基于對數應變考慮滲流影響的軟弱圍巖圓形隧洞彈塑性解

于旭光

(唐山工業職業技術學院，河北 唐山 063299)

0 引言

隨著南水北調工程的建設和運營，出現了大量深埋水工圓形隧洞。深埋水工圓形隧洞在開挖過程中會出現圍巖卸荷、應力重分布，進而圍巖會出現一定的塑性區。同時，由于深埋水工圓形隧洞在運行期存在一定的內水壓力，當內水壓力過大時，圍巖主應力順序將發生改變，進而會重新產生塑性區，著名的Fenner公式[1]和Kastner公式[2]將不再適用。針對上述問題，大量學者對此進行了研究。李宗利等[3]采用理想彈塑性模型并基于Mohr-Coulomb準則推導了考慮滲流場影響的深埋圓形隧洞彈塑性解；劉成學等[4]采用理想彈塑性模型并基于Mohr-Coulomb準則以及考慮應力重分布推導了滲流場下深埋圓形隧洞彈塑性解；王睢等[5]采用理想彈塑性模型并基于DP準則推導了考慮滲流場影響下的深埋圓形隧洞彈塑性解；張常光等[6]采用彈脆塑性模型并基于統一強度理論推導了考慮滲流場影響下的深埋圓形隧洞彈塑性解；張黎明等[7]采用應變非線性軟化模型推導了考慮滲流場影響下的深埋圓形隧洞彈塑性解。

從文獻[3-7]來看，其研究成果都是基于小應變假設，未采用大變形理論分析方法。當(p0-pi)>2G(p0、pi、G分別為初始地應力、支護力、剪切模量)時，根據小應變假設求解的彈性位移可能大于開挖半徑，因此，上述研究成果求得的位移僅適用于硬巖工程，對軟巖工程不適用。由于在大變形理論中，對數應變(即真實應變)能真實反映變形的積累過程,故在固體力學中應用廣泛[8-11]。為此，國內外學者展開了大量研究。蔣斌松等[12]基于對數應變推導了圓形巷道圍巖的彈性解，但未考慮滲流影響和圍巖處于彈塑性狀態時的彈塑性解；Papanastasiou等[13]基于Mohr-Coulomb準則和DP準則推導了理想彈塑性模型的圓形巷道擴張和收縮的大變形彈塑性解；Park[14]采用彈性區小應變假設，推導了基于Mohr-Coulomb準則的理想彈塑性模型球形或圓形巖土體的大應變相似解；Guan等[15]在圍巖彈性區基于小應變假設、塑性區采用對數應變推導了基于Mohr-Coulomb準則的應變軟化模型圓形隧道的大應變數值解；Zhang等[16]在圍巖彈性區、塑性區均采用對數應變推導了基于Mohr-Coulomb準則、Hoek-Brown準則的應變軟化模型圓形隧道的大應變數值解。

可以看出，文獻[12-16]推導了軟弱圍巖的彈性解或彈塑性解，仍有3點不足之處：1)除了文獻[13]，其他文獻均采用未考慮中間主應力的Mohr-Coulomb準則或Hoek-Brown準則而使計算結果偏于保守；2)均是考慮施工期(徑向應力為第一主應力)時的解，而未求解深埋水工圓形隧洞在運行期由于內水壓力過大，切向應力為第一主應力時的解，也未求解隧洞運行一段時期后放水檢修時檢修期的解；3)未考慮深埋、富水環境下滲流場對軟弱圍巖圓形隧洞的影響。

綜上所述，本文首先采用能考慮中間主應力和最小主剪應力影響的三剪應力統一強度理論[17-18]，基于拉格朗日坐標下的對數應變推導施工期、運行期和檢修期3種工況下理想彈塑性模型軟弱圍巖的彈塑性解；然后，通過實例驗證本文求解方法的正確性；最后，分析彈性模量、泊松比、孔隙水壓力和強度準則4個參數對塑性區厚度和洞壁處徑向位移的影響。

1 三剪應力統一強度理論

三剪應力統一強度理論是高江平等[17-18]根據菱形十二面單元體所有應力分量所建立的，于旭光等[19-20]經過推導得到平面應變狀態下的表達式為：

(1)

式中：σ1為第一主應力；σ3為第三主應力；φ0為內摩擦角；c0為黏聚力；b為中間主剪應力τ12及其作用面上正應力σ12綜合影響的作用系數，0≤b≤1；c為最小主剪應力τ23及其作用面上正應力σ23綜合影響的作用系數，0≤c≤1。

