基于上限分析與隨機響應面法的盾構隧道掌子面可靠度研究

陳海軍，張聚文，孫志彬，傅鶴林

(1.中鐵隧道勘察設計研究院有限公司，廣東 廣州 511458；2.合肥工業大學汽車與交通工程學院，安徽 合肥 230009；3.中南大學土木工程學院，湖南 長沙 410075)

0 引言

近年來，隨著國內地鐵修建里程的大幅增加，我國隧道工程得到了前所未有的發展，目前已成為隧道規模最大、數量最多、地質條件和結構形式最復雜的國家[1]。

傳統的盾構隧道開挖面穩定性分析一般基于確定性的分析方法，即將土體圍巖參數視為定值，通過建立合理的破壞面失穩模型求得其臨界支護力或者開挖面的安全系數。喬金麗等[2]應用FLAC3D研究了考慮滲流效應的盾構隧道開挖面穩定性。黃阜等[3]將孔隙水壓力做功作為一個外力功率引入上限定理的虛功率方程，得到了孔隙水壓力作用下盾構隧道開挖面支護力的上限解。

隧道的地質條件受礦物成分、沉積歷史、賦存環境等多種因素影響，其力學行為包含了眾多的不確定性因素，特別是巖土體自身固有的力學強度不確定性和空間變異性使得隧道穩定性分析問題更加復雜[4]。傳統的確定性分析方法只從性能指標方面對隧道穩定性進行評價，忽略了巖土參數的不確定性這一重要因素的影響，難以充分真實地評估隧道結構的工作狀態，因而可靠度理論被逐漸引入到隧道工程中。Zeng等[5]對圓形隧道進行了可靠度分析，研究了隧道分布函數、隧道直徑和支護壓力對可靠性計算結果的影響。Li等[6]分析了分層土體中開挖隧道的掌子面可靠度問題，討論了初始采樣點個數、相關系數、分布類型及變異系數對失效概率的影響。

當隧道穿越富水地層或者穿越河流下方土層時，土體將受孔隙水壓力作用，掌子面的穩定性與可靠度將大幅降低。康志軍等[7]通過FLAC軟件建立數值模型，研究了水位高度、滲流時間等因素對開挖面穩定性的影響。馮利坡等[8]結合水土壓力統一計算理論，推導了二維對數螺旋破壞模式下的盾構隧道極限支護力，并將其拓展至多層土的情況中。現有文獻對地下水作用下盾構隧道開挖面可靠度方面的研究較少，無法為實際工程的可靠度分析提供理論支持。

本文基于極限分析原理以及隨機響應面理論，提出了考慮孔隙水壓力作用下隧道開挖面的可靠度分析方法。采用基于空間離散技術的隧道開挖面破壞機構，提出了考慮孔隙水壓力作用下的開挖面安全系數Fs上限解的求解流程。并考慮巖土參數黏聚力c以及內摩擦角φ的隨機性，基于極限分析模型試驗結果及拉丁超立方抽樣方法，得到Hermite多項式，展開近似的隧道掌子面失穩功能函數的表達式。采用響應面法模擬量化研究了支護力、地下水位以及隨機變量的變異性對隧道掌子面可靠度的影響，并通過工程實例研究了隧道掌子面可靠度的變化規律。

1 基于上限分析的確定性分析方法

確定隧道開挖面的穩定性一直是隧道施工的重點，極限分析上限法因其原理簡單明確，計算過程方便，在隧道穩定性分析中常作為確定性分析方法被使用。極限分析從塑性力學的基本原理出發，通過構建機動速度場來研究開挖面的穩定性問題，利用上限分析求解結構的極限荷載，但結構在極限狀態下發生破壞，一般選取最接近真實值的最小上限解作為極限荷載。

Davis等[9]首先提出將極限分析上限法應用于無黏性土隧道開挖面破壞機制與極限支護力大小的研究。Subrin等[10]假定掌子面破壞區域為對數螺線曲面，并利用上限法對維持掌子面穩定的最小支護力進行研究。國內學者呂璽琳等[11]通過與村山氏極限平衡法對比驗證了極限分析法在求解極限支護壓力的優越性。黃阜等[3]考慮地下水滲流的情況，基于空間離散技術建立了隧道開挖面上限破壞機制，并對掌子面開挖過程中安全系數上限解進行求解。由于利用離散技術構建的開挖面破壞機制與模型試驗得到的開挖面破壞模式十分吻合，在學術界得到廣泛的認可，故本文采用黃阜等[3]提出的上限機構作為本文可靠性分析的確定性模型。

