基于MCA 模型的指紋圖像修復方法的研究*

馬煒明 李建祥 郝小輝 朱 翔 王敏剛

（1.蘭州理工大學電氣工程與信息工程學院 蘭州 730050）（2.甘肅省公安廳 蘭州 730030）（3.甘肅警察職業學院 蘭州 730046）（4.蘭州市公安局 蘭州 730030）

1 引言

圖像修復是圖像處理的重要組成部分，是近些年比較熱門的研究課題之一，而指紋圖像作為一種特殊的圖像，它在公安安防、生活應用等領域都具有很重要的意義［1～3］。在現實生活中，受到設備、環境等因素的影響，獲取的指紋圖像往往是包含各種噪音和紋線斷裂的低質量圖像，而現在人們運用較多的一些指紋預處理［4］很難將指紋的斷裂紋進行修復，無法達到高質量的復原，影響指紋對比的準確性；在對指紋斷裂痕修復的研究中，人們一般傾向于偏微分方程修補模型在指紋復原的應用［5］。而需要修補的指紋圖像一般情況都是有較復雜的背景，單一使用偏微分方程修復很難將指紋斷裂痕連接，容易出現虛假和錯搭現象，而MCA 圖像修復算法將一幅圖像分為結構和紋理兩部分分開修復，正好解決了這個問題。本文將對偏微分方程修補模型中的BSBC 模型［6］、TV 模型［7］、CDD 模型［8］這三種經典修復模型進行對比，結合MCA 模型，針對殘缺指紋圖像的特點，采用一種基于MCA 模型的指紋圖像修復方法，經過仿真驗證，該算法在處理指紋圖像這種特殊圖像時，具有很好的修復效果。

2 傳統偏微分方程修補模型介紹

Bertalmio 在早期藝術家修復油畫的思想中得到啟發，提出了最早的偏微分方程修補模型-BSBC模型［6］，該模型的基本思想是通過把圖像已知區域的邊界的等照度線向待修復區域進行延伸而進行修復，這一擴散過程保證了不同等照度線的彎曲，從而避免了不同等照度線的相交，不會讓邊緣結構失真，修復效果比較接近人的視覺的主觀感受，但是該算法在一些紋理細節的處理效果不佳，對其嚴格的數學分析復雜。

基于TV 模型的圖像修補算法是Chan等在Rudin 等［7］提出的TV 模型的基礎上推廣到圖像修補的。Chan 等通過擴展基于全變分模型的圖像去噪方法，提出了基于全變分模型的圖像修補技術，該方法通過變分方法求解最小化能量方程，在有噪聲的非紋理圖像的修復效果非常好。TV 模型的主要優點是保持邊緣和數值PDE實現方便，但破壞了視覺理論的連接性原理。

在TV 修補模型中，其正則項只懲罰了圖像邊界的長度，斷裂的條狀結構總是被最短的直線連接，破壞了連接性原則。如圖1 所示，無論w 和l 的比率，圖1 中的（b）為正常狀況下人視覺感受最優的修補結果，對于TV 模型，當l＜w 時，修補結果為圖1 中的（b），當l＞w 時，修補結果為圖1 中的（c），這就破壞了視覺連通性原理，尤其在指紋斷裂痕的修復中是不適用的。

圖1 修復示意圖

基于這個不足點，Chan 和Shen 等又提出了遵循連接性原則的CDD模型［8］。CDD模型將TV模型的傳導系數修改為D?=g(|κ|)/|?u|，這種選擇可使在大曲率處擴散變強，小曲率擴散消失，克服了TV模型的缺陷，能有效連接被隔開的細小條狀物，適合在指紋斷裂痕的連接。

3 MCA算法原理與算法改進

雖然CDD 模型在克服了連接性原則，但是對于指紋這種特殊復雜紋理圖像很難進行修復，通常狀況下的殘缺指紋圖片包含了復雜的背景結構，這樣給原本的算法增加了干擾。而MCA 模型將一幅圖分解為了結構部分和紋理部分，很好的解決了這個問題。本文將在Starck 的MCA 圖像修補模型的基礎上，結合指紋圖像的特點，將其中的TV修補模型換為CDD修補模型加以改進。