需特別指出：當b=0、c=0時，三剪應力統一強度理論對應為Mohr-Coulomb準則；當b=1、c=0時，對應為雙剪應力準則；當b=1、c=1時，對應為三剪應力準則；當b、c分別取0～1的其他值時，可得到一系列新的強度準則。

2 滲流場求解

(a)施工期

施工期的軸對稱恒定滲流連續微分方程為：

(2)

將邊界條件H|r=ri=hi，H|r=r0=h0代入式(2)可得到任意r處水頭

(3)

式中：hi為r=ri處水頭；h0為r=r0處水頭；β=r0/ri。

3 圓形隧洞圍巖彈塑性解

3.1 基本方程

平衡微分方程為：

(4)

式中：ξ為巖石等效孔隙水壓力系數；γw為水的重度；σr和σθ分別為徑向和切向有效應力，以壓應力為正，拉應力為負(本文中所有應力均為有效應力)。

徑向位移u(施工期)、u*(運行期)和應變(徑向應變εr，切向應變εθ)之間的關系可以用對數函數的形式表示如下[16,21]。

1)對于施工期或檢修期

(5)

(6)

2)對于運行期

(7)

(8)

特別說明：式(7)—(8)與式(5)—(6)不同，是因為本文假定指向洞內位移為正，指向圍巖位移為負，因此有正負號之分。

忽略隧洞圍巖開挖前初始地應力p0所引起的變形，各向同性材料的平面應變本構方程有如下2種表述方式[22]。

對于應變-應力公式(Hooke)：

(9)

(10)

式(9)—(10)中：E為彈性模量；ν為泊松比。

對于應力-應變公式(Lame)：

σr-p0=2Gεr+λ(εr+εθ)；

(11)

σθ-p0=2Gεθ+λ(εr+εθ)。

(12)

3.2 施工期圍巖彈塑性解

在施工期，隧洞圍巖由于開挖卸載而出現一定范圍的塑性區，此時切向應力σθ、徑向應力σr、軸向應力σz均為壓應力，徑向應力σr為第一主應力，有-σr>-σθ，即|σr|<|σθ|，因此式(1)變為：

σθ=Aσr+B。

(13)

因此，施工期求解的是第一主應力為徑向應力時的隧洞圍巖彈塑性解。

3.2.1 彈性區應力和位移

施工期圍巖彈性區應力和位移可仿照文獻[16,21]的求解方法。將式(5)—(6)代入式(11)—(12),同時聯立式(4)，得到：

(14)

由于

(15)

(16)

將式(5)—(6)代入式(11)，并將式(11)兩端進行求導得到：

(17)

將式(15)—(16)代入式(17)得到：

(18)

將式(18)代入式(14)得到：

(19)

式中：

聯立式(14)和式(19)，得到：

dσr=f(X)dX。

(20)

對于計算區域r=r0內的圓形隧洞，徑向位移隨半徑的增大逐漸減小，且在r=r0(可看成無限遠)處不發生位移。因此，當r=r0時，X=1。并且根據X表達式，可以看出X取值區間為(0,1]。根據f(X)表達式，由洛必達法則可求得f(1)的值為：

(21)

對式(20)進行積分，并以r=r0，σr=p0為邊界條件，可得到彈性區徑向應力表達式為：

(22)

將式(11)減去式(12)，聯立式(5)—(6)，可得到彈性區切向應力表達式為：

σθ=σr-2GlnX。

(23)

在彈塑性交界面處，將式(22)—(23)代入式(13)，可得到關于與施工期圍巖塑性區半徑rp相對應的Xrp的函數表達式為：

(24)

將式(19)進行積分，可以確定彈性區任意位置r處的表達式為：

(25)

將式(5)減去式(6)，得到：

εr=εθ+lnX。

(26)

將式(26)代入式(11)，并聯立式(6)，得到彈性區徑向位移u的表達式：

(27)

3.2.2 塑性區應力和位移

在圍巖塑性區，將式(13)代入式(4)，并結合邊界條件r=ri，σr=pi，得到塑性區徑向和切向應力表達式為：

(28)

(29)

在圍巖塑性區，其體積具有明顯剪脹特性，即塑性體積應變不等于0，根據線性非關聯流動法則，有

(30)

式中：χ為剪脹特性參數，χ=(1+sinψ)/(1-sinψ)，ψ為剪脹角。

由式(30)可得

(31)

將式(5)—(6)代入式(31)，可得

(32)

式(32)也可改寫成如下表達式：

(33)