1.1 孔隙水壓力作用下的上限定理

Viratjandr等[12]將孔隙水壓力視為一個外力作用在土體顆粒上，則孔隙水壓力做的功等于孔隙水壓力使土體顆粒膨脹做的功和孔隙水壓力在速度場邊界上做的功之和。孔隙水壓力作用下的極限分析上限定理可以用下式表示：

(1)

u=ruγz。

(2)

式中：γ為土體重度；z為地表到計算點的垂直距離；ru為孔隙水壓力系數，可以采用三軸試驗測得其數值[13]。

1.2 基于空間離散技術的隧道開挖面破壞機制

基于Mollon等[14]提出的離散思想，本文采用黃阜等[15]構建的適用于孔隙水壓力作用下的盾構隧道開挖面二維破壞機制作為確定性分析模型。假設剛性塌落體ABE繞旋轉中心O以角速度ω旋轉，其他參數的物理意義如圖1所示。

AB為隧道的開挖面；O′為AB中點；D為隧道直徑；C為上覆土層的厚度；Hw為地下水位線；速度間斷面AE、BE分別交隧道掌子面于A、B點。

開挖面塌落體ABE由速度間斷面AE和BE構成，現以速度間斷面BE為例來說明整個塌落體ABE的生成過程。令Bi為BE上任意一點，直線j為旋轉中心O與Bi點的徑向連線，并記j與起始方向的夾角為θi，如圖2所示。假設OBi繞旋轉中心轉動1個角度δθ后得到另一條徑向直線j+1。根據相關流動法則，速度間斷面上每一點的速度矢量vi與速度間斷面的夾角等于摩擦角φ。故只要將點Bi處的速度方向偏轉1個角度φ，并延長至與徑向直線j+1相交，其交點即為下一個離散點Bi+1，按照此方法不斷循環就可以得到速度間斷面BE。采取同樣的方法從A點開始則可以生成速度間斷面AE，當上下兩間斷面相交于點E時，整個塌落體ABE生成完成。

圖2 基于空間離散技術的開挖面破壞機制

在本文所考慮情況中假設機構不露出地表，故E點縱坐標YE應位于地表之下，即

YE

(3)

同時旋轉中心O應位于隧道上方，故O點縱坐標Yo應位于隧道上方，即

Yo>D。

(4)

1.3 孔隙水壓力作用下破壞機制的能耗計算

由于機構的離散性，在計算重力功率時，整個機構的重力功率可由每個單元重力功率之和得到。在計算過程中，整個塌落體的重力功率計算可分為2部分進行，最后相加得到，計算示意圖如圖3所示。

(a)

如圖3(a)所示，每一個單元為三角形，先分別計算每個單元三角形ABiBi+1的重力功率，然后累加就得到Ⅰ部分的重力功率為

(5)

式中：γ為土體重度；Si為三角形ABiBi+1的面積；RGi為旋轉中心O到三角形重心Gi的距離；θGi為OGi與初始方向的夾角。

如圖3(b)所示Ⅱ部分的重力功率采用疊加法得到，即單元AiBiBi+1Ai+1的重力功率由單元OBiBi+1與單元OAiAi+1的重力功率之差表示：

(6)

式中：SAi、SBi分別為三角形OAiAi+1、OBiBi+1的面積；RAi、RBi分別為O到三角形OAiAi+1、OBiBi+1重心的距離；θGAi、θGBi分別為直線OGAi、直線OGBi與初始方向的夾角。

故整個破壞機構的重力功率

Wγ=W1+W2。

(7)

支護力σ作用在開挖面上，將其視作均布荷載，其功率可由下式計算：

(8)

