型、界面接觸行為和外部輸入對摩擦系統粘滑振動的影響。具體結論如下。

（1）Stribeck摩擦模型的靜摩擦系數的增大能夠顯著增強摩擦系統的粘滑振動強度，運動相圖空間也隨之增大且單周期運動顯著；指數衰減系數的增大則略微降低，運動相圖空間減小，系統穩定性未顯著變化；靜摩擦系數和指數衰減系數的變化對摩擦系統的頻域特性未產生影響。

（2）界面接觸剛度反映了質量塊與傳送帶之間的摩擦學行為，摩擦系統的粘滑振動隨著接觸剛度先增大后減小，運動相圖逐漸趨于單周期運動。接觸剛度的變化改變了摩擦系統的頻域特性。

（3）法向力及傳動帶的滑動速度作為摩擦系統的外部輸入，同樣對系統的粘滑振動存在顯著影響。對于質量塊-傳送帶系統，法向力的增大降低粘滑振動強度且改變了運動方向；滑動速度則在較小時顯著改變系統的粘滑振動強度，較大時則未產生顯著影響。