首先將式(28)和(29)分別代入式(9)—(10)，然后代入式(33)，最后積分式(33)并以彈塑性交界面r=rp處的徑向位移urp為邊界條件，整理得到塑性區徑向位移u的表達式為：

(34)

式中：

為了方便計算，將式(34)中指數函數展開成冪級數，其表達式為：

(35)

將式(35)代入式(34)，即可得到塑性區徑向位移u的表達式為：

(36)

在彈塑性交界面r=rp處，徑向應力相等(即式(22)與式(28)相等)，可得到rp/ri計算表達式為：

(37)

由于洞壁處徑向位移可定義為初始位置ra與當前半徑ri之差，即

ra-ri=u|r=ri。

(38)

當r=ri時，將式(27)、式(37)、式(38)代入式(36)，得到ri計算表達式為：

{1-[T(rp)]k+D5}。

(39)

將ri值代入式(28)、式(29)、式(36)可得到施工期圍巖塑性區應力和徑向位移。

3.3 運行期圍巖彈塑性解

σr=Aσθ+B。

(40)

因此，運行期求解的是第一主應力為切向應力時的隧洞圍巖彈塑性解。

3.3.1 彈性區應力和位移

仿照3.2.1節的求解方法，運行期圍巖彈性區徑向應力和切向應力的表達式與式(22)、式(23)相同。但需注意：式(22)和式(23)中的X采用X*來代替。

(41)

3.3.2 塑性區應力和位移

(42)

(43)

根據線性非關聯流動法則，有

(44)

由式(44)可得

(45)

將式(7)—(8)代入式(45)，可得

(46)

(47)

(48)

式中：

同樣，將式(48)中指數函數展開成冪級數，其表達式為：

(49)

將式(49)代入式(48)，即可得到塑性區徑向位移u*的表達式為：

(50)

(51)

(52)

(53)

3.4 檢修期圍巖彈塑性解

由于運行期圍巖出現塑性變形，應力和應變關系呈現非線性，疊加原理不再適用，為求解隧洞圍巖因正常檢修放空之后的應力和位移，可采用有限環變位協調法進行求解[23]。

(54)

(55)

式中：Ec、νc、rc分別為襯砌的彈性模量、泊松比、內半徑；Δpc、Δph、Δpi分別為襯砌的內半徑處內水壓力變化量、外半徑表面力的變化量、圍巖與襯砌相互作用力變化量。

(56)

4 實例驗證

為了驗證本文方法的正確性，選取文獻[16]中的軟弱圍巖，具體參數如下：初始開挖半徑ra=1 m，初始地應力p0=1 MPa，彈性模量E=26 MPa，泊松比ν=0.3，黏聚力c0=0.233 MPa，內摩擦角φ0=40°，剪脹角ψ=20°。除以上工程參數外，另附加β=50，ξ=1，h0-hi=0 m，b=0，c=0。采用MATLAB自編程序(程序中將區間[0,1]分為105等分，在每個子區間利用辛普森公式計算以保證計算精度)進行計算，并與文獻[16]計算結果進行對比。當內壓力pi取不同值時，圖2給出了塑性區厚度Qp與pi/p0關系曲線以及pi/p0與ua/ra關系曲線。其中：Qp=rp-ri，pi/p0為施工期內壓力與初始地應力的比值，ua/ra為施工期洞壁處徑向位移與初始開挖半徑比值。經過與文獻[16]的計算結果吻合，驗證了本文方法正確性。

(a)Qp與pi/p0關系曲線

5 參數分析

從第3節推導中可以看出，本文解與小應變解不同，彈塑性交界面處的應力不僅依賴于強度準則，還依賴于彈性模量和泊松比，進而將影響軟弱圍巖塑性區徑向位移和半徑。由于檢修期圍巖應力狀態與施工期類似，應力、位移和塑性區半徑變化規律也類似。下面僅取彈性模量、泊松比、孔隙水壓力和強度準則4個參數對施工期和運行期2種工況下塑性區厚度和洞壁處徑向位移進行分析。在本節分析中，除另附加β*=30外，未特殊說明時其他參數與第4節相同。