式中：rB為旋轉中心O到掌子面下邊界B點的距離；θA與θB分別為直線OA、OB與初始方向的夾角，其他符號意義同上。

由于假設塌落體為剛體，內能耗散只發生在速度間斷面上，并且通過離散技術生成的速度間斷面是由若干段直線構成的，所以速度間斷面上總的內能耗散功率可以通過將每一段直線上的內能耗散功率進行疊加得到。按此方法可得速度間斷面上的內能耗散計算式為：

(9)

(10)

D=DBE+DAE。

(11)

式(9)—(11)中：c為黏聚力；φ為摩擦角；lBi、lAi分別為BiBi+1、AiAi+1的長度；RAi、RBi分別為點O到AiAi+1、BiBi+1中點的距離。

孔隙水壓力功率可由式(12)計算[12]。

(12)

式中各個參量含義與上文一致。由于假設塌落體ABE為剛體，故體應變為0，即式中的前一項為0，孔隙水壓力功率全部在速度間斷面和開挖面上產生。

安全系數Fs可以表示為

Fs=minf(θA,θB|c,φ,γ,C,D,Hw,ru)。

Fs求解需結合二分法與強度折減法進行，整個流程簡述如下：

1)給定安全系數上限值F1、下限值F2，得到折減系數

Ft=(F1+F2)/2。

(13)

2)對各土體參數進行折減

(14)

(15)

3)求解折減后重力功率Wλ、支護力功率Pf、孔隙水壓力功率Wu及內能耗散功率D。

4)以內外能耗的差值作為判別標準，當D>Wγ+Pf+Wu時，表示在變量的可行域中未找到臨界狀態下的邊坡，則將Ft賦給上限值F1，反之將Ft賦給下限值F2；循環2)—4)，直至|F1-F2|<εF，此時的隧道掌子面安全系數為

Fs=Ft。

(16)

εF為安全系數的計算精度，一般可取0.01。

2 隨機響應面法基本原理

由于隧道機構與其賦存環境的復雜性，隧道掌子面的功能函數往往具有高階非線性的特征，難以直接求得明確解析表達式，而響應面法卻可以利用較簡單的顯式功能函數對真實復雜失效面進行擬合，具有快捷準確的特點，在隧道可靠度分析領域得到越來越廣泛的應用。

隨機響應面法最早由Isukapalli提出[16]，具有正交特性且收斂性好的特點，能夠較準確地模擬整個樣本空間內結構輸出響應量的變化過程。隨機響應面法分析的第1步是將輸入隨機變量X表示為標準正態分布隨機變量U的函數，對于正態分布的隨機變量X來說，它和標準正態分布隨機變量之間的映射關系[16]如下：

X=μx+σxU。

(17)

式中μx、σx分別為X的均值與標準差。

輸入隨機變量的個數根據所求問題的需要確定，但一般為了減少計算量，通常選擇最敏感的隨機變量作為輸入隨機變量。

輸出響應量的展開形式與隨機變量分布函數相關，本文假設隨機變量(c,φ)呈正態分布，采用Hermite多項式展開來建立輸出響應量與輸入參數間的顯式函數關系。輸出響應量Y的Hermite隨機多項式展開表示如下[17]：

(18)

式中：a0,ai1,ai1i2,ai1i2i3,ai1i2i3···in均為待定系數；n為標準正態隨機變量的個數；Γn(Ui1,Ui2,Ui3,…,Uin)為n階Hermite多項式，關于Hermite隨機多項式展開及其擬合隱式函數理論可詳細參考文獻[18-19]。

本文采用3階Hermite隨機多項式展開來擬合響應面功能函數，隨機變量為c與φ，其具體表示如下：

Z(c,φ)=a1+a2c+a3φ+a4c2+a5φ2+a6c3+

a7φ3+a8cφ+a9cφ2+a10c2φ。

(19)

式中a1,a2,···，a10均為系數。

3 盾構隧道掌子面的可靠度分析方法

盾構隧道掌子面失效的功能函數定義為：

Z(c,φ)=Fs-1。

(20)

設計響應面需要進行配點，合理的配點選取是確定待定系數的關鍵，往往決定著響應面法的計算效率和計算精度。拉丁超立方抽樣是一種全空間填充且非重疊的多維分層抽樣方法，全空間填充抽樣確保了即使在沒有詳細的源函數特性的情況下，也可以得到該函數在整個設計空間的信息，非重疊抽樣則確保沒有重復和多余的數據點，因而在可靠性分析中得到廣泛的應用。

