彈性碰撞與圓周率的奇妙聯系

葉志煒，黃樹清

福建師范大學物理與能源學院，福州 350117

中國古人計算圓周率是采取“割圓術”，南北朝時期的祖沖之在此基礎上將圓周率精確到小數點后的第七位，遠領先于同時期的國外圓周率的研究。而談到圓周率，我們往往想到的是數學中的求圓面積公式；談到碰撞，則往往想到的是物理中的彈性碰撞和非彈性碰撞。那么，彈性碰撞和圓周率有什么聯系呢？下面對此進行研究。

1 彈性碰撞分析

此問題并不復雜，我們首先從高中物理中一個常見的碰撞概念說起。兩個物體之間在極短時間內產生很大的相互作用力，然后速度發生了變化，這個過程就是碰撞。碰撞又可分為彈性碰撞（無機械能損失）、非彈性碰撞（部分機械能損失）和完全非彈性碰撞（機械能損失最大），本文所研究的是彈性碰撞范疇。

彈性碰撞中，最典型的一個碰撞模型如圖1所示。

圖1 典型碰撞模型

在水平地面上有兩個小球，球M的質量為m，以速度v水平向右運動，另一個球N的質量為m，以速度 v也水平向右運動，且 v＞v，兩速度在同一直線上，問兩球碰撞之后的運動狀態如何？

通常求解該問題時，我們都要利用動量守恒定律和機械能守恒定律得到兩個等式，然后再利用代數的方法進行求解，其中這兩個等式為

通過變換，我們成功地將方程簡化，由此便很容易將動量和能量所對應的圖像聯立畫出，如圖2所示。

圖2 動量和能量對應的圖像

以上推論說明，通過數學中幾何的方法可以有效解決物體的碰撞問題。

2 圓周率與碰撞的聯系

那么，圓周率是怎么跟碰撞產生聯系的呢？假設有彈性非常好且光滑的豎直固定墻和水平地面，地面上左邊放著物體M，其質量為m（質量小）；右邊放著物體N，其質量為m（質量大）。如圖3所示，初始物體N以初速度v向左運動與物體M發生碰撞，隨后物體M將會向左撞向墻面并反彈再撞物體N，如此反復碰撞直至停止，如果我們去統計物體M的碰撞次數，會發現碰撞的次數和圓周率的大小有著緊密聯系。分析可知，由于該過程還是彈性碰撞，所以依舊可以采用上文求得的幾何關系來進行深入分析。

圖3 位于光滑地面上的M、N兩物體和豎直墻面之間的碰撞

圖4 多次碰撞過程中x和y值的變化情況示意圖

繼續根據圖像可以分析得到，每碰撞一次對應著一段圓弧，而這段圓弧所對應的圓周角是θ，則可以得到碰撞N次之后，總的角度之和會比圓的圓周角小，即比圓周率的值略小，而碰撞N+1次后，會與圓周率的值相等或略大于圓周率，即

進一步化簡可得

表1 與碰撞次數的關系

3 總結

本文通過非常規的數學幾何圖像的方式，推導得到圓周率與物體彈性碰撞之間奇妙的定量關系，揭示了數學與物理之間的奇妙聯系，同時也說明了具備良好的數學素養則可以更好地體會物理之美。