多分支混沌變異的頭腦風暴優化算法

衣俊艷，施曉東，楊 剛

1.北京建筑大學 電氣與信息工程學院 計算機系，北京 100044

2.中國人民大學 信息學院，北京 100872

優化問題是指在一定約束范圍內，尋找一組參數值，使得目標函數得到最優。優化問題在通信、交通、國防、管理、計算機等眾多領域都有著廣泛的應用[1]。考慮到實際工程中優化問題的特點，需要尋找一種簡單高效的優化方法。因此，群智能優化算法開始進入人們的視野。

群智能（swarn intelligence，SI）[2]算法主要是模擬昆蟲、獸群、鳥群等群體進行覓食、求偶等群體行為而提出的自適應優化算法。該類算法是一種隨機搜索方法，具有靈活應對群體內部和外部搜索環境變化的能力，即當搜索條件多變或自身的某些個體搜索失敗時，能夠自組織逃離并找到更優的位置[3-4]。基于群體智能的思想，國內外學者提出了多種優化算法，例如蟻群優化（ant colony optimization，ACO）[5]算法、粒子群優化（particle swarm optimization，PSO）[6]算法、人工蜂群（artificial bee colony，ABC）[7]優化算法、布谷鳥搜索（cuckoo search，CS）[8]算法等，這些算法具有較強的魯棒性和搜索能力，易于并行實現，在許多優化問題中得到了廣泛的研究和應用。

大多數的經典群智能算法都來源于低等生物的群體行為，直到2011年，史玉回[9-10]基于人類思維方式和行為，提出了頭腦風暴優化（brain storm optimization，BSO）算法。該算法的重點在于模擬人類使用頭腦風暴解決問題，是受人類群體行為啟發的群智能優化算法。頭腦風暴優化算法將收斂與發散操作同時嵌入到算法的每一次迭代中，具有很強的魯棒性和搜索能力。

群智能優化算法普遍存在易陷入局部最優，導致早熟收斂的問題，BSO算法也不例外。為此，許多研究者提出了改進算法。文獻[11]使用k-medians聚類替換BSO算法中的k-means聚類，提高了算法的搜索效率。文獻[12]提出了基于討論機制的頭腦風暴優化（discussion mechanism based brain storm optimization，DMBSO）算法，通過控制組內、組間討論次數，初期加強全局搜索，后期加強局部搜索，有效地避免了算法陷入局部最優。文獻[13]提出了目標空間的頭腦風暴優化（brain storm optimization in objective space，BSO-OS）算法，通過將解集合分為精英類和普通類來代替BSO 中復雜的聚類操作，極大地提升了算法搜索效率，降低了算法的復雜度。文獻[14]提出了一種改進的頭腦風暴優化（modified brain storm optimization，MBSO）算法，使用簡單分組方法（simple group method，SGM）替換k-means 聚類，并用差分變異替換BSO 算法中的高斯變異，提高了算法的搜索效率和尋優精度。

針對BSO尋優精度不高、易陷入局部最優的問題，本文提出一種多分支混沌變異的頭腦風暴優化（brain storm optimization based on multi-branch chaotic mutation，MCMBSO）算法。該算法利用混沌序列的遍歷性、多樣性和隨機性，通過混合多種混沌序列，擴大算法的搜索空間，增強其全局搜索能力。當BSO 算法陷入局部最優時，使用多分支混沌變異算子，生成新的解集合，平衡算法搜索時的收斂和發散操作，提高算法跳出局部最優的能力。

本文介紹了原始BSO 算法的流程和原理、多分支混沌變異的流程以及選取的8 個混沌映射的解分布情況，并給出了MCMBSO 算法的步驟和流程圖。實驗部分將MCMBSO 與BSO 算法在10 個經典測試函數上進行了3 個維度的對比實驗，并將MCMBSO 與多種算法進行了實驗對比分析。實驗結果表明，新算法提高了BSO跳出局部最優的能力，進而提高了算法的尋優精度。