本文將極限分析原理和隨機響應面理論進行耦合，構建出考慮孔隙水壓力下隧道開挖面穩定性的可靠度分析方法。具體流程如下：

1)通過拉丁超立方抽樣方法抽取多組配點(c,φ)，并通過上限法求解對應的隧道掌子面安全系數。

2)通過Hermite多項式來擬合隧道掌子面失穩功能函數的表達式。

3)隨機抽取對應c、φ(c=10 kPa、φ=20°；COVc=0.2、COVφ=0.1)工況下的大量配點，通過功能函數求解安全系數，并與上限法結果進行比較，驗證功能函數的正確性。得到的誤差曲線如圖4所示。結果表明，圖4中所有點的誤差都在5%之內。這說明，所求失穩功能函數滿足計算精度要求，可用于可靠度分析。

圖4 功能函數與上限法結果對比

4)最后直接利用蒙特卡羅進行50 000次模擬，評估隧道的失效概率。

4 掌子面失效概率的參數分析

本節通過對隧道掌子面進行可靠度分析，對隨機變量變異性、地下水位高度及支護力大小對隧道掌子面可靠性的影響進行了研究。計算過程中確定性參數的取值如下：土體容重γ=20 kN/m3，隧道直徑D=10 m，地下水位Hw=2D，隧道埋深C=20 m，孔隙水壓力系數ru=0.2。隧道支護壓力取1.1倍極限支護力σc，根據已有文獻[20]，本文假設巖土材料參數的概率分布服從正態分布，隨機變量及分布參數如表1所示。

表1 隨機變量及分布參數

通過拉丁超立方方法抽樣抽取20組配點(c,φ)，并采用上限法求解對應的隧道掌子面安全系數，用以擬合Hermite多項式近似的臨界狀態曲面，結合蒙特卡羅法進行50 000次模擬，求得結構失效概率約為0.1%。根據可靠度分析結果繪制功能函數概率密度函數(PDF)及累計分布函數(CDF)，結果如圖5所示。由圖5 PDF曲線顯示功能函數近似服從正態分布；從CDF曲線中可知功能函數值<0的統計量約占0.001，即隧道掌子面失效概率約為0.1%。

(a)COVφ=0.1

4.1 變異系數對可靠度的影響

為進一步分析隨機變量變異系數對隧道掌子面可靠度的影響，控制單一變量COVc與COVφ，得到失效概率與變異系數關系圖，如圖6所示。圖6(a)中COVc=0.2，COVφ=0.1；圖6(b)中COVc=0.3，COVφ=0.2。整體上看，失效概率隨變異系數的增大而增大。圖6(a)中，變異系數對失效概率的影響呈非線性特征，當變異系數較小時，隧道掌子面的失效概率增長較慢，隨著變異系數的增大，其對失效概率的影響愈發顯著，失效概率的增長速度不斷增大。

為更好地展現黏聚力變異系數的影響，取較高水平COVc與COVφ重復上述模擬，結果如圖6(b)所示。具體來說，當COVc從0.1增加至0.5時，其失效概率由2%僅增加至8%左右，但整體維持在一個較高水平；當COVφ從0.1增加至0.3時，失效概率由5×10-3增加至1×10-1左右。對比2條曲線可以發現COVφ對失效概率的影響比COVc更加敏感，且當COVφ維持在較高水平時，COVc對失效概率的影響并不顯著，而當COVc維持在較高水平時COVφ對失效概率的影響依然顯著，故內摩擦角φ的變異性的確定對獲得可靠的概率結果是尤為重要的。

同時，為豐富變異系數對失效概率影響的探討，補充1組不同c、φ取值下(c=20 kPa、φ=15°；COVc=0.3、COVφ=0.2)的對照組，具體結果如圖6(c)所示。從圖中可以看出，變異系數對失效概率的影響與前述結果相符合，但失效概率整體維持在較高水平。

(a)

4.2 地下水位對可靠度的影響

地下水位的變化會改變圍巖內部孔隙水壓力的分布，進而影響隧道掌子面的失效概率。圖7繪制了失效概率隨水位高度與洞徑比值Hw/D變化的曲線圖，可以分析地下水位對隧道開挖面可靠度的影響。

