半橢球形微凸體的結合面接觸熱導分形模型＊

趙海路 張學良 許雍泰

（太原科技大學機械工程學院，山西 太原 030024）

機械設備在長時間的運轉下，必然會產生大量的熱量，而當這部分熱量從一個零件傳到另一個零件時，由于零件之間表面接觸不完全而導致熱流線收縮，此時交界面會產生明顯的溫度差，從而會導致不同的接觸熱導（TCC）。熱流的主要導熱方式有[1]：兩物體表面之間相互接觸微凸體的熱傳導；兩物體表面間隙介質的熱傳導；兩物體表面的熱輻射。隨著現代科技的發展，接觸熱導在機械制造、航空航天、低溫超導和熱交換器等領域發揮著越來越重要的影響[2]。

自20世紀60年代以來，許多學者從理論、實驗和數值分析等方面對接觸熱導進行了深入的研究。1969年，Cooper M G等[3]提出了第一個接觸熱阻模型，即CMY模型，為以后的學者研究接觸熱導和接觸熱阻奠定了基礎。Zou M Q等[4]提出了一個基于分形幾何理論的隨機數值模型來計算接觸熱導，發現分形參數D和G對接觸熱導有顯著影響。Zhang J H等[5]研究了考慮微凸體彈塑性變形和基體熱阻的接觸熱導預測分形模型，計算了包括基體在內的接觸熱阻。馬麗娜[6]建立了接觸熱導的二維分形模型，并分析了分形維數、法向載荷對熱導的影響。Jeng Y R等[7]提出了一種考慮彈性、彈塑性和塑性變形的橢球形微凸體接觸模型，建立了平均接觸壓力與微凸體接觸面積及變形量之間的關系。譚文兵等[8]依據各向異性分形幾何理論，將微凸體接觸面拓展為橢圓形，推導出包含偏心率在內的橢圓形接觸面面積的二維聯合分布密度函數并建立了基于橢球形微凸體的結合面法向接觸剛度模型。

然而，現有結合面接觸熱導分形模型研究的不足之處在于都將微凸體理想化為半球形，這與實際情況并不相符，而且已有研究表明[9-11]，將微凸體接觸面拓展為半橢圓形，這樣更加符合實際情況，也更具有一般性。且有關微凸體為半橢球形的結合面接觸熱導問題還無人研究，故本文建立了考慮半橢球形微凸體彈性、彈塑性和塑性接觸變形機制的結合面接觸熱導三維分形模型，并研究了相關參數對所建模型的影響。

1 半橢球形微凸體接觸模型

結合面問題可以等效簡化為一個當量粗糙表面和一個理想剛性平面的接觸問題，如圖1所示，p為單個半橢球形微凸體所受的法向載荷，接觸長度為l=2b， δ為微凸體的變形量，微凸體實際接觸面積s= πab，a、b、e分 別 為 微 接 觸 橢 圓 面 的長 、 短半軸長和偏心率，且

圖1 半橢球形微凸體與剛性平面接觸模型

1.1 半橢球形微凸體彈性接觸

半橢球形微凸體的變形量為[12]

由文獻[12]可知，當半橢球形微凸體法向變形量為 δ時，其彈性變形下對應的接觸面積se，所受的法向載荷pe， 曲率半徑Rm，分別為

式中：D為 分形維數；G為分形粗糙度參數；E為等效彈性模量，，E1、E2分別為兩接觸材料的彈性模量，v1、v2分別為兩接觸材料的泊松比；，其中K(e)、E(e)分別為第一和第二類橢圓積分：K(e)=

1.2 半橢球形微凸體彈塑性接觸

半橢球形微凸體開始產生塑性屈服的臨界變形量 δc為[12]

式中：H=2.8σy， σy為較軟材料的屈服極限；材料特性參數；K為硬度系數，與較軟材料的泊松比v之間的關系為K=0.454+0.41v。

當 δ = δc時，聯立式（1）和式（5）可得相應的彈性臨界微接觸面積sc(e)與偏心率e滿足的關系為

當半橢球形微凸體的變形量 δ滿足 δc≤ δ≤ 6δc，即sepc≤s≤sc時（sepc為第一彈塑性臨界微接觸面積），微凸體發生第一彈塑性變形，其對應的第一彈塑性接觸面積和接觸載荷分別為[12]