1 頭腦風暴優化算法

頭腦風暴優化算法是一種新興的群智能優化算法，其靈感來自于人群求解問題時集思廣益的群體行為，即頭腦風暴過程。頭腦風暴過程的核心思想是召集一群不同背景的人，對需要解決的問題提出大量的解決方案，最后通過解決方案的溝通和整合，共同解決問題。當面臨個人難以解決的問題時，通過不同背景的人的大量設想、大膽假設、觀點融合，最終能有效提升找到最優解決方案的概率。

BSO 算法將頭腦風暴過程中產生的想法抽象為優化問題解空間中的個體，每個個體都是待求解問題的一個解，所有個體視為待求解問題的解集合，通過個體的融合變異產生新的個體。算法流程如下：

（1）初始化n 個個體。

（2）使用k-means 將n 個個體聚類，并計算n 個個體的適應度值，選擇每個類中適應度值最好的個體作為該類的聚類中心。

（3）根據概率選擇是否隨機生成一個個體代替隨機選擇的一個聚類中心。

（4）通過以下四種方式更新個體，當一個新個體生成后，與當前個體相比，適應度好的個體作為下次迭代的新個體。

①隨機選擇一個類的聚類中心，添加隨機值生成新個體。

②隨機選擇一個類的普通個體，添加隨機值生成新個體。

③隨機選擇兩個類的聚類中心，合并后添加隨機值生成新個體。

④隨機各選擇兩個類中的一個普通個體，合并后添加隨機值生成新個體。

（5）重復進行（4）操作，直到n 個個體全部更新完畢，此時產生n 個新個體，完成一次算法迭代。

（6）回到操作（2），再進行下一次迭代，直到達到最大迭代次數后算法停止。

在BSO 算法中，新個體通過一個或兩個類中的中心或普通個體添加隨機值生成。當新個體基于一個類生成時，算法傾向于收斂，當新個體基于兩個類生成時，算法傾向于發散。算法通過類內、類間的交互融合來實現個體的更新，這些操作確保了算法的種群多樣性和生成新個體的質量。此外，BSO添加隨機值生成新個體的方式如式（1）所示：

式中，Xdnew是生成新個體的d維值，Xdselect是選中個體的d維值，N(μ,σ) 是均值為μ方差為σ的高斯隨機函數，ξ是高斯隨機函數的系數，用來控制擾動的幅度，表示為：

式中，logsig( )是S形變換函數，Imax是最大迭代次數，I是當前迭代次數，k是改變logsig( )函數的斜率，rand產生一個0到1之間的隨機數。

2 多分支混沌變異的頭腦風暴優化算法

2.1 新解生成分析

在大多數群智能優化算法中，種群中的所有個體都只趨向于最優解。而在頭腦風暴優化算法中，每個個體不僅是目標問題的解，而且是解集合中的一個樣例。類似于人類頭腦風暴過程，BSO算法通過對解集合中每個個體進行融合和變異來生成新的解集合。因此新個體的生成在BSO算法中具有重要的作用。

傳統的BSO算法使用添加高斯隨機值來進行新解的生成。根據正態分布特性，在式（1）中，當μ和σ固定時，N(μ,σ)的取值幾乎全部集中在(μ-3σ,μ+3σ)內。如圖1所示，是μ=0,σ=1 時的高斯分布曲線，概率密度集中在分布的中心，并以指數形式向兩邊遞減，其99.73%的面積集中在平均值左右3個標準差3σ的范圍內。而logsig( )∈( 0,1) ，可知系數ξ∈( 0,1) 。因此，高斯變異由系數ξ和隨機函數N(μ,σ)乘積所得的變異量始終在一個固定的范圍內。

圖1 高斯分布圖Fig.1 Gaussian distribution

根據正態分布的特點，高斯變異側重于搜索原個體周圍的局部區域，局部搜索能力較強，但引導個體跳出局部最優的能力較弱，容易導致種群搜索停滯。為了增強BSO 算法跳出局部最優解的能力，本文在算法陷入局部最優時加入多分支混沌變異算子。

