基于熱響應特性的高速飛行器多約束軌跡優化

許 昱，賀崢光，薛鵬飛，李振華，余卓陽

（1. 空間物理重點實驗室，北京，100076；2. 中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

0 引 言

高速飛行器具備飛行速度快、機動能力強、投送距離遠等優勢，已成為航空航天領域的戰略制高點。隨著對飛行速度的要求不斷提高，高速飛行器所面臨的熱防護問題愈加復雜和嚴峻，加強各專業耦合度并開展多學科優化設計是解決該問題的方式之一。

在傳統的軌跡設計過程中，為防止高速飛行器的結構因氣動熱作用而產生破壞，采用限制駐點熱流和總加熱量的熱約束方式進行熱控制。但從氣動加熱的相關研究中可見，造成高速飛行器結構熱破壞的直接因素是溫度超過極限，而非熱流超過極限，限制駐點熱流和總加熱量存在約束表征不合理的缺陷。此外，傳統的熱約束方式還存在以下不足：

a）對于采用防熱承力一體化的高速飛行器而言，難以在機體上安裝低溫熱沉作為冷端，因此無法使用熱流傳感器獲取相應的熱流和總加熱量；

b）以CAV 為代表的高速飛行器具有尖銳的端頭，設計時通常在端頭處留有部分柱段允許其燒蝕，而將熱防護的研究重點放在大面積機體上，因此過度限制駐點熱流會影響高速飛行器的機動能力；

c）工程實際中采用包絡設計方法，將軌跡設計和熱防護分析交替進行，導致設計過程存在反復迭代、相互妥協的現象，難以獲得最優的軌跡。

綜上所述，采用傳統熱約束的軌跡設計方法存在約束表征不合理、難以實際測量、容易過約束、影響研制效率等缺陷，因此需要建立能夠動態表征熱響應過程的高速飛行器動力學模型，通過限制大面積機體內外壁面溫度上限的方式進行熱約束。

本文基于一維多層平板傳熱理論建立高速飛行器傳熱與熱響應模型，并以傳統飛行力學為基礎，通過熱環境近似擬合和熱響應方程形式變換，建立包含有熱響應模型的高速飛行器增廣動力學模型。在對增廣動力學模型熱響應特性開展深入研究的基礎上，使用自適應Radau 偽譜法對以內壁溫度最低為優化目標的高速飛行器多約束軌跡優化問題進行求解，并對優化設計結果的合理性和科學性進行分析。

1 高速飛行器增廣動力學模型的建立

1.1 熱響應模型建立與變換

被動熱防護系統具有簡單可靠、技術成熟度高、應用范圍廣等優勢，本文將其作為建立熱響應模型的研究對象。被動熱防護系統通常采用防熱層+隔熱層的設計方案，同時一維傳熱模型即可滿足初步分析的精度要求。故基于一維多層平板傳熱理論建立傳熱與熱響應模型，如圖1 所示。

圖1 一維多層平板傳熱模型Fig.1 One-dimensional Multi-layer Plates Heat Transfer Model

該模型由一系列連續的、不同材料、不同厚度的平板組成，存在沿厚度方向的連續傳熱。其控制方程可表示為

式中,,,分別為防隔熱層材料的密度、比熱容、導熱系數和溫度。

外壁面能量平衡方程為

首先對一維多層平板結構進行空間離散，得到由多個控制單元組成的區域。其中，各控制單元厚度需權衡材料的物性參數和計算規模綜合選取。然后采用控制容積積分法對控制方程進行離散處理，可得：

最終得到的一維多層平板傳熱與熱響應模型為

1.2 高速飛行器動力學模型

為突出研究重點，采用如下假設：

a）地球為均質圓球，不考慮其自轉和公轉；

b）高速飛行器全程無動力飛行，質量不變；

c）高速飛行器滿足瞬時平衡，側滑角為零；

d）僅考慮飛行器的縱向運動，傾側角為零。

由此可得高速飛行器簡化的質心動力學模型為

式中為地心距；為航程角；為飛行速度；為軌跡傾角；和分別為飛行器的升力和阻力；為飛行器質量；為重力加速度。

1.3 高速飛行器增廣動力學模型

將式（5）和（4）聯立，得到包含熱響應模型的高速飛行器增廣動力學模型：

可見，動力學模型與熱響應模型通過熱流建立聯系，模型之間的相互影響較小，因此可在消耗少量計算資源的前提下實現對微分方程組的求解。

2 高速飛行器增廣動力學模型的分析

2.1 仿真環境設定與防隔熱層物性參數

以通用航空飛行器CAV-H 為研究對象，其質量為907 kg，參考面積為0.4839 m，升力和阻力系數參考文獻[11]進行擬合。

通過將全飛行剖面內的狀態進行網格離散，使用近似擬合方法得到高速飛行器表面（迎風面1 m 處）的氣動熱流可表示為

表1 防隔熱層物性參數Tab.1 Physical Parameters of Thermal Protection Layer and Thermal Insulation Layer