此外，當半橢球形微凸體的變形量 δ滿足6δc≤δ≤ 110δc，即spc≤s≤sepc時（spc為第二彈塑性臨界微接觸面積），微凸體發生第二彈塑性變形，其對應的第二彈塑性接觸面積和接觸載荷分別為[12]

1.3 半橢球形微凸體塑性接觸

當半橢球形微凸體的變形量δ滿足 δ ≥ 110δc，0≤s≤sp時，微凸體發生塑性變形，此時微凸體接觸面積與接觸載荷分別為[7]

2 基于半橢球形微凸體的結合面接觸模型

由于只將微凸體的形狀由原來的半球形拓展為半橢球形，而結合面上的微凸體面積大小分布密度卻沒有變化，故將具有分形特征的結合面半橢球形微凸體的面積大小分布密度函數采用與半球形微凸體的面積大小分布密度函數[13]相同的形式。

式中： ψ為域擴展因子；sl為微凸體的最大接觸面積，其中Ar為結合面真實接觸面積。

2.1 結合面彈性接觸載荷

由式（3）和式 （16）可得，結合面彈性接觸載荷為

將式（17）和式（18）進行無量綱化，當D≠2.5時，

當D=2.5時，

式（19）和式（20）中：G*為無量綱分形粗糙度參數；為接觸率；為無量綱彈性臨界微接觸面積。

2.2 結合面彈塑性接觸載荷

由式（9）和式（16）可得，結合面第一彈塑性接觸載荷為

對式（21）進行無量綱化得

由式（12）和式（16）可得，結合面第二彈塑性接觸載荷為

對式（23）進行無量綱化得

結合面彈塑性接觸載荷為

從而結合面無量綱彈塑性接觸載荷為

2.3 結合面塑性接觸載荷

由式 （15） 和式 （16） 可得，結合面塑性接觸載荷為

式（25）中：e為偏心率。

對式（25）進行無量綱化得

綜上可得，考慮半橢球形微凸體彈性、彈塑性和塑性3種接觸變形機制的結合面無量綱接觸載荷為

3 基于半橢球形微凸體的結合面接觸熱導模型

3.1 半橢球形微凸體的接觸熱導模型

由文獻[14]中單個半球形微凸體的接觸熱導公式可以推導出單個半橢球形微凸體的接觸熱導公式為

從而可得，半橢球形微凸體的彈性接觸熱導、第一彈塑性接觸熱導、第二彈塑性接觸熱導和塑性接觸熱導分別為

式中： λ為結合面導熱系數， λ1和 λ2分別為兩接觸材料的導熱系數。

3.2 結合面接觸熱導模型

由式（16） 和式 （29） 可得，結合面彈性接觸熱導為

對式（33）進行無量綱化得

由式（16）和式（30）可得，結合面第一彈塑性接觸熱導為

對式（35）進行無量綱化得

由式（16）和式（31）可得，結合面第二彈塑性接觸熱導為

對式（37）進行無量綱化得

由式（16）和式 （32） 可得，結合面塑性接觸熱導為

對式（39）進行無量綱化得

綜上可得，考慮半橢球形微凸體彈性、彈塑性和塑性3種接觸變形機制的結合面無量綱接觸熱導為

3.3 建模流程

為了便于從整體上理解和把握以上所建半橢球形微凸體的結合面接觸熱導模型的理論推導過程，建模流程如圖2所示。

圖2 建模流程圖

4 結合面接觸熱導模型的仿真分析

取=0～0.02，分形維數D=2.1～2.9，偏心率e=0.1～0.9，無量綱化分形粗糙度參數G*=10-11～10-9，對式（27）和式（41）所建模型進行仿真計算，結果如圖3～6所示。

圖3 D 對 的影響(e=0.5,φ=1.5)