2.2 多分支混沌變異算子

2.2.1 混沌與混沌解

混沌是指確定性系統中出現的一種貌似無規律的復雜運動形態，其行為復雜且類似于隨機，因此可用來進行隨機搜索。對于確定性非線性系統，具有內在隨機性的解稱為混沌解。不同于確定性解和隨機解，混沌解具有遍歷性、隨機性、初值敏感性、長期不可預測性等自身獨有的特性[15]。

在優化領域，混沌映射生成的混沌解常用于種群初始化，個體的選擇、交叉、變異等操作，而且通常能取得比隨機數更好的結果。混沌映射不斷迭代后產生混沌序列，每一次迭代即是實現一次搜索，通過不斷迭代，即可實現對混沌空間的遍歷搜索。

2.2.2 多分支混沌變異

本文選取8個混沌映射，設計了一種多分支混沌變異算子，當原始BSO算法搜索陷入局部最優時，使用多分支混沌變異生成新個體，增強算法跳出局部最優解的能力。

對于m維優化問題，f(X)=f(x1,x2,…,xd,…,xm),xd∈[a,b],a和b分別是個體的上下界。多分支混沌變異算子的流程如下：

（1）從8個混沌映射中選取一個映射用來生成m維混沌變量，選取公式如下：

其中，p∈( 1,8 )是選取的混沌映射序號，i是混沌序列的迭代次數。

（2）在( 0,1) 之間產生m個隨機數作為m維混沌變量c(p)1各分量的初始值。

（3）根據所選取的混沌映射，通過K次迭代產生一個長度為K，包含K個m維混沌變量的混沌序列

（4）通過載波映射[16]，將混沌特性引入到選中個體周圍，表達式如下：

式中，Xselect是選中個體的d維值是原個體所在簇的簇中心的d維值。

（5）使用式（4）生成K個在原個體周圍具有混沌特性的m維搜索點后，將這些點帶入到測試函數中進行檢驗，選取其中適應度值最小的搜索點Xmin作為待更新個體。

（6）比較最小搜索點Xmin與第idx個原個體Xidx的適應度值，其中idx∈[1,n] 。如果滿足f(Xmin)＜f(Xidx)，即可將Xidx更新為Xmin。

多分支混沌變異算子中，混沌映射的選取采用隨機選擇的策略，這樣既保證了混沌搜索的多樣性，更避免了算法復雜度的增加。此外，算法陷入局部最優是指當算法在迭代一定次數后，全局最優適應度值始終不變。此時種群中的個體大都聚集在局部最優處，因變異量有限，算法失去跳出局部最優解的能力，且種群整體的群體多樣性過低。因此，通過使用多分支混沌變異算子，對個體嵌入不同的混沌映射序列。這樣不僅擴大了混沌搜索的空間，給個體帶來更大的變異，增加了個體信息的多樣性，而且增強了算法跳出局部最優的能力，進而提高了算法的全局搜索能力和尋優精度。

2.2.3 具體混沌映射

不同的混沌映射所產生的混沌序列是完全不同的，其分布或遍歷性質有很大的差異。由于混沌序列的不重復性和遍歷性，使用不同混沌映射的搜索模式在搜索范圍和提高算法精度上都優于使用單一的混沌映射。通過研究多種混沌映射所產生的序列分布情況，本文選取了8個典型的具有獨特分布特性的混沌映射，用于構成多分支混沌變異算子。經過大量實驗測試，這8個混沌映射能有效增強算法跳出局部最優解的能力，其描述如下所示：

（1）Cubic 映射。Cubic 映射[17]是處理各種應用（如密碼學）中最常見的混沌映射之一，表達式為：

其中，ρ=2.59。圖2顯示了Cubic映射迭代500次后混沌序列分布的散點圖和頻率直方圖。

圖2 Cubic映射生成的混沌序列分布散點圖和直方圖Fig.2 Scatter diagram and histogram of chaotic sequences generated by Cubic map

