斯坦納-萊莫定理的λ-推廣

孫四周

(江蘇省蘇州市吳江盛澤中學 215228)

初等幾何中有個名氣非常響的定理——斯坦納-萊莫(Steiner-Lehmer)定理，內容如下：

如果一個三角形的兩條內角平分線相等，則該三角形是等腰三角形.

歐幾里得將該結論作為定理收入了《幾何原本》，對于其證明卻只字未提.直到1840年經萊莫(C.L.Lehmus)重新提起，斯坦納(J.Steiner)首先給出了證明，引起了數學界極大反響，從此而被稱為“斯坦納-萊莫定理”.此后百余年，全世界的各種雜志上經常可以看到論證這個定理的文章，至今已有接近百種證明.1980年，美國《數學教師》月刊還登載了這個定理的研究現狀.這個定理能夠保持如此持久的熱度，主要是因為它符合“著名定理”的特征，比如：表述非常簡單，結論看似顯然而證明卻往往涉及更深刻的內容.

有趣的是，2012年文[2]用中國古人所擅長的“割補求積法”在不添加任何輔助線的情況下，給出一個簡潔(也可以說是“中國化”)的證明.并引申出13個定理，拓寬了它的應用.本文將向另一個方向出發，首先把“角平分線”換成“三等分角線”，進而給出任意等分角的推廣(本文中單字母表示角時意義如下：

A

=∠

BAC

,

B

=∠

ABC

,

C

=∠

BCA

).

1 三等分角的Steiner-Lehmer定理

圖1

定理1

△

ABC

中，

D

,

E

分別是邊

CB

,

CA

上的點，且則

AD

=

BE

的充要條件是

CA

=

CB.

證明

由

S

△+

S

△=

S

△+

S

△知，故

AD

=

BE

?

①

如果

A

>

B

,則①式左邊為正，右邊為負；如果

A

<

B

，則①式左邊為負，右邊為正.故①式成立的充要條件是

A

=

B

,即

CA

=

CB.

證畢.

類似地,對于三等分角的另外一條分角線，Steiner-Lehmer定理也成立.即

定理2

△

ABC

中，

D

,

E

分別是邊

CB

,

CA

上的點，且則

AD

=

BE

的充要條件是

CA

=

CB.

證明同上,略.

如果改成“四等分角”“五等分角”……“

n

等分角”，是否還成立呢？經研究發現，結論是肯定的.事實上我們有更一般的推廣.

2 Steiner-Lehmer定理的λ-推廣

圖2

定理3

△

ABC

中，

D

,

E

分別是邊

CB

,

CA

上的點，且∠

BAD

=

λA

,∠

ABE

=

λB

,其中

λ

是常數且

λ

∈(0,1),則

AD

=

BE

的充要條件是

CA

=

CB.

此定理的證明比較繁瑣,為了體現其層次性和關鍵技巧,我們先證下面的兩個引理，再將證明逐漸展開.

引理1

若

λ

∈(0,1)，

A

，

B

是△

ABC

的內角，則

A

>

B

的充要條件是sin

λA

>sin

λB.

證明

因為且

λ

∈(0,1)，所以故證畢.

引理2

若

λ

是常數且

λ

∈(0,1)，則函數在區間(0,π)上單調遞增.

證明

只要證明當

x

∈(0,π)時，

f

′(

x

)>0恒成立即可.

f

′(

x

)=

=

因cos(1-

λ

)

x

<1).記

g

(

x

)=sin

λx

-

λ

sin

x

，則

g

′(

x

)=

λ

cos

λx

-

λ

cos

x

=

λ

(cos

λx

-cos

x

)，因為0<

λx

<

x

<π，及函數

y

=cos

x

在(0,π)上遞減，故cos

λx

>cos

x.

故

g

′(

x

)>0恒成立，即

g

(

x

)在(0,π)上遞增.又

g

(0)=0，故當

x

∈(0,π)時，

g

(

x

)>0.從而知

f

′(

x

)>0恒成立，即知

f

(

x

)在(0,π)上單調遞增.證畢.

定理3的證明

根據三角形的面積公式可得即

AD

[

AB

sin

λA

+

AC

sin(1-

λ

)

A

]=

BE

[

AB

sin

λB

+

BC

sin(1-

λ

)

B

].故

AD

=

BE

?

AB

sin

λA

+

AC

sin(1-

λ

)

A

=

AB

sin

λB

+

BC

sin(1-

λ

)

B

?sin

C

·(sin

λA

-sin

λB

)=sin

A

sin(1-

λ

)

B

- sin

B

sin(1-

λ

)

A

? sin

C

(sin

λA

-sin

λB

)=由引理1，2知,若

A

>

B

,則上式左邊為正,右邊為負,矛盾;若

A

<

B

,則上式左邊為負,右邊為正,也矛盾.從而知必有

A

=

B

,即

CA

=

CB.

證畢.

3 Steiner-Lehmer定理的等價形式

圖3

在定理3中，研究線段

AD

與

BE

的交點

S

(圖3)，以及由此產生的線段

SA

和

SB

，也是一個很有意義的課題，并且可以得到一系列有價值的結果.

定理4

△

ABC

中，

D

,

E

分別是邊

CB

,

CA

上的點，且∠

BAD

=

λA

,∠

ABE

=

λB

,其中

λ

是常數且

λ

∈(0,1),

AD

,

BE

的交點是

S

,則

SA

=

SB

的充要條件是

AD

=

BE.

證明

一方面，在△

ABS

中，

SA

=

SB

?

λA

=

λB

?

A

=

B.

另一方面，△

ABC

中，

AD

=

BE

?

A

=

B

(定理3).綜合即知

SA

=

SB

?

AD

=

BE.

證畢.

綜合定理2和定理4，立刻知：

定理5

△

ABC

中，

D

,

E

分別是邊

CB

,

CA

上的點，且∠

BAD

=

λA

,∠

ABE

=

λB

,其中

λ

是常數且

λ

∈(0,1),

AD

,

BE

的交點是

S

,則

SA

=

SB

的充要條件是

CA

=

CB.

特別地，令即可把Steiner-Lehmer定理寫成如下的等價形式：

定理6

△

ABC

的內角平分線

AD

,

BE

的交點是

S

,若

SA

=

SB

,則

CA

=

CB

(圖3).

按照定理6的構圖原則，我們構造更具一般意義的圖形，可得：

圖4

定理7

△

ABC

中，若

C

為鈍角，以

AB

為一邊，在點

C

的同側作△

ABC

′,使(圖4),則

C

′

A

=

C

′

B

的充要條件是

CA

=

CB.

定理8

對于任意△

ABC

，以

AB

為一邊，在點

C

的同側分別作∠

C

′

AB

和∠

C

′

BA

,使∠

C

′

AB

=

λ

∠

CAB

,∠

C

′

BA

=

λ

∠

CBA

,其中

λ

是常數且則

C

′

A

=

C

′

B

的充要條件是

CA

=

CB.

證明

首先，由知即從

A

,

B

出發的兩條射線的同旁內角之和小于二直角.根據歐幾里得第五公設知，射線

AC

′與

BC

′的交點

C

′在

C

的同側.(1)如果0<

λ

<1，則

C

′在△

ABC

的內部，即為定理5，已證;(2)如果

λ

=1，則

C

′與

C

重合，顯然;(3)如果則

C

在△

ABC

′的內部，在△

ABC

′中應用定理5，同樣得證.