基于Multisim和MATLAB仿真的二階系統(tǒng)及其電路響應(yīng)性能比較

黃勇超，鄧發(fā)云

（廣州南洋理工職業(yè)學(xué)院 智能工程學(xué)院，廣東 廣州 510900）

0 引 言

Multisim是美國國家儀器NI公司推出的電子仿真與設(shè)計(jì)專業(yè)軟件，利用虛擬信號、器件和儀器分析電路的動(dòng)態(tài)過程十分方便。MATLAB是美國MathWorks公司出品的數(shù)學(xué)軟件，集成數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及數(shù)值計(jì)算提供了全面的解決方案。

本文通過二階運(yùn)放電路實(shí)現(xiàn)控制理論中的二階系統(tǒng)，用Multisim進(jìn)行時(shí)域和頻域仿真，并用MATLAB數(shù)值運(yùn)算對二階系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域和頻域分析，最后將MATLAB數(shù)值運(yùn)算與Multisim仿真比較，找出各自的特點(diǎn)。

1 二階系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)模型

建立一個(gè)二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如圖1所示。

圖1 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)為：

（2）式與（1）式對比，可求得阻尼比：

由（3）式可知，越小，二階系統(tǒng)的阻尼比越大。當(dāng)增益小于、等于、大于1.562 5時(shí)，二階系統(tǒng)分別處于過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼狀態(tài)；當(dāng)增益→∞時(shí)，→0，二階系統(tǒng)處于零阻尼狀態(tài)。

2 二階電路在Multisim中建模

將圖1所示二階系統(tǒng)各控制環(huán)節(jié)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到如圖2所示的二階運(yùn)放電路。圖中，直流電源提供1 V階躍電壓，運(yùn)放U及各支路電阻構(gòu)成比例環(huán)節(jié)，運(yùn)放U及阻容構(gòu)成慣性環(huán)節(jié)，運(yùn)放U及阻容構(gòu)成積分環(huán)節(jié)，運(yùn)放U及電阻構(gòu)成反相環(huán)節(jié)，反饋線從U引出形成電壓并聯(lián)負(fù)反饋，示波器觀察輸入輸出信號。

圖2 二階運(yùn)放電路

3 二階電路與二階系統(tǒng)的時(shí)域仿真

3.1 二階電路時(shí)域的multisim仿真

用multisim對二階電路進(jìn)行時(shí)域仿真，二階無阻尼及過阻尼電路的時(shí)域響應(yīng)曲線如圖3所示。圖2中，開關(guān)s6斷開，開關(guān)s2～s5任一支接通，慣性環(huán)節(jié)變成積分環(huán)節(jié)，二階電路特征方程無一次項(xiàng)，然后開關(guān)s1接通分別得到類似于圖3（a）所示的二階無阻尼電路響應(yīng)曲線，電路處于不穩(wěn)定狀態(tài)。開關(guān)s4、s6接通，然后開關(guān)s1接通得到比例環(huán)節(jié)=1的二階過阻尼電路單位階躍響應(yīng)曲線如圖3（b）所示；開關(guān)s5、s6接通，然后開關(guān)s1接通得到比例環(huán)節(jié)=0.1的二階過阻尼電路單位階躍響應(yīng)曲線如圖3（c）所示。可見，二階過阻尼電路增益越小，則阻尼比越大，調(diào)節(jié)時(shí)間越長。

圖3 二階無阻尼及過阻尼電路的時(shí)域響應(yīng)曲線

比例環(huán)節(jié)中支路s2或s3接通時(shí)二階電路都處于欠阻尼狀態(tài)，其時(shí)域響應(yīng)曲線如圖4所示。圖2中，開關(guān)s1、s2、s6接通，比例環(huán)節(jié)=6.25，得到如圖4（a） （b）所示的二階欠阻尼電路單位階躍響應(yīng)曲線；開關(guān)s1、s3、s6接通，比例環(huán)節(jié)=12.5，得到如圖4（c）（d）所示的二階欠阻尼電路單位階躍響應(yīng)曲線。

圖4 二階欠阻尼電路的時(shí)域響應(yīng)曲線

圖4中，二階欠阻尼電路的穩(wěn)態(tài)值等于輸入電壓1 V，游標(biāo)T1在起始端與游標(biāo)T2在穩(wěn)定值正負(fù)5%處的時(shí)間差即電路的調(diào)節(jié)時(shí)間。比例環(huán)節(jié)=6.25的二階欠阻尼電路的時(shí)域響應(yīng)曲線中，圖4（a）有一個(gè)波峰和波谷，調(diào)節(jié)時(shí)間223.3 ms，圖4（b）波峰1.147 V。比例環(huán)節(jié)=12.5的二階欠阻尼電路的時(shí)域響應(yīng)曲線中，圖4（c）有兩個(gè)波峰和一個(gè)波谷，調(diào)節(jié)時(shí)間240.0 ms，圖4（d）首個(gè)波峰1.17 V。可見，二階欠阻尼電路增益越大，則阻尼比越小，電路振蕩越厲害。

