活用思維導圖 助力微課生長
——以“二次函數的圖象、性質與系數的關系”微專題教學設計為例

朱佳煒

(蘇州大學實驗學校 215131)

任宏章

(南京師范大學蘇州實驗學校 215133)

微專題課是教師根據學生的學習情況及作業反饋出來的突出問題而組織進行的課堂教學，通常是用一節課的時間解決一個重要知識點或一類題型.微專題課以“微”漸進，具有很強的針對性和可操作性，課堂指向知識點體系生成、數學思想方法生成，著力發展學生的數學思維能力.實際教學過程中，由于學生學習經驗、知識儲備不足等原因，一般很難在課堂上以思維導圖的形式完全呈現學習內容；同時，受課堂學習時間的限制，也不會有充足的時間繪制“大”且“全”的思維導圖.在此筆者提出在課堂教學過程中圍繞一個知識點、一道題目或一種數學方法展開思維聯想，繪制與此相關的微型思維導圖.

下面以區級示范課“二次函數的圖象、性質與系數的關系”中考復習微專題課為例，談談基于微型思維導圖的初中數學微專題教學，以及兼具蘇州特色的“問題導向、深度理解、高度參與、開放多元”的初中數學課堂教學要求.

1 教學分析

(1)教學內容分析

二次函數的圖象與性質是本章節的重點知識.本節課是在學生對相關知識點的理解還不成體系的情況下組織教學的，特別是學生對解析式

y

=

ax

+

bx

+

c

(

a

≠0)中的系數

a

，

b

，

c

與二次函數圖象之間的關系還不夠清晰.

(2)教學目標確定

①繪制思維導圖，梳理知識要點，建構二次函數圖象、性質與系數關系的知識體系；

②編撰思維導圖，通過典型例析，感悟解決二次函數圖象、性質與系數關系問題的數學思想；

③活用思維導圖，通過拓展延伸，變式運用，學會分析、解決二次函數圖象、性質與系數關系的問題；

④創新思維導圖，建立方法體系，形成解決二次函數圖象、性質與系數關系問題的經驗、方法和策略.

2 教學過程

2.1 憑借問題，繪制導圖，梳理要點

問題1

根據

y

=

x

，

y

=2

x

，

y

=-2

x

，

y

=2

x

-3，

y

=2(

x

+4)，

y

=2(

x

+4)-3，

y

= -2(

x

+4)-3的圖象，從開口方向、頂點坐標、對稱軸、最值等方面試比較它們之間的異同點.追問：

y

=

a

(

x

+

h

)+

k

是什么式？二次函數還有哪些形式？

圖1

教學意圖

問題1教學時引導學生畫思維導圖(圖1、圖2)，動態呈現知識要點，準確表示二次函數相關性質.

圖2

問題1有助于學生加深對“

a

定形定”的理解，通過改變

y

=

a

(

x

+

h

)+

k

中的

h

與

k

值實現圖象平移，總結為“上加下減、左加右減”.通過追問幫助學生梳理一般式、頂點式、交點式之間的聯系，發現三者“各有千秋、殊途同歸”(圖3).

圖3

2.2 典型例析，編撰導圖，感悟思想

問題2

將拋物線

y

=

x

-6

x

+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的拋物線解析式是什么？變式：若將拋物線

y

=(

x

-3)-4沿直線

y

=2

x

-10方向進行平移，且新拋物線經過點(0,-10)，求新拋物線的解析式.

教學意圖

問題2是問題1基礎上的知識應用.變式中，只需設平移后的函數解析式為

y

=(

x

+

h

)+

k

，平移前頂點(3,-4)在直線

y

=2

x

-10上，所以平移后的頂點坐標(-

h

,

k

)也在該直線上，易得方程組解方程即可.以上過程蘊含“設未知數-構建方程模型-解決問題”的數學建模思想(圖4).

圖4

問題3

拋物線

y

=

x

+

bx

+

c

與

x

軸只有一個交點，與

x

軸平行的直線

l

交拋物線于點

A

，

B

，交

y

軸于點

M

，若

AB

=4,試求

OM

的長.追問：什么時候拋物線與

x

軸有一個交點、兩個交點、沒有交點呢？這其中有什么規律嗎？

教學意圖

由關鍵條件“與

x

軸只有一個交點”得該交點即拋物線頂點，將

y

=

x

+

bx

+

c

左右平移得

y

=

x

，平移不改變線段

AB

與

OM

的長度，易得

OM

=4.以上過程體現數形結合、化歸思想(圖5).