（2）Sine映射。Sine混沌映射是以正弦函數為基礎的混沌映射[17-18]，表達式為：

其中，μ∈[0,1] 是控制參數，當μ越趨近于1時，混沌性越強，此處取μ=1；c( 2)i∈(-1,1) ，此處取c( 2)i的絕對值，使得c( 2)i∈( 0,1) 。圖3顯示了Sine映射迭代500次后混沌序列分布的散點圖和頻率直方圖。

圖3 Sine映射生成的混沌序列分布散點圖和直方圖Fig.3 Scatter diagram and histogram of chaotic sequences generated by Sine map

（3）Logistic 映射。Logistic 映射[17-18]是研究動力系統、混沌等復雜系統行為的一個經典模型，可以用來模擬生物種群的生長行為，因此也叫“蟲口模型”，表達式為：

其中，μ∈( 0,4 ]是控制參數，當μ=4 時，系統處于全混沌狀態，具有混沌性；c( 3)i∈( 0,1) 且初始值c( 3 )1≠0.25,0.50,0.75。圖4 顯示了Logistic 映射迭代500 次后混沌序列分布的散點圖和頻率直方圖。

圖4 Logistic映射生成的混沌序列分布散點圖和直方圖Fig.4 Scatter diagram and histogram of chaotic sequences generated by Logistic map

（4）無限折疊混沌映射（iterative chaotic map with infinite collapses，ICMIC）[17，19]。ICMIC的表達式為：

其中，μ∈( 0,+∞)，研究表明μ對表達式的影響很小，此處取μ=100；c( 4)i∈(-1,1) ，此處取c( 4)i的絕對值，使得c( 4)i∈( 0,1) 。圖5 顯示了ICMIC 映射迭代500 次后混沌序列分布的散點圖和頻率直方圖。

圖5 ICMIC映射生成的混沌序列分布散點圖和直方圖Fig.5 Scatter diagram and histogram of chaotic sequences generated by ICMIC map

（5）分段線性混沌映射（piecewise linear chaotic map，PWLCM）[17-18]。PWLCM 是多段構成的混沌映射，表達式為：

其中，λ為控制參數，當λ∈( 0,0.5 )時，c( 5)i∈( 0,1) 。系統具有以下特性：（1）Lyapunov指數大于0，系統為混沌狀態。（2）具有一致的不變分布密度函數和較好的遍歷性。圖6顯示了PWLCM映射迭代500次后混沌序列分布的散點圖和頻率直方圖。

圖6 PWLCM映射生成的混沌序列分布散點圖和直方圖Fig.6 Scatter diagram and histogram of chaotic sequences generated by PWLCM map

（6）Neuron映射。Neuron映射[17]是具有非線性反饋的映射，由雙曲正切函數和指數函數組合構成，表達式為：

其中，η∈[0,1] 是衰減系數，此處取η=0.5；γ是比例因子，此處取γ=5；c( 6)i∈(-1.5,0.5 )，此處取c( 6)i的絕對值，并舍去大于1 的值，使得c( 6)i∈( 0,1) 。圖7 顯示了Neuron 映射迭代500 次后混沌序列分布的散點圖和頻率直方圖。

圖7 Neuron映射生成的混沌序列分布散點圖和直方圖Fig.7 Scatter diagram and histogram of chaotic sequences generated by Neuron map

（7）Sinusoidal映射[17-18]。Sinusoidal映射的表達式為：

其中，μ是控制參數，此處取μ=2.3。圖8顯示了Sinusoidal映射迭代500次后混沌序列分布的散點圖和頻率直方圖。

圖8 Sinusoidal映射生成的混沌序列分布散點圖和直方圖Fig.8 Scatter diagram and histogram of chaotic sequences generated by Sinusoidal map

