云模型雙重積分算子的層次多屬性決策方法

王鐵旦，張雨晴，彭定洪

昆明理工大學 管理與經濟學院 質量發展研究院，昆明650093

由于社會環境的復雜性和人類認知的有限性，大多數決策問題所涉及的信息往往是不確定的，很難用精確的數值來表示，李德毅在經典的模糊數學和概率統計的基礎上引入了云模型理論，云模型的突出優勢在于隸屬度的隨機性以及考慮了隨機性和模糊性之間的內在關系，其通過期望、熵和超熵三個數值特征來表示決策信息的模糊性、波動性和隨機性。因此它具有一定的客觀性，在一定程度上可以解決信息收集過程中的丟失問題。由于云模型具有的獨特優勢，其已經在多屬性決策、智能控制、數據挖掘等領域得到了廣泛應用。關于云模型的大量研究表明，云模型理論已成為解決不確定性的強大工具。此外，面對實際決策中的復雜問題，可能需要在層次結構中構造指標，通常的層次結構中較高層的指標依賴于較低層的指標，如果問題被構造成層次結構，那么在指標之間進行權衡的過程就會更加清晰。

目前解決具有層次結構決策問題的方法主要分為兩類：一類是以層次分析法、層次Choquet 積分、分層TOPSIS 法為代表的多屬性決策方法；另一類是在層次結構下運用聚合算子對各指標值進行聚合的方法。由于系統往往由許多相互關聯、相互制約的因素組成，用聚合算子集結各指標的評價值更加具有優越性，聚合算子在具有層次結構的多屬性決策問題中起著重要作用，其用于將部分子問題聚合為總體評價，運用聚合算子對模糊的評價信息進行處理，可有效避免原始信息的失真。

縱觀當前云模型聚合算子的相關研究，Liu 等提出了基于語言術語的云模型轉化方法，并構建了一系列云距離聚合運算符如云廣義加權平均距離算子（cloud generalized weighted averaging distance，CGWAD）等；Wang 等將語言變量轉換為云，然后提出了云加權算數平均算子（cloud weighted arithmetic averaging，CWAA）、云有序加權算數平均算子（cloudordered weighted arithmetic averaging，COWA）和云混合算術算子（cloud hybrid arithmetic，CHA）。以上所提出的云模型聚合算子只考慮了指標相互獨立的情況，而在實際的決策問題中，決策指標之間不可避免地存在相互作用。為了解決這項問題，在不確定環境中指標具有關聯性的前提下，許多學者開始基于模糊集理論與Choquet 積分構建了一系列聚合算子用于多屬性方案的決策。在處理指標間具有聯系性的多屬性決策問題上，Choquet 積分是一個非常有用的工具，它的優勢是不僅可以處理多指標的交互，而且還描述了復雜和非線性的相互作用。然而，在多屬性決策問題中不僅指標之間具有復雜的關系，還需衡量權重與指標值的側重關系。Sugeno 積分具有折中特點，可以做到既考慮指標權重，又考慮指標評價值，它會在集合的可靠性與集合元素分配的重要性之間進行權衡（或折中），同時也是解決多屬性決策問題中計算平均整體得分的重要匯總工具。雙重積分算法結合了Choquet積分和Sugeno 積分的優點，不僅考慮了指標之間的交互性，而且還涉及到了指標值與權重的側重關系。

綜合以上分析，在具有層次結構的不確定決策問題中，考慮到決策信息的模糊性和隨機性，以及模糊測度在解決評價指標之間具有交互現象決策問題的可靠性能，本文用云模型來表示決策值及模糊測度，且進一步構建了一種云模型雙重積分算子（cloud model twofold integral，C-TI），并基于該算子提出了具有層次結構的多屬性決策方法，最后用于解決企業社會責任的評價問題，力求最大程度地消除決策者在評價過程中的失真，提升決策結果的準確性。

1 預備知識

1.1 云模型

李德毅等在概率論和模糊理論的基礎上提出了云模型，云模型的三個數字特征可以實現定性與定量之間的轉化，其中期望代表了最能反映所要表達的定性概念的定量值，熵反映隨機性與模糊性之間的關聯度，超熵體現了樣本出現的隨機性和云滴的凝聚度。