3.1 MCA算法的原理

MCA 模型是一種分解模型，是由Starck 等［9］提出的，該模型利用兩個能對結構分量和紋理分量的字典Tt、Tn對圖像的結構部分和紋理部分進行分解［9］。其基本思想是假設圖像由Xn,Xt構成，即圖像的結構和紋理；對任意輸入的圖像信號X∈RN，則X=Xn+Xt。其進行圖像分解時，將問題轉化為了基于l1最小化范數問題。

MCA圖像修補模型［10］為

算法步驟：初始化參數、稀疏修補（利用Xn，重構Xt）（利用Xt，重構Xn），TV 修補，更新閾值，判斷是否滿足閾值的條件，是則退出，否則重新開始稀疏修補的步驟。

3.2 改進后的MCA修復算法

考慮到文獻［10］中提到的MCA 圖像修補模型中加入了TV算法，其不滿足視覺的連通性原理，不適合指紋圖像的修復，而CDD 模型符合視覺連通性原理，在此基礎上，本文將CDD 模型應用到MCA模型中，采用一種適合指紋圖像修復的MCA 圖像修復模型。具體算法如下。

將MCA稀疏分解模型和CDD圖像修復模型相結合，同原MCA 修復模型一樣，先在MCA 分解模型中加入“掩膜矩陣”M，在此基礎上加入CDD修復模型，得式（2）：

其中是DTCWT，是第二代曲線波變換，整個過程采用交替最小化的方法。

模型（7）的算法計算步驟如下：

1）選擇參數：閾值參數α，γ和Lmax；收斂參數ε；初始化=X,=0；令δn,μ′=(1+α2-|μ′|/4)/2γ,δt=γLmax。

2）進行迭代：

算法流程圖如圖2所示。

圖2 算法流程圖

4 實驗結果

實驗采用ZKT 光學指紋采集器采集的121×140 的含有斷裂紋的指紋圖像，分別用CDD 圖像修復算法、原MCA 圖像修復算法和改進后的MCA 修復算法對同一幅指紋圖像進行修復，實驗結果如圖3所示，其中CDD算法的實驗參數為p=1.5，a=1.55，K=0.8；原MCA修復模型和改進后的MCA模型實驗參數為Lmax=255,γ∈[0.05,05],α∈[0.1,5]，三種算法的迭代次數都為300次。

圖3 修復效果對比圖

目前的數字圖像修復的客觀評價標準中，常用的有均方根誤差測度（RMSE）、信噪比測度（SNR）、峰值信噪比測度（PSNR）以及信噪比改進測度（ISNR）等。本文將采用PSNR、和算法運行時間來對算法進行比較。

由圖3 的修復效果可看出新模型能很好的復原指紋圖像的斷裂痕，而CDD 模型雖然滿足了連通性原理，但由于修復過程中背景的復雜性導致修復后的紋理模糊，效果不佳，而傳統的MCA 修復模型由于引入了TV修復模型，沒有滿足連通性原理，無法對指紋的斷裂痕進行有效修復。

表1 為CDD 修復模型、原MCA 修復模型和改進后的MCA 模型對殘缺圖像處理后的PSNR、算法運行時間的比較。圖4 為三種算法迭代時間和迭代次數、PSRN的折線圖。

圖4 圖像修復時間與PSRN曲線

表1 三種算法均方根誤差、峰值信噪比與時間

通過實驗數據的比對，改進后的MCA 算法相對于原CDD 算法不僅縮短了修復時間，而且修復效果上有了提升；而傳統MCA 算法雖然有更快的修復速度，但是新算法在修復效果上具有更好的響應。

5 結語

本文結合MCA 圖像修補模型和偏微分方程在指紋修復的兩大優點，將MCA 模型和CDD 圖像修復模型相結合，采用了一種適合修復指紋斷裂痕的圖像修復模型，經過實驗對比和最終的數據比較，新模型在修復指紋斷裂痕這種特殊圖像時具有很好的效果，在實際應用中具有很好的前景。