3.2 二階欠阻尼系統(tǒng)的MATLAB程序仿真

二階過阻尼系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間較長較少應(yīng)用，下面對二階欠阻尼系統(tǒng)利用公式（1）進(jìn)行MATLAB編程。比例環(huán)節(jié)=6.25的二階欠阻尼系統(tǒng)編寫如下MATLAB程序。

num=625;den=[1 25 625];

t=0:0.01:2;

y=step(num,den,t); %求單位階躍響應(yīng)

ym=max(y) %求振幅

ys=y(length(t)) %求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值

disp(['sgm=',num2str(100*(ym-ys)/ys),'%']) %求最大超調(diào)量

for i=1:201

if y(i)==ym n=i;end %求振幅對應(yīng)的點(diǎn)

end

i=201;while i＞0 i=i-1;%倒求進(jìn)入誤差帶的下標(biāo)

if y(i)＞= 1.05*ys; y(i)＜y(i-1); m=i; break;

end%求誤差上限進(jìn)入誤差帶的下標(biāo)

if y(i)＜= 0.95*ys; y(i)＞y(i-1); m=i;break;

end%求誤差下限進(jìn)入誤差帶的下標(biāo)

end

ts=m*0.01 %求調(diào)節(jié)時(shí)間

運(yùn)行MATLAB得到如圖4（a）所示的二階欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線：振幅y=1.161 9 v，穩(wěn)態(tài)值y =1.000 0 V，最大超調(diào)量sgm=16.186 2%，調(diào)節(jié)時(shí)間t=0.22 s。與前面的multisim仿真比較，結(jié)果接近。

比例環(huán)節(jié)=12.5的二階欠阻尼系統(tǒng)更改num、den參數(shù)得到如圖5（b）所示的二階欠阻尼系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線：振幅y=1.300 4 v，穩(wěn)態(tài)值y=1.000 0v，最大超調(diào)量sgm=30.043 6%，調(diào)節(jié)時(shí)間t= 0.23s。與前面的multisim仿真比較，振幅略有誤差，結(jié)果也是接近的。

圖5 二階欠阻尼電路開環(huán)對數(shù)特性曲線

4 二階欠阻尼電路及系統(tǒng)的頻域仿真

4.1 二階欠阻尼電路的Multisim頻域仿真

圖2中交流電源替代直流電源，去掉反饋線，用波特表代替示波器觀察開環(huán)電路得到二階欠阻尼電路開環(huán)對數(shù)特性曲線圖5所示。在圖5（a）所示的對數(shù)幅頻特性曲線上，比例環(huán)節(jié)=6.25幅值穿越頻率為3.128 Hz。在圖5（c） 所示的對數(shù)幅頻特性曲線上，比例環(huán)節(jié)=12.5的幅值穿越頻率為4.972 Hz。在圖5（b）的比例環(huán)節(jié)=6.25的對數(shù)相頻特性曲線上，對應(yīng)于幅值穿越頻率3.128 Hz的穿越相位分別為-128.2°（相位裕度51.8°）。在圖5（d）的比例環(huán)節(jié)=12.5的對數(shù)相頻特性曲線上，對應(yīng)于幅值穿越頻率4.972 Hz的穿越相位分別為-128.2°（相位裕度51.8°）。

4.2 二階欠阻尼系統(tǒng)的MATLAB頻域仿真

去掉反饋環(huán)節(jié)，如圖1所示的二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

對于比例環(huán)節(jié)=6.25的二階欠阻尼系統(tǒng)，根據(jù)公式（4）可編寫如下MATLAB程序。

num=25; den=conv([0.04 1],[1 0]);

w=logspace(-1,4);

[mag,pha,w]=bode(num,den,w);

[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,pha,w)

運(yùn)行可得：相位裕度p=51.836 6，幅值穿越頻率w=19.633 4/6.28 Hz=3.12 Hz。這與上述multisim頻域仿真吻合得也很好。

更改num、den參數(shù)可得：相位裕度p=38.766 9，幅值穿越頻率w=31.1781/6.28 Hz=4.96 Hz。這也與上述multisim頻域仿真吻合得也很好。

5 結(jié) 論

本文通過二階運(yùn)放電路實(shí)現(xiàn)二階系統(tǒng)，并用Multisim進(jìn)行時(shí)域和頻域仿真，同時(shí)用MATLAB數(shù)值運(yùn)算對二階系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域和頻域分析，用Multisim電路進(jìn)行仿真，比MATLAB的數(shù)值運(yùn)算更簡便、準(zhǔn)確，大大減小了工作量。

Multisim仿真過程真實(shí)地反映了自動(dòng)控制系統(tǒng)的電路工作過程，它打通了電路模型與控制理論的聯(lián)系。用Multisim仿真去設(shè)計(jì)和分析控制系統(tǒng)，分析過程相當(dāng)簡便，可見Multisim仿真的分析方法確實(shí)值得我們學(xué)習(xí)和掌握。