（8）Berboulli Shift 映射。Berboulli Shift 映射[17]是分段線性函數，表達式為：

其中，λ為控制參數，此處取λ=0.4。圖9顯示了Berboulli Shift 映射迭代500 次后混沌序列分布的散點圖和頻率直方圖。

圖9 Berboulli Shift映射生成的混沌序列散點圖和直方圖Fig.9 Scatter diagram and histogram of chaotic sequences generated by Berboulli Shift map

圖2～圖9展示了8個混沌映射迭代500次后的混沌序列分布散點圖和頻率直方圖。從圖中可以看出，這8個混沌映射具有不同的分布特性。例如Logistic、Sine、Cubic映射產生的混沌解大多分布在0和1周圍；PWLCM映射產生的混沌解分布趨向于0；而ICMIC映射產生的混沌解分布則趨向于1；Neuron映射產生的混沌解分布傾向于0.3 到0.5；Sinusoidal 映射產生的混沌解范圍僅在0.5 到0.9 之間。這些不同的混沌映射產生的不同分布的混沌解，提供了比單一混沌解更大的混沌空間，同時利用混沌序列的高隨機性，增加了個體的變異量，從而有效擴大了算法的搜索范圍，增強了算法跳出局部最優解的能力。

2.3 算法步驟

MCMBSO算法步驟如下：

步驟1 初始化：在解范圍內隨機生成n個個體。

步驟2 聚類：用k-means 將n個個體聚類，并計算適應度值，找出每類最優個體作為聚類中心。

步驟3 中心替換：根據概率隨機生成一個個體替換隨機選取的聚類中心。

步驟4 根據概率在一個簇中選擇中心個體或普通解作為Xselect，或兩個簇中各選擇一個中心個體或普通解組合作為Xselect。

步驟5 判斷算法是否陷入局部最優：若算法重復迭代20次，最優適應度值不變，執行步驟6，否則轉步驟7。

步驟6 根據式（3）、（4）、（5），使用多分支混沌變異算子更新個體，完成轉步驟9。

步驟7 根據式（1）、（2），用高斯變異生成新個體。

步驟8 若新個體適應度值優于原個體，存儲適應度好的個體作為新個體進入下次迭代。

步驟9n個個體全部更新完轉步驟10，否則轉步驟4。

步驟10 若達到最大迭代次數，輸出最優個體適應度值，算法結束，否則轉步驟2。

MCMBSO流程圖如圖10所示。

圖10 MCMBSO算法流程圖Fig.10 Flowchart of MCMBSO algorithm

3 實驗測試與結果分析

為了驗證MCMBSO 算法解決優化問題的有效性和可行性，本文從兩方面進行仿真對比實驗。（1）將MCMBSO 與標準BSO 算法在不同的維度下進行仿真對比；（2）將MCMBSO 與遺傳算法（genetic algorithm，GA）、粒子群優化（PSO）算法和布谷鳥搜索（CS）算法進行仿真對比。

為了便于對比分析，實驗使用10 個經典的測試函數[20]，如表1 所示。其中f1～f5屬于單峰函數，f6～f10屬于多峰函數。單峰函數在定義域中只有一個嚴格局部極大值或極小值，多峰函數是指在區間中有多個相同或不同極值點的函數。

表1 10個測試函數Table 1 10 test functions

所有算法的實驗在同一平臺上運行，實驗平臺為Windows 10（64 bit）操作系統下的MATLAB R2018b，硬件條件為Intel?CoreTMi5-9300 CPU 2.40 GHz，16 GB內存。

3.1 聚類數分析

在BSO和MCMBSO算法流程中，分類策略的目的是將解集合收斂到若干較小的范圍，優化搜索區域。在算法多次迭代之后，搜索空間不斷減小，所有解大概率被聚集到一個小范圍中，增加了算法的收斂能力。因為本文主要探討添加多分支混沌變異算子后對BSO算法的改進，所以MCMBSO 參照原始BSO 算法，使用kmeans聚類對解集合進行分類操作。k-means算法是一種經典的聚類算法，算法本身需經過多次迭代才能將解集合分組，并且聚類數需要事先指定。