4.1 分形維數 D對接觸熱導的影響

為了便于分析分形維數D對 無量綱接觸熱導的影響，這里將對采用對數坐標的形式。

由圖3可知，結合面之間的接觸熱導隨著分形維數D的 增大而增大。這是因為隨著D的不斷增大，從微觀上講，將導致兩表面之間相互接觸的橢球形微凸體數目變得越來越多，從宏觀上講，兩接觸表面將表現為越來越光滑，從而使結合面接觸面積越來越大，故無量綱接觸熱導也就越來越大。

4.2 偏心率 e和對接觸熱導的影響

圖4 e 和 對的影響(φ=1.5,D=2.3)

由圖5可知，在不同的分形維數D下，結合面接觸熱導都隨著無量綱化法向載荷P*的增大而增大；在P*和D一 定時，結合面無量綱化接觸熱導隨著無量綱化分形粗糙度參數G*的增大而減小。這主要是因為，P*越大，從圖5c可知，結合面接觸面積越大，故越大；而在P*和D一 定時，隨著G*的不

圖5 P*和 G *對 的影響(e=0.5,φ=1.5)

4.4 兩種接觸熱導模型的對比

如圖6所示，Semiellipsoid表示基于半橢球形微凸體的結合面接觸熱導模型(即本文所建模型)，記為模型1；Semisphere表示以往的基于半球形微凸體的結合面接觸熱導模型，記為模型2。

由圖6可知，當分形維數D和分形粗糙度參數G*一定時，模型1和模型2所仿真出來的結合面無量綱接觸熱導都隨著無量綱法向載荷P*的增大而增大；且當P*一定時，隨著分形維數D的不斷增大，模型2的總要比模型1的大。斷增大，結合面越粗糙，結合面之間相互接觸的微凸體減少，故越小。

圖6 兩種接觸熱導模型的對比(G*=1e-9)

5 結合面接觸熱導模型的驗證

為了驗證所建模型的正確性，采用文獻[5]的實驗數據，兩接觸材料采用304不銹鋼，其中分形維數D=2.8567，分形粗糙度參數G=5.112×10-7m，熱導率 λ =10.7W/(mK)，彈性模量E1=E2=201GPa，截斷長度Ls=1nm ，泊松比v1=v2=0.28，材料的硬度H=2400MPa ；并取偏心率e=0.3，將以上參數數據代入本文所建模型，其仿真計算結果與實驗數據的對比如圖7所示。

由圖7可知，在法向壓力P＞3MPa 時，本文所建基于橢球形微凸體的結合面接觸熱導模型的仿真計算結果與實驗數據吻合較好，而在法向壓力P≤3MPa時，本文所建模型的仿真計算結果與實驗值偏差較大；這主要是因為本文預測模型忽略了相鄰非接觸微凸體間隙的介質熱傳導，尤其是在低法向壓力條件下，實際接觸面積只占名義接觸面積的很小一部分，即此時相鄰非接觸微凸體間隙的介質熱傳導起著較大的主導作用，從而會出現上述在低法向壓力下預測數據要小于實驗數據的現象，因此從總體上說，本文所建的基于橢球形微凸體的結合面接觸熱導模型是正確可信的。

圖7 本文模型與球形模型及實驗數據的對比

此外，從圖7中還可以看出，當法向壓力P＞6MPa 時，本文模型的Hc要比半球形微凸體的結合面接觸熱導Hc更接近實驗數據，從而說明在法向壓力較大時，本文所建的半橢球形微凸體的結合面接觸熱導模型要優于半球形微凸體的結合面接觸熱導模型。

6 結語

本文將結合面之間的微凸體從半球形拓展為半橢球形，彌補了以往接觸熱導模型中將微凸體理想化為半球形的不足，在此基礎上，基于三維分形接觸理論，建立了考慮半橢球形微凸體彈性、彈塑性和塑性3種變形機制的結合面接觸熱導模型，仿真結果表明：

（1）半橢球形微凸體的結合面無量綱接觸熱導隨著橢圓偏心率、分形維數、無量綱法向載荷和接觸率的增大而增大，而隨著無量綱分形粗糙度參數的增大而減小。

（2）半橢球形微凸體的結合面接觸熱導模型較于半球形微凸體的結合面接觸熱導模型更適用于法向載荷較大的情況；所建模型的仿真計算結果與實驗數據的一致性驗證了本模型的正確性。