通過仿真與分析，選取防隔熱層的離散層數分別為2 和8，從而滿足所需的求解精度和計算效率。

2.2 不同飛行模式對熱響應特性的影響

仿真初值和終止條件設定如表2 所示。

表2 動力學模型熱響應特性測試的條件設定（1）Tab.2 Setting for Thermal Response Characteristic Test for Flight Dynamic Model (1)

約束條件設定為：過載不超過15；動壓不超過500 kPa；迎風面1 m 處的外壁溫度不超過1273 K，內壁溫度不超過573 K。仿真結果如圖2、圖3 所示。

圖2 高度/過載-時間變化Fig.2 The Variation of Height/Overload with Time

圖3 外壁/內壁溫度-時間變化Fig.3 The Variation of Outer/Inner Wall Temperature with Time

由圖2、圖3 可見，初始高度不同時，高速飛行器的飛行模式存在較大差異，場景3 采用平衡模式，而場景1 和2 采用跳躍模式。平衡模式的特點在于軌跡較為平直，過載和動壓的峰值低、變化小，內壁溫度較高；跳躍模式則相反，其軌跡波動較為劇烈，過載、動壓和外壁溫度均出現大范圍跳動，但內壁溫度相對較低。由結果可知，在滿足多約束的前提下，場景1的內壁溫度相較場景3 可降低44.8 K。

2.3 不同飛行攻角對熱響應特性的影響

仿真初值和終止條件設定如表3 所示。

表3 動力學模型熱響應特性測試的條件設定（2）Tab.3 Setting for Thermal Response Characteristic Test for Flight Dynamic Model (2)

約束條件設定同上，仿真結果如圖4、圖5 所示。

圖4 高度/過載-時間變化Fig.4 The Variation of Height/Overload with Time

圖5 外壁/內壁溫度-時間變化Fig.5 The Variation of Outer/Inner Wall Temperature with Time

由圖4、圖5 可見，采用小攻角的起跳高度較低，導致過載和動壓的峰值較大、波動較為顯著，但內壁溫度得到較好的控制。由結果可知，在滿足多約束的前提下，場景4 的內壁溫度相較場景5 可降低36.7 K。

3 基于熱響應特性的多約束軌跡優化

3.1 軌跡優化問題概述

軌跡優化問題通常表現為非線性、帶有狀態約束和控制約束的最優控制問題，通過尋找既可滿足各類約束又能使性能指標最優的控制規律，從而得到問題的最優解，并給出狀態量的變化情況。偽譜法是數值求解最優控制問題的一種方法，采用全局插值多項式在一系列離散點上近似狀態量和控制量，并通過偽譜差分矩陣將微分方程約束轉化為代數方程約束，從而將最優控制問題轉化為非線性規劃問題，再使用數值方法求解非線性規劃問題即可獲得最優軌跡。

自適應Radau 偽譜法結合h 方法和p 方法的優點，根據預先設定的判據自主決定采用網格區間重新劃分還是增加多項式階數的方法來達到精度要求，從而完成非線性規劃問題的求解，相較于傳統Radau 偽譜法可具備更高的求解精度和計算效率。

3.2 以內壁溫度最低為優化目標的多約束軌跡優化

本文采用自適應Radau 偽譜法進行最優控制問題的轉換，使用SNOPT 求解非線性規劃問題，從而得到以內壁溫度最低為優化目標的多約束軌跡優化結果。優化設計的條件設定如表4 所示。

表4 多約束軌跡優化的條件設定Tab.4 Setting for Multiple Constraints Trajectory Optimization

優化結果如圖6、圖7 所示。

圖6 高度/攻角-時間變化Fig.6 The Variation of Height/AOA with Time

圖7 溫度-時間變化Fig.7 The Variation of Temperature with Time

由圖6、圖7 可見，高速飛行器采用跳躍飛行模式，具體表現為在大氣密度較低的中間層（50～90 km）采用小攻角使飛行器表面熱流較小（詳見式（7）），然后在大氣密度可滿足起跳條件的平流層（11～50 km）采用大攻角將飛行器迅速拉起抬升，以避免較大氣動熱流的長時間加熱作用。該優化軌跡相較定攻角、平衡飛行模式（場景3）可降低內壁溫度78.4 K，相較定攻角、跳躍飛行模式（場景1）可降低內壁溫度33.6 K，優化效果明顯，實現預期目標。

4 結 論

本文針對高速飛行器傳統軌跡設計方法所存在的熱約束表征不合理和過約束的問題，以一維多層平板傳熱理論為基礎，通過熱環境近似擬合和熱響應方程形式變換，建立包含熱響應模型的增廣高速飛行器動力學模型。從而在軌跡設計時能夠充分考慮到飛行器結構的溫度變化過程，并根據其熱響應特性設計出使內壁溫度更低的飛行軌跡。所得到的結論如下：

a）在滿足各類約束的前提下，采用跳躍飛行模式能夠顯著降低飛行器的內壁溫度，該飛行模式可作為軌跡設計層面進行內壁溫度控制的方法；

b）使用自適應Radau 偽譜法開展多約束軌跡優化問題的求解，得到的優化軌跡相較于采用最佳升阻比攻角跳躍飛行能夠進一步降低內壁溫度。