表2展示了BSO 和MCMBSO 算法在單峰函數f1和多峰函數f7上，聚類數分別為2、5、10、20下的尋優實驗結果。其中，BSO算法的各參數和聚類數為5時的平均值來源于文獻[9]，MCMBSO 算法陷入局部最優的判斷條件為重復迭代20 次，最優適應度值不變。實驗的種群規模為100，最大迭代次數為2 000，優化問題維度為30。算法對每個函數獨立運行50 次，記錄它們的平均值。其中加粗行代表2、5、10、20 聚類數下能獲得平均值較優的一個。

由表2可以看出，無論是BSO還是MCMBSO算法，在處理單峰函數f1和多峰函數f7上，都在聚類數為5時獲得了相對更優的平均值，并且MCMBSO算法在4個聚類數下均獲得了優于BSO的平均值。根據文獻[21]，聚類個數的多少會影響BSO算法的種群多樣性。如果聚類數過小，會弱化算法的收斂能力，降低局部搜索的速度和精度。如果聚類數過大，會讓算法搜索后期不停增加種群信息的多樣性，產生許多無效空簇，導致算法難以收斂。因此，為了檢驗使用多分支混沌變異算子的有效性，參照文獻[9]，本文在之后的實驗中，將BSO 與MCMBSO的聚類數設定為統一值5。

表2 k-means不同聚類數下的實驗結果比較Table 2 Comparison of experimental results under different k-means clustering numbers

3.2 MCMBSO與BSO算法對比

為了研究MCMBSO 算法的優化性能，將表1 中的10 個測試函數分別用MCMBSO 和BSO 算法在10 維、30 維、50 維的維度下進行30 次獨立尋優，記錄30 次尋優的最優值、最差值、平均值和方差。實驗種群規模為100，最大迭代次數為20 000，BSO 的參數參考文獻[9]，MCMBSO陷入局部最優的判斷條件為重復迭代20次，最優適應度值不變。實驗統計結果如表3和表4所示。

表3和表4分別給出了MCMBSO和BSO算法在不同維度下的單峰和多峰測試函數上尋優的實驗結果。表中的最優值和最差值體現了算法單次的尋優能力，平均值體現了算法運行30 次后達到的尋優精度，方差則體現了算法的穩定性。其中，加粗數字表示兩算法中較優的平均值。加下劃線數字代表兩算法中較優的最優值和方差值。

表4 MCMBSO與BSO不同維數下的多峰函數實驗結果比較Table 4 Comparison of experimental results on multimodal functions between MCMBSO and BSO in different dimensions

從表3 中可以看出，對于5 個單峰函數，MCMBSO和BSO算法得到的最優解都非常接近理論最優值。除去f2的10維，MCMBSO在5個單峰函數上3個維度下的平均值均優于BSO。特別的，對于函數f5，MCMBSO在3個維度上都找到了理論最優值0，而BSO只在10維上找到了理論最優值。對比兩算法的穩定性，在函數f3、f4、f5上，MCMBSO 算法的方差在3 個維度上都達到了10-4及以上，高于BSO算法最少3個數量級。

表3 MCMBSO與BSO算法不同維數下的單峰函數實驗結果比較Table 3 Comparison of experimental results on unimodal functions between MCMBSO and BSO in different dimensions

針對函數f1和f2，僅在處理50維問題上MCMBSO的方差略大于BSO，其余兩個維度上MCMBSO 的方差均優于BSO。針對50維問題，MCMBSO的方差大于BSO的原因是：隨著問題維度的升高，算法尋優的難度也逐漸增加。由于MCMBSO中8個混沌映射采取隨機選擇的策略，混沌搜索空間具有一定的隨機性。并且針對不同的函數問題，算法具有不同的適應性。對于函數f1和f2的50 維，雖然在方差上略大于BSO，但MCMBSO在這兩個問題上均獲得了優于BSO 的平均值，且最優值精度也達到了1E-150 和1E-79，非常接近理論最優值。說明MCMBSO在處理這兩個函數的50維上，穩定性略低于BSO，但具有更高的尋優能力。