圖5

問題3以問題2為基礎，通過對條件、結論以及表達形式等方面的形式演變，不斷擴大問題的應用范圍，翻新問題的應用形式，加深了對知識的內在本質、應用規律和解決方法的理解.在追問環節，有學生提出可通過開口方向、頂點位置直觀判斷拋物線與

x

軸交點個數，這與利用

Δ

=

b

-4

ac

的正負性進行判斷是有區別的.學生作為獨立的、有思想的個體，對課堂學習內容可以有他自己獨特的看法，我們的數學課堂應包容、鼓勵.

問題4

已知二次函數

y

=

ax

+

bx

+

c

的圖象經過點(-3，0)，(1，0)，(0，-3)，請問

y

=(

a

-

b

)

x

+

c

的圖象經過哪些象限？你能否不求函數解析式就回答這個問題？追問：

a

，

b

，

c

三個常數與圖象之間的關系是什么？

教學意圖

問題4引導學生繪制函數圖象確定

a

，

b

，

c

的正負性，梳理了這三個常數與圖象之間的關系(圖6).

圖6

問題4蘊含數形結合等數學思想，在把控好課堂節奏的前提下，應鼓勵學生打開思維，通過交流探究自然生成新知識，培養理性思考、演繹推理的數學精神.

2.3 拓展延伸，活用導圖，提高能力

問題5

已知拋物線解析式為

y

=-4

x

，當1<

x

<2時，求

y

的取值范圍.變式：已知拋物線解析式為

y

=(

x

-

m

)+2

m

，若圖象經過第一、二、三、四象限，求

m

的取值范圍.

教學意圖

問題5只需畫出函數的大致圖象即可解決(圖7).

圖7

變式中，

y

=(

x

-

m

)+2

m

的頂點坐標是(

m

，2

m

)，該點是直線

y

=2

x

上的動點，只需研究“當拋物線經過原點”的臨界狀態，此時

m

=0或

m

=-2.結合圖象，當

m

<-2時、

m

=-2或0時、

m

>0時，均不符合要求；而當-2<

m

<0時，拋物線經過四個象限，符合要求.

2.4 課堂小結，創新導圖，系統構建

本節課的課堂小結，先是各學習小組在組內討論匯總，再以小組為單位進行成果展示，其余小組評價補充.在評價過程中生生互動、師生互動，讓數學課堂成為思想碰撞的課堂.這節課從問題1到問題5，從特殊到一般，再從一般到特殊，類比尋找到問題解決的根本方法.思維轉瞬即逝，圖象卻可以存留彌久，因此，圖象的表達性是定格思維的“魔法”，是思維得以持久發展的支柱.這節課在系統思維和整體觀念的引領下，生成性繪制思維導圖，構建解決二次函數圖象、性質與系數關系問題的方法框架.

3 設計反思

3.1 問題串聯，導圖助力建構體系

本節課通過五個問題串聯，完成了“從1到

a

、復習舊知”“平移變換、

a

定形定”“觀察圖象、理解系數”“數形結合、留意頂點”“參數函數、能力提升”五個教學任務，幫助學生深度理解、高度參與、激發思維.根據實際情況，一節課可以繪制多張微型思維導圖，幫助學生梳理解題思路，整合知識結構，取得了很好的課堂效果.

3.2 問題解決，導圖助力感悟思想

復習課的設計要全面系統幫助學生構建知識網絡，這節課通過繪制小而精致的微型思維導圖，讓學生能夠參與、樂于參與，把知識、方法進行整合“聚焦”，引導學生透過數學問題感悟數學思想.

3.3 問題提煉，導圖助力形成素養

初高中的數學思想是一脈相承的，通過典型例析幫助學生體會函數與方程思想、數形結合等思想，能夠為學生將來高中學習函數內容埋下伏筆.當然，數學思想不是簡單的灌輸，要充分體現以生為本的原則，鼓勵學生敢嘗試、敢質疑、敢出錯，暢所欲言.在交流中，多角度解決問題，實現數學知識、方法的鞏固.在繪制微型思維導圖過程中，形成思考的能力，最終我們要使學生獲得良好的數學素養，深植必需的數學思想，樹立強大的數學精神.