1.2 雙重積分

Torra在2005年將Choquet積分和Sugeno積分結合定義了雙重積分，雙重積分體現了Choquet 積分處理交互問題的特點以及Sugeno 積分計算整體得分的優勢。

定義4令為一個有限集合，設為冪集映射到[0,1]的可測函數，μ和μ為上的兩個模糊測度，則關于模糊測度μ和μ上的離散雙重積分定義為：

2 云模型雙重積分算子及性質

利用云模型和雙重積分的特點，并通過上文分析得出的結論，構建一個新的聚合算子——云模型雙重積分算子。本文還給出了相應的云模型模糊測度，進一步體現出多屬性決策問題中不僅在得出指標評價值時會出現模棱兩可的情況，而且在判斷指標權重時也會由于決策者對指標的認識不同而出現不確定的狀況。下面給出具體定義。

2.1 云模型模糊測度

則稱為云模型模糊測度。若云模型模糊測度滿足：

稱()和()分別為關于集合和集合的云模型模糊測度。然后有：

（1）如果(?)=()+()，即=0，說明與相互獨立；

（2）如果(?)＞()+()，即＞0，說明與信息互補；

（3）如果(?)＜()+()，即＜0，說明與信息冗余。

設為完全未知的云模型模糊測度，其定義為：

2.2 云模型雙重積分算子

根據上述云模型與雙重積分的定義，給出云模型雙重積分算子，并進行討論。

采用數學歸納法證明：

當=1 時，根據定義8 即可得證。

當=2 時，根據云模型的運算法則，可以得到：

根據數學歸納法得出式（7）成立，因此定理1 得以證明。

由云模型的運算法則和定理1 可以得到云模型雙重積分算子的如下性質：

3 云模型雙重積分算子的層次多屬性決策方法

由于事物普遍具有隨機性和模糊性，可通過云模型將不確定的因素加以量化。此外，為了對決策對象進行整體評價，并考慮到指標之間的交互性問題，將雙重積分作為各指標的聚合算子，通過權重的合理分配，基于云模型雙重積分算子的層次多屬性決策方法能夠最大化反映評價中的不確定性，更加貼近現實生活，確保評價結果的真實可靠。

構建云模型決策矩陣。將屬性值進行云變換：

式 中，=1,2,…,，=1,2,…,，=1,2,…,l，=1,2,…,。

本文通過個決策者各指標決策值的平均數來表示期望，可以直觀地看出各方案指標值的高低水平，平均離差和方差分別表示熵和超熵，其中熵和超熵都能體現整體決策數據的離散程度，即反映出專家評分的隨機性和波動性。平均離差是用指標值與平均值之間的絕對距離來表示數據的離散程度，方差表示整體數據的偏離程度，因此在決策值期望相同的條件下，平均離差小的指標評價值更高。當指標決策值的期望和平均離差相同時，方差小的決策值更高。運用期望、平均離差和方差三個統計變量作為云模型的三個數字特征能夠充分反映決策值的波動程度，用來體現決策者在決策時的不確定性，通過式（17），將所有屬性的決策值轉換為云模型，可得到云模型決策矩陣：

確定指標和指標集的云模型模糊測度。本文用指標權重代替模糊測度，模糊測度的云變換與步驟1 指標值的云變換規則相同，分別將個決策者在每個指標下給定的權重值的平均數、平均離差和方差作為各屬性模糊測度的三個數字特征，最終得到云模型模糊測度矩陣：

利用云模型雙重積分算子對各方案主指標下的子指標進行集結。利用式（6）集結第個方案第個主指標下的個子指標決策值，集結結果為第個方案第個主指標的決策值。式（6）中涉及到的排序問題，將用定義2 給出的云模型比較規則進行比較，進一步得出各方案主指標的云模型決策矩陣：