因此，對于處理5 個單峰函數，兩算法均能找到非常接近或等于理論最優值的解。針對所測試的15個單峰問題，MCMBSO算法求得的平均值有14個優于BSO算法，方差值有13個優于BSO。由此可見，相較于BSO算法，MCMBSO 算法具有更強的尋優能力和較好的穩定性。

從表4 中可以看出，對于5 個多峰函數，MCMBSO在5個多峰函數的3個維度上，平均值基本均優于BSO，僅在函數f9的50 維上，MCMBSO 的平均值略低于BSO，且差值在同一個數量級內。特別是在函數f7上，MCMBSO 在3 個維度上都獲得了比BSO 高3 個數量級及以上的尋優精度。在穩定性方面，對于函數f7、f8、f10，MCMBSO 在3 個維度上均獲得了優于BSO 的方差；在函數f6上，MCMBSO 的方差僅在10 維上略大于BSO，但平均值和最優值仍優于BSO。

因此，在處理5個多峰函數的15個問題時，MCMBSO求得的平均值有14個優于BSO算法，方差值有11個優于BSO。這說明，在5個多峰函數上，MCMBSO可以找到比BSO更優的解，穩定性也優于BSO，僅在處理f9這個比較復雜的問題時，穩定性略低于BSO。

綜上所述，在處理10 個測試函數上，MCMBSO 在f1～f10上都取得了優于BSO 的尋優平均值，說明了MCMBSO具有更好的尋優能力。在穩定性上，MCMBSO在f1～f8和f10上均獲得了優于BSO 的方差，說明了MCMBSO 具有更高的穩定性。尤其在函數f3、f4、f5、f7、f8、f10上，MCMBSO 在3 個維度上的平均值和方差均優于BSO。由此可見，使用多分支混沌變異算子的MCMBSO，有效避免了BSO易陷入局部最優的問題，尋優能力更強，具有更高的穩定性和全局搜索能力。

3.3 MCMBSO與其他算法對比

表5展示了MCMBSO 算法與PSO、GA、CS 算法在表1 的10 個函數上的尋優實驗結果。四種算法的種群規模為100，最大迭代次數為20 000，優化問題維度為30，算法對每個函數獨立運行30次，記錄它們的平均值和方差。

表5 維度為30時MCMBSO與其他優化算法實驗結果比較Table 5 Comparison of experimental results between MCMBSO and other optimization algorithms with dimension of 30

由表5可見，不同于其他三種算法，MCMBSO在函數f1和f5上均能達到理論最優值。對于函數f2、f4、f7，MCMBSO 的平均值和方差均優于PSO、GA、CS 最少2 個數量級，且在函數f9、f10上，MCMBSO 的平均值也略優于其他三種算法。因此MCMBSO在7個函數上均獲得了優于其他三種算法的尋優結果。僅在函數f3、f6和f8上，MCMBSO的精度略遜于CS，但優于PSO和GA。綜上可知，相比于其他優化算法，MCMBSO 具有更強的全局搜索能力。

4 結束語

本文針對BSO 算法易早熟收斂，尋優精度不高的問題，在BSO 算法的基礎上，嵌入多分支混沌變異算子，提出了多分支混沌變異的頭腦風暴優化（MCMBSO）算法。當BSO 算法搜索陷入局部最優時，使用多分支混沌變異替換高斯變異來生成新個體，增強了算法跳出局部最優解的能力。實驗使用10 個經典測試函數，將MCMBSO 與BSO 算法在3 個維度下進行對比分析，并與PSO、GA、CS 算法進行對比分析。實驗表明，MCMBSO算法能有效避免BSO易陷入局部最優的問題，且尋優精度更高，全局搜索能力更強，具有較高的穩定性。