5.1 彈性模量的影響

(a)施工期

(a)施工期

從圖4可以看出：在施工期圍巖塑性區厚度隨彈性模量的增大呈現先增大后逐漸趨于一個穩定值(即小應變解0.148 3 m)的趨勢，并且當E≥80p0時本文解和小應變解近似相等；而運行期圍巖塑性區厚度隨彈性模量的增大呈現逐漸減小后逐漸趨于一個穩定值(即小應變解0.110 2 m)的趨勢，并且當E≥200p0時本文解和小應變解近似相等。因此，對于彈性模量較小的軟巖來說，在施工期時采用本文解求解的塑性區半徑比小應變解求解的塑性區半徑小，可在初期支護時減小錨桿的長度；而在運行期時求解的塑性區半徑大，可采取增加襯砌剛度方法。

(a)施工期

從圖5可以看出：在施工期和運行期2種工況下，洞壁處徑向位移隨彈性模量的增大逐漸減小；并且當E≥50p0時，2種工況下本文解和小應變解得到的洞壁處徑向位移幾乎相等。

5.2 泊松比的影響

圖6 施工期Qp、ua/ra與υ關系曲線

圖7 運行期與υ關系曲線

從圖6和圖7可以看出：塑性區厚度隨泊松比增大幾乎無變化，其值大約為0.143 m(施工期)、0.119 4 m(運行期)；洞壁處徑向位移隨泊松比增大呈線性增大，泊松比從0.1增大到0.4時，洞壁處徑向位移分別增大了18.63%(施工期)、28.00%(運行期)。

5.3 孔隙水壓力的影響

圖8 施工期塑性區厚度Qp與pi/p0的關系曲線

從圖8和圖9可以看出：1)在施工期圍巖塑性區厚度隨孔隙水壓力(h0-hi=0、100、200 m)的增大而增大，孔隙水壓力對塑性區的發展起增強作用；而在運行期圍巖塑性區厚度隨孔隙水壓力的增大而減小，孔隙水壓力對塑性區的發展起抑制作用。2)塑性區厚度隨內壓力變化分為3個階段，這與5.1節所述相同，但是施工階段由塑性轉變為彈性的臨界內壓力變化顯著，與h0-hi=0、100、200 m相對應的臨界內壓力分別為0.177、0.233、0.277 MPa；隨著內壓力增大，由彈性再次轉變為塑性并且主應力發生變化的臨界內壓力分別為1.80、2.35、2.74 MPa。

圖9 運行期塑性區厚度與關系曲線

5.4 強度準則的影響

圖10和圖11分別示出了施工期、運行期在不同強度準則下對塑性區厚度的影響。

從圖10和圖11可以看出：不同強度準則下的塑性區厚度隨內壓力的增大呈近似線性減小(施工期)、線性增大(運行期)的趨勢，且斜率近似相等。不同強度準則下對應的臨界內壓力差異很大，在施工期，當b=1、c=1時，對應的臨界內壓力比b-0、c=0時施工期減小97.18%、運行期增大19.44%。實際中應考慮強度準則效應，可以提高圍巖的承載能力。

圖11 運行期不同強度準則對塑性區厚度的影響

不同強度準則下施工期、運行期洞壁處徑向位移與內壓力的關系曲線和塑性區厚度與內壓力的關系曲線變化規律相似，在此不再贅述。

6 結論與討論

1)本文根據三剪應力統一強度理論，基于對數應變并考慮滲流影響推導了施工期、運行期和檢修期3種工況下軟弱圍巖的彈塑性解，該解可以充分考慮大變形的影響，因而本文解具有更廣泛的適用性。

2)圍巖塑性區厚度隨彈性模量的增大呈現施工期逐漸增大、運行期逐漸減小后逐漸趨于一個穩定值(即小應變解)的趨勢，洞壁處徑向位移在施工期和運行期2種工況下均隨彈性模量的增大逐漸減小；施工期和運行期圍巖塑性區厚度隨泊松比增大幾乎無變化，而洞壁處徑向位移隨泊松比增大呈線性增大；圍巖隨內壓力的增大經歷塑性、彈性、塑性3個階段，對應的塑性區厚度和洞壁處徑向位移隨孔隙水壓力的增大而增大(施工期)、減小(運行期)；不同強度準則下的塑性區厚度和洞壁處徑向位移均隨內壓力的增大呈近似線性減小(施工期)、線性增大(運行期)的趨勢，且斜率近似相等。

3)檢修期圍巖應力狀態與施工期類似，因此塑性區厚度和洞壁處徑向位移變化規律相類似。

4)本文研究的圍巖為理想彈塑性模型，未考慮圍巖流變、材料的不均勻性及不同力學模型(彈脆塑性模型、應變軟化模型)的影響，并且本文解給出的是未在襯砌外半徑處設置環向排水槽、縱向排水管的彈塑性解，這些內容將在后續做進一步研究。