圖7 不同地下水位Hw/D對失效概率的影響

從圖中可以看出，在對數坐標上失效概率隨Hw/D增加基本呈線性增長，掌子面破壞概率受地下水位的影響顯著。當地下水位Hw/D從1.4增大到2.2時，失效概率從約3×10-3增大到0.2，增大近2個數量級，且隨水位Hw/D增大，其對失效概率的影響愈發顯著，當Hw/D從2.1僅增大到2.2時，失效概率就增大了近0.1。由此可見，地下水作用對盾構隧道掌子面穩定性的影響是不可忽視的，故在盾構隧道的設計與施工過程中，當盾構隧道需要在地下水含量豐富的地層中掘進時，應特別注意孔隙水對掌子面穩定性的影響，根據需要采取適當的加固措施以保證工程建設的順利完成。

4.3 支護力對可靠度的影響

分析支護力對隧道掌子面可靠度的影響，可以為判斷開挖面在現有支護力作用下是否能維持穩定提供有效參考。

在維持其他參數不變的情況下，繪制了失效概率與掌子面支護力的關系圖，如圖8所示。從圖中可以看出，支護力與失效概率的對數坐標近似呈線性關系，隨著支護力的增加失效概率減小，且這種減小趨勢隨著支護力的增大而有所放緩。Yang等[20]通過引入容許失效概率的概念，根據失效概率與支護力關系圖可得到盾構隧道開挖面安全的支護力范圍，不同的容許失效概率對應于不同的支護力范圍。例如：容許的失效概率取0.01時，則相對應的支護力范圍應為σ≥290 kPa。

圖8 支護力對失效概率的影響

5 工程實例分析

長沙市湘江隧道工程位于橘子洲大橋和銀盆嶺大橋之間，場區地質構造以斷裂構造為主。湘江隧道分別下穿傅家洲、橘子洲和湘江東岸3條斷層破碎帶，且距離隧道頂部極近的圓礫層又具有含水量、高透水性好的特點，致使該段隧道在施工時易出現涌水、坍塌等問題。因此，本節選取湘江隧道作為分析對象，驗證本文提出的方法在實際應用中的可行性。

5.1 隧道斷面的影響

湘江隧道構造分為南北兩線，故在南北兩線各取1個典型斷面(分別記為斷面A與B，斷面里程為SK1+355與NK0+788)進行可靠度分析，斷面示意圖如圖9所示。計算過程中確定性參數的取值如下：土體容重γ=23.9 kN/m3，隧道洞徑D=11.3 m，埋深分別為CA=13.4 m、CB=9.2 m，地下水位取高水位HwA=31.9 m，HwB=28.8 m，孔隙水壓力系數ru=0.2。按極限分析法得到的2個斷面的極限支護力約為193 kPa與175 kPa，為確保工程安全，在分析過程中斷面A、B上的支護力取1.1倍的極限分析值。其余隨機變量及分布參數如表2所示。

(a)

表2 隨機變量及分布參數

圖10示出了湘江隧道A、B斷面的功能函數的概率密度曲線與累計分布曲線。從圖中可以看出功能函數都近似服從正態分布，2個斷面的PDF與CDF曲線具有極好的一致性，且失效概率均不到1%，具有較高的可靠度。

(a)概率密度曲線

5.2 地下水位高度及支護力的影響

對地下水位高度及支護力對掌子面可靠度的影響進行探討，繪制了失效概率隨單一參數變化的曲線圖，如圖11和圖12所示。從圖11中可以看出隨Hw的增大隧道掌子面失效概率增大，且隨水位Hw的升高，其對失效概率的影響越來越大，尤其在水位較高時，水位Hw的較低增幅都會導致失效概率的激增，說明地下水作用對盾構隧道開挖面的穩定性影響是比較顯著的。同時，對比A、B斷面的影響曲線可以發現，水位相同時斷面A的失效概率遠小于斷面B，失效概率相差超1個數量級，在實際開挖過程中對開挖面的穩定性需充分研究，不可一概而論。