比較各方案綜合決策值大小，選出最優方案。根據云模型比較規則對各方案的綜合決策值F(=1,2,…,)進行排序，并選出最優方案。

4 案例分析

為了驗證本文方法的有效性和實用性，將基于云模型雙重積分算子的層次多屬性決策方法應用到企業社會責任的評價中，具體評價步驟如下。

4.1 企業社會責任指標體系構建

企業若想獲得可持續發展的能力，不能只注重產值、利潤，還要追求人與自然的和諧、平衡，并且應為社會的發展做出貢獻。企業社會責任逐漸成為企業競爭力的重要組成部分，企業社會責任作為一種新的企業價值，要求為消費者、員工、社區和環境等利益相關者承擔責任，為可持續發展做出貢獻。當企業擁有高的社會責任時，客戶的忠誠度和滿意度會增加，這也會影響消費者對企業品牌的信任，并增加消費者購買企業產品及服務的意愿。對企業社會責任進行評價會影響消費者的購買行為，同時樹立更加友好的品牌形象，提升品牌競爭力。縱觀現有研究，齊麗云等以G3 標準和ISO26000《社會責任指南》為基礎，從責任治理等8 個社會期望主體的角度，構建了28 個指標的評價體系對企業社會責任績效進行評價模型研究；Yen 等以經濟、法律、倫理和慈善責任作為研究維度，基于16 項企業社會責任標準評價消費者的企業社會責任認知；Dimitriou通過分析不同的企業社會責任策略和計劃，以利益相關者為導向，從員工、當地社區、顧客和環境四方面，將15 個歐洲機場作為樣本，提供了機場社會責任的評估框架。綜合以上分析，為了驗證本文提出的基于云模型雙重積分算子層次多屬性決策方法的有效性，在專家咨詢、綜合閱讀及整理文獻的基礎上，從人權、公共責任、公益實踐、道德行為、環境和資源以及慈善行為的角度構建企業社會責任指標體系，見表1。

表1 企業社會責任指標體系Table 1 Index system of corporate social responsibility

4.2 評價步驟

為了全面評估云南省本地同行業中4 個企業的社會責任，邀請1 名具有資深閱歷的高管及2 名企業管理專家分別對這4 個企業的社會責任利用本文所構建的指標體系及評價方法進行評價。首先，專家組對企業社會責任指標體系中的子指標進行打分，分值在0 到1 之間，初始評價結果見表2。

同理，專家組對各企業社會責任評價體系中子指標的權重進行評估，評估結果如表3 所示。

構建云模型決策矩陣。在對企業的社會責任打分時，專家的主觀因素會影響評價結果的準確性，同時企業社會責任的指標體系具有亦此亦彼的特點，指標之間相互聯系導致指標在評價時發生沖突，云模型的三個數字特征可以綜合表示專家的評價信息。將表2 中的原始評價數據轉化為云模型，轉化結果見表4。

表2 子指標的初始評價結果Table 2 Initial evaluation results of sub-index

表3 子指標的初始權重Table 3 Initial weight of sub-index

表4 子指標的云模型評價結果Table 4 Cloud model evaluation results of sub-index

確定指標集模糊測度。由于模糊測度與指標權重的含義相同，都是代表各指標的重要性程度，本文將指標權重視為模糊測度。同理將表3 中子指標的初始權重轉換為云模型，見表5。

表5 子指標云模型模糊測度Table 5 Cloud model fuzzy measure of sub-index

集結各企業社會責任主指標對應下的子指標的權重（模糊測度），從而得到主指標的權重（模糊測度），各主指標的云模型模糊測度見表6。

表6 主指標云模型模糊測度Table 6 Cloud model fuzzy measure of main indicator

已知主指標和子指標的云模型模糊測度，可計算各指標集的云模型模糊測度。由于篇幅有限，這里以企業的主指標為例，給出主指標下子指標集的云模型模糊測度。如表7 所示，將指標值由大到小排序，然后計算出參數的值為2.42，最后得出指標集的云模型模糊測度。用同樣的方法可得到其他指標層的云模型模糊測度。

表7 指標值排序及其相應指標集的云模型模糊測度Table 7 Index value sorting and cloud model fuzzy measures of index set

確定各企業社會責任主指標的評價值。步驟2 已經得出了各企業社會責任指標集的云模型模糊測度，再利用云模型雙重積分算子集結各企業社會責任主指標下子指標的評價值，其結果為主指標的評價值，最終結果見表8。

表8 主指標云模型評價值Table 8 Cloud model evaluation results of main indicator

確定各企業社會責任的綜合評價值。按照計算主指標評價值相同的方法可計算各企業社會責任的綜合評價值，得出=(0.39,0.24,0.013 2)，=(0.46,0.33,0.139 0)，=(0.55,0.35,0.014 6)，=(0.38,0.27,0.012 3)。

