多功能電容器教學實驗板的設計與實現

項浩原，張蘭蘭，陳泓宇，張軼炳

(1.寧夏大學 物理與電子電氣工程學院，寧夏 銀川 750021;2.新鄉市第十二中學,河南 新鄉 453002)

“觀察電容器的充放電”是高中物理課程標準中的必做實驗之一[1]. 在以往研究中，可以利用燈泡、傳感器或鐘表來實現電容器充放電的可視化，從而大致測量出充放電時間和電荷量[2-4]. 在電壓不變的情況下，通過時間估算電荷量具有可行性，但在電壓改變時，電路中的電流也會發生改變，即使充放電時間相同，電荷量(電流對時間的積分)也不相同. 因此，本文通過對傳感器的開發，能夠通過對電流積分定量求出電容器充放電時的電荷量，從而總結出電容的相關規律. 另外，還設計了多功能電容器實驗板，可以便捷進行多個有關電容器的實驗，減少教師在課上的操作時間. 學生能直觀地觀察到電路的連接方式，通過傳感器觀察充放電過程中電流與電壓的變化，定量測量充放電過程中電荷量的大小，總結出電容和電壓、電荷量之間的關系.

1 電容器概述

1.1 電容器簡介

電容也稱為“電容量”，是指在給定電位差下自由電荷的儲存量，是表現電容器容納電荷本領的物理量. 同為儲能元件，電容器和生活中所使用的電池存在較大差異：

1)在本質上，電池的充放電是化學反應，內部儲存的是化學能，而電容器充放電是物理反應，內部儲存的是電能；

2)在功能上，電池一般只用作電路中的電源，而電容器可用于調諧、濾波、耦合、旁路、能量轉換和延時等[5].

在實驗過程中，由于采用平行板電容器較難得到明顯的實驗現象與數據，一般使用鋁電解電容器，其特點是容量較大. 電容器的性能指標通常會標注在電容器上，需要中學生了解的2個指標為：

1)標準容量，即電容器儲存電荷的能力.

2)額定工作電壓，即電容要長期可靠地工作所能承受的最大直流電壓.

1.2 電容器的充放電時間

電容器實驗的難點在于實驗現象的觀察與數據的獲取. 在一般演示電容器充放電的實驗中，會在電路中串聯電阻以延長充放電時間.而電阻的阻值直接決定了充放電的時間，因此在實驗前要先估計好時間，再進行充放電實驗.

設電容器極板在t時刻的電荷量為q，則電容器(C)兩端電壓為q/C，電源電壓為E，電阻R上的電壓為IR，I為通過電阻的電流，根據回路電壓方程可得：

(1)

如果在時間dt內，流過電路的電荷量為dq，那么電路中電流為

(2)

代入式(1)，整理得到

(3)

根據初始條件：t=0時，q=0，式(3)積分后可得

(4)

當t→∞時，q→CE.設q0=CE，代入式(4)，得到

(5)

當q/q0=0.993時，意味著電容器內的電荷量達到了最大電荷量的99.3%，可以認為電容的充電過程已經完成[6]，解得

t=5RC.

(6)

因此，根據式(6)可以通過估算出電容器充放電時間，然后選擇合適的電阻進行相關實驗.

1.3 電容器中電荷量的計算

在與電容器相關的實驗中，另一難點是電荷量的計算.電流是由大量電荷做定向運動形成的，根據式(2)可得電容器內電荷量為

(7)

要實現電荷量的定量計算，就必須使用采集頻率較大的傳感器進行輔助實驗.通過I-t變化曲線，在充放電過程中對電流求積分，即可得到電荷量.

2 多功能電容器實驗的設計思路

2.1 電路設計

實驗板的設計電路圖如圖1所示.為了方便教師在實驗階段的操作，實驗板采用拔插式元件進行電路組裝.其中,1～3號位是可更換元件的電路位置，通過元件的更換實現多個實驗演示.電路中數據采集系統采用電流傳感器與電壓傳感器.傳感器采集頻率較高，有記錄數據的功能，可以實時擬合出電流電壓在充放電過程中的關系曲線.通過曲線不僅可以直觀看到電流與電壓的變化情況，得到充放電時間，還可以對電流進行積分，求出充放電過程電容器的電荷量.

圖1 電容器實驗板的設計電路圖

2.2 實驗板的功能

本實驗板可以進行4個實驗：觀察電容器的充放電，探究電阻對電容器充放電的影響，探究電容器兩極板間的電勢差與所帶電荷量的關系，探究不同電容器下電荷量與電勢差的關系. 具體操作如下：

1)在觀察電容器充放電的實驗中，電流方向可以通過觀察傳感器測量的電流方向進行判斷，也可以通過觀察2個二極管的發光情況進行判斷. 做完該實驗后，再進行其他實驗前，需要把2號位的二極管換成導線，避免二極管對測量造成影響.

2)在1號位處通過更換不同阻值的電阻，探究電阻對電容器充放電的影響.

3)在3號位處通過更換不同規格的電容器，探究同一電壓下電荷量與電容之間的關系.

4)改變電源電壓，探究同一電容器兩端電勢差與電荷量的關系.

制作的實驗板實物如圖2所示. 在實際教學中，可直接將傳感器與電腦連接，在投影儀上進行實驗演示，也可以讓學生自主進行實驗探究.

圖2 多功能電容器實驗板實物

3 實 驗

3.1 探究電容器的充放電

3.1.1 觀察電容器的充放電

在觀察電容器的充放電實驗中，電路中電阻的選取要盡量合適. 若要在課上演示電容器充放電的過程，選取充放電時間8～20 s為宜. 以3 300 μF的電容為例，充電時間4～10 s，根據式(6)，計算可得R=242～606 Ω，因此演示實驗時可以選用該范圍內的電阻.