圖11 湘江隧道地下水位對失效概率的影響

圖12反映失效概率與支護力在對數坐標上近似呈線性關系，隨著支護力的提高，失效概率有明顯的下降，支護力在增加20%左右時，掌子面失效概率減小100倍左右，且在支護力取值大于215 kPa(斷面A)與195 kPa(斷面B)時掌子面的失效概率就可降至10-3以下。本文僅考慮坍塌破壞情況支護力取值不可過大(否則會導致隆起破壞)，實際工程中可以通過適當提高支護力降低結構失效概率。

圖12 湘江隧道支護力對失效概率的影響

從上述分析結果可知，采用本文方法計算所得地下水位與支護力對失效概率的影響與湘江隧道掌子面穩定性變化趨勢較為吻合。此外，功能函數計算得到的失效概率不到1%，說明在湘江隧道施工過程中有效維持了開挖面的穩定性，而實際工程中隧道的順利完工也印證了這一結論。由此可見，本文計算得到的隧道開挖面失效概率是可靠的，可以用于實際工程中孔隙水壓力作用下隧道開挖面的穩定性分析。

為了進一步驗證本文方法的有效性，將本文結果與傳統土壓平衡盾構法方法對比，土壓平衡盾構法確定支護力公式如下：

σc=σ水平側向力+σ水平水壓力=q1γh1+q2γwh2；

(21)

h1=0.45×2s-1ω。

(22)

式(21)—(22)中：對應于湘江隧道所處Ⅴ級圍巖q1可取0.35；γ為土體重度；h1為隧道中心點的深度；對應風化巖層q2可取0.4；γw為水的容重；h2為地下水位距刀盤頂部的高度；s為圍巖級別；ω為寬度影響系數，ω=1+i(B-5)，B為坑道寬度，當B<5 m時，取i=0.2，當B>5 m時，取i=0.1。

按傳統方法計算得斷面A、B的極限支護力約為180、168 kPa，相比于極限分析結果(193、175 kPa)，二者相對誤差分別為7%與4%，都在可接受范圍內，表明本文方法是有效的。在實際施工過程中，尤其是當隧道下穿地質不良區域時，支護力不足可能導致開挖面失穩概率陡增，在工程中合理的支護力評估與選取是必要的。在湘江隧道現場施工過程就采用了本文方法確定支護力，并取得了良好效果。此外，相比于傳統的確定性分析，本文采用的概率方法能更合理地描述巖土工程中存在的固有不確定性及模糊性的影響，在實際隧道施工中更具指導意義。

6 結論與討論

本文采用基于空間離散技術的隧道開挖面破壞機制，考慮孔隙水壓力作用對隧道開挖面穩定的影響，在假設土體黏聚力與內摩擦角正態分布的條件下，應用基于Hermite多項式展開的隨機響應面法，提出了隧道掌子面的可靠度方法(僅考慮隧道失穩坍塌破壞)。該方法不需要進行大量的蒙特卡洛抽樣與模擬，可以準確有效地計算隧道掌子面的失效概率，在保證計算精度的同時又具有較高計算效率。主要結論如下：

1)代表土體參數隨機性的變異系數對隧道的可靠度有較大影響，隨著變異系數的增大，掌子面失效概率呈非線性增大，且可以發現COVφ對失效概率的影響比COVc更敏感。為了保證隧道工程結構安全性且獲得更為經濟合理的支護方案，建議在隧道結構設計中充分考慮土體參數的隨機性影響。

2)地下水作用對隧道開挖面可靠性影響顯著，隨著地下水位的升高，掌子面失效概率在對數坐標上呈近似線性且顯著的增長。當隧道需要在地下水含量豐富的地層中掘進時，及時進行監控量測，以防止掌子面發生涌水突泥及坍塌事故。

3)作用于掌子面上的支護力對隧道穩定性的提升有較大的增益。實例分析中掌子面支護力增加20%左右時，掌子面失效概率減小100倍左右。工程中可以通過選擇合適的支護力將失效概率控制在可接受的范圍內。

4)工程實例的分析表明，本文提出的概率方法可以有效給出實際隧道施工時的掌子面失效概率，可以更好的指導現場施工。但本文對隧道內孔隙水分布進行了簡化，為得到更加準確的可靠度結果，可以采用更加切合實際的孔隙水分布模型。