根據云模型比較規則，對各企業社會責任的綜合評價值排序得＞＞＞，即企業的社會責任履行狀況最優。

4.3 結果分析

通過以上評價步驟得出的企業社會責任在整體上得分最高。通過觀察各企業社會責任指標的原始云模型評價值可以發現，企業大部分指標的得分值都位于前列，但是企業在環境與資源指標下得分較低。這不符合我國建設資源節約型和環境友好型社會的要求，因此企業需加大對環境和資源方面的關注力度，主要注意資源的合理利用、環境的有效管理以及品牌可持續發展能力的提升。企業的合規運營指標評分最高，可說明在企業的運營管理方面表現突出，但大多數指標得分仍處于較低水平，雖然在4 個企業中總得分處于第二的位置，但是仍需在其他方面做出合理改善。企業與企業的社會責任的各項指標都處于中下水平，從綜合評價的結果來看，兩個企業的評分總體差別不大，但企業的社區建設指標在全部評分中得到最低分，且社區建設指標權重較高，因此企業應高度重視當地社區的經濟建設。綜合以上分析，仍能得出的企業社會責任履行狀況為最優，更加體現出基于本文方法進行企業社會責任評價的結果的準確性。

4.4 對比分析

為了進一步驗證本文方法的有效性及優越性，把原始評價數據轉化為精確數，并且將加權算數平均作為聚合運算符分別對本文中的算例進行對比分析。

（1）取3 個專家原始評價值的平均數作為子指標的最終評價值，再將權重用平均法轉化為精確數值，然后用雙重積分進行指標間的集成。此操作去除了企業社會責任指標評價信息的模糊性和隨機性，得到最終評價值為=0.37，=0.44，=0.55，=0.42，排序得＞＞＞，企業社會責任仍為最優，但企業、企業排序發生了變化，這是因為精確的評價值忽略了專家在評價時的不確定性。例如，3 個專家給出的分數分別為（0.3,0.4,0.5）和（0.1,0.3,0.8），經計算得到兩組數據的平均數都為0.4，但明顯可以看出第二組數據的波動性更大、隨機性更強，因此得出結論：精確數會忽略評價過程中的模糊性和隨機性。通過以上分析，本文方法對處理企業社會責任評價時出現的隨機性與模糊性有一定的有效性。

（2）通過加權算數平均法集結各企業社會責任指標的云模型評價值，計算結果得=(0.36,0.100,0.005 1)，=(0.30,0.079,0.003 7)，=(0.37,0.111,0.005 3)，=(0.31,0.093,0.004 5)，最終排序為＞＞＞。除了企業社會責任依舊最優之外，其余企業的排序與本文給出的評價方法所得的排序結果有所不同，由最終的綜合評價值可以看出，4 個企業得分差距較小，相比本文方法其不能清晰地反映出各企業社會責任的履行狀況水平，主要原因是通過加權算數平均法聚合指標的前提假設是指標相互獨立，但實際的企業社會責任評價問題涉及到指標之間的相關性，以及指標評價值與指標權重的聯系。因此，本文提出的評價方法能夠考慮指標間的關聯及整體的評價效果，繼而更加貼近實際生活，評價結果也更加準確。

5 結論與展望

云模型可以應用于實際生活中的不確定問題，其能夠更好地刻畫事物的模糊性與隨機性，本文首先利用云模型代替決策信息及模糊測度，并結合云模型理論與雙重積分提出了云模型雙重積分算子，并且證明了該算子的相關性質。云模型雙重積分算子能夠對復雜環境下具有關聯性的指標值進行有效集結，并能夠考慮到決策值與權重之間的側重關系，相比現有的聚合算子其具備明顯的優越性。其次基于云模型雙重積分算子構建了層次多屬性決策方法，用于系統的決策多屬性問題。最后對云南省本地同行業中四家企業的社會責任進行評價。通過對比分析，進一步驗證了本文所構建的聚合算子及決策模型的有效性和實用性。本文的不足之處是在構造云模型雙重積分算子時，發現決策過程中的影響因素不唯一，因此最能夠體現出決策水平的期望可能存在多個值，在以后的研究中可將二維云模型或者多維云模型與雙重積分結合構建出新的算子，并應用于更多的決策領域中。