選用510 Ω電阻，在6 V電壓下對電容器充放電，實驗圖像如圖3所示. 紅色曲線Ⅰ為電流變化曲線，藍色曲線Ⅱ為電壓變化曲線，圖中的Y最大值表示電流最大值Imax(mA). 從圖3中可以觀察到：充電過程中，電壓逐漸增大，而后趨于穩定，保持不變，電流由11.470 mA逐漸減小至0；放電過程中，電壓由最大值逐漸減小至0，電流仍由11.470 mA減小至0，但方向與充電時的電流方向相反.

圖3 充放電時電流與電壓的變化

另外，在傳感器軟件中還可以選取充電的起始時刻和結束時刻，計算出充電時間，如圖4所示. 本次實驗充電時間t=8.24 s，根據式(6)，計算出理論充電時間t=8.40 s，相對偏差Er=1.90%，結果較為相近.

圖4 實際充電時間的選取

3.1.2 電路中電阻對于電容器充放電的影響

根據式(6)可知,充放電時間與串聯在電路中的電阻有關:阻值越大，充放電時間越長；阻值越小，充放電時間越短. 在電容器充放電的電路中，串聯電阻的作用是減緩電容器充放電的速度，從而方便測量出電壓與電流值. 下面通過實驗來探究電阻對電容器充放電的影響.

根據1.2的分析，可通過式(6)計算出放電時間t的理論值，將t代入式(4)，即可計算出理論電荷量q；通過實驗圖像，截取放電過程中的起始時刻，可得放電時間的實際值，對放電過程的電流值進行積分，可以得到實際的電荷量. 通過對比實際數據與理論數據，驗證實驗數據的準確性，并總結出電阻對電容器充放電的影響.

記錄6 V電壓下，不同電阻的電路中電容器(C=3 300 μF)的放電時間，得到實驗數據如表1所示. 根據表1可知，電路中的阻值R越大，Imax越小，但電荷量幾乎不變. 另外，放電時間t不同，通過積分得到的電荷量q也幾乎不變,且與理論電荷量相差不大，即放電時間的長短或者電路中電流的大小均不會對電容器電容量的大小產生影響.

表1 不同電阻對電容器放電時間的影響

3.2 探究電容、電壓及電荷量之間的關系

3.2.1 探究電容器兩極板間電勢差與所帶電荷量的關系

相較于傳統用電壓表和電流表進行實驗，電流傳感器最大的優點是可以根據固定的頻率記錄充放電過程中的電流值，積分后即可定量計算出電荷量. 用4 V的電壓，串聯510 Ω的定值電阻，以給3 300 μF的電容器充放電為例，得到的圖像如圖5所示. 選取放電開始和結束的時刻，對電流I(mA)進行積分，得到右上方的數值為13.033 3，進行單位轉換后，得到實際電荷量為1.30×10-2C.

圖5 放電過程中電荷量的計算

利用相同方法，在不同電勢差下測量電容器(3 300 μF)充滿電后放電時的電荷量，再通過式(4)～(5)計算出理論值，得到的實驗數據如表2所示.

表2 同一電容器電勢差與電荷量的關系

實驗中實際的放電電荷量與理論計算的電荷量非常接近. 將實驗數據錄入Excel表格中進行曲線擬合，得到如圖6所示的曲線. 從圖像中可以看出電勢差E與電荷量q呈線性關系. 曲線的斜率為0.003 3，根據q=CE可知，斜率為電容器的電容，即C=0.003 3 F=3 300 μF，與實驗中所使用的電容數值一致.

圖6 3 300 μF電容器電荷量與兩端電勢差的關系

通過該實驗可以看出，利用傳感器進行實驗，可以精確計算出電容器所帶的電荷量，在此基礎上，擬合曲線符合C=q/E.這樣，不僅可以加深學生對比值定義法得到電容定義式的理解，學生還可以與教師一同探究電容實驗，培養學生的科學素養.

3.2.2 不同電容器下電荷量與電勢差的關系

測量電荷量數值的方式與3.2.1一致，通過測量電路中電勢差與電荷量的關系(電容器規格分別為1 000,2 200,3 300 μF)，得到如表3所示的數據.

表3 不同電勢差下不同電容器所帶的電荷量

將以上數據導入Excel表格，擬合曲線如圖7所示. 從圖中可以得出以下結論:

1)電容器兩端的電勢差相等時，電容越大的電容器所帶的電荷量越多.

2)電容器兩端的電勢差與電荷量呈線性關系，其斜率為該電容器的電容值，電容值不會隨電勢差和電荷量的改變而改變，而是與它本身的性質有關. 通過該實驗，學生可以定性且定量地得出電容、電荷量與電勢差之間的關系.

圖7 不同電容器的電勢差與電荷量的關系

根據以上分析可知，傳感器實驗相對于傳統實驗，其最大的優點是可以通過對電流積分得到充放電過程中的電荷量，從而進行數據處理和曲線擬合.

4 結束語

通過設計的電路板和對傳感器的開發，自制的多功能電容器實驗板操作便捷，可以演示多個電容相關的實驗，提高了課堂教學效率.同時，利用傳感器進行電流與電壓的數據測量，不僅能夠得到電流和電壓的變化曲線，還可以定量計算出電容器充放電過程中的電荷量，實驗數據擬合曲線與理論符合度較高，有利于加深學生對電容的理解，體會到比值定義法在物理學中的應用.不僅如此，通過實驗學生還能切實地理解電容在電路中起到的作用，如隔直流、計時和儲能等作用，體會科學、技術之間的關系.