一題多解，培養(yǎng)發(fā)散性思維

筅遼寧省大連開發(fā)區(qū)第九中學(xué) 戴琳琳

1 引言

發(fā)散性思維是指大腦在思維時(shí)的一種擴(kuò)散狀態(tài)，它對創(chuàng)造力的形成具有直接影響.流暢、變通與獨(dú)特是發(fā)散性思維的主要特征.解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角看待與思考問題，對學(xué)生解題能力的提升與發(fā)散性思維的形成具有顯著的促進(jìn)作用［1］.本文中，筆者以一道例題的解題教學(xué)為例，具體闡述如何在一題多解中培養(yǎng)發(fā)散性思維，為學(xué)生創(chuàng)新能力的形成奠定基礎(chǔ).

圖1

2 發(fā)現(xiàn)隱含條件，明晰解題思路

數(shù)學(xué)解題時(shí)，不僅要有扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)，還要有一雙火眼金睛，能從題設(shè)條件中挖掘出一些若明若暗的條件，這些隱含條件往往對解題具有決定性的作用.不少學(xué)生在考試中解題失敗的主要原因就是沒有能發(fā)現(xiàn)題中潛存的隱含條件，導(dǎo)致走了很多彎路，致使解題時(shí)無從下手或想得過于繁雜.本題看似簡短，但存在條件抽象、結(jié)構(gòu)靈活的特點(diǎn)，教師首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從題中的隱含條件（直角坐標(biāo)系中的直角）的角度分析問題.

解法1：取線段AB的中點(diǎn)C，并連接PC.

解此解的核心是發(fā)現(xiàn)隱含的條件∠BOA=90°，而AB的中點(diǎn)就是外接圓的圓心；由∠POA=45°這個(gè)特殊角，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的坐標(biāo)具有一定的特殊性；再從圓概念的內(nèi)涵出發(fā)，很容易就聯(lián)想到用方程解決此問題.此解題過程主要建立在對圓的概念有深刻理解的基礎(chǔ)上，用這種方法突出清晰的思路與簡便的計(jì)算過程.

3 夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，筑牢解題根基

研究發(fā)現(xiàn)，中考中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的占比非常大.在中考試卷中，一般不會(huì)有怪題或偏題等，基本以常規(guī)的科學(xué)記數(shù)法、圖形、方程等為主，只要有扎實(shí)的基礎(chǔ)與一定的思維能力，基本上不存在大的問題.解本題時(shí)，只要對求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法有一定的認(rèn)識(shí)，學(xué)生基本上都能想到利用過該點(diǎn)作輔助線的方式解題.這種看似按部就班的解題方法，卻對啟發(fā)學(xué)生的思維具有重要作用，學(xué)生在解題中不斷探索、前進(jìn)，思維獲得相應(yīng)的成長.

圖2

求點(diǎn)的坐標(biāo)最基本的方法之一是過該點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線.過點(diǎn)P作與x軸垂直的線段PD，或過點(diǎn)A作AH⊥PO，都是以這種基本解題方法為方向進(jìn)行思考的.解題時(shí)，雖涉及了75°角的三角函數(shù)值，但對解題思路與結(jié)論并不產(chǎn)生影響.這種解題方法屬于常規(guī)思維下的解題方式，符合大部分學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教師通過這種方式的引導(dǎo)，為培養(yǎng)大部分學(xué)生的發(fā)散性思維奠定了一定的基礎(chǔ).

4 形成數(shù)學(xué)思想，以不變應(yīng)萬變

教學(xué)向來都不是以會(huì)解題為最終目的，而是幫助學(xué)生獲得終身發(fā)展的能力.數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)方法、內(nèi)容或結(jié)構(gòu)等的系統(tǒng)認(rèn)識(shí).很多教師遇到過這樣的情況：學(xué)生的解題能力僅限于模仿的水平，一旦題設(shè)條件發(fā)生了變化，則無從下手.杜威認(rèn)為：“高度概括并清晰的知識(shí)，才具備遷移的條件”［2］.想讓學(xué)生形成靈活的解題與思維能力，首先要有良好的數(shù)學(xué)思想作為支撐.因此，新課標(biāo)提倡我們要通過各種教學(xué)手段幫助學(xué)生構(gòu)建新的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在探索中形成良好的數(shù)學(xué)思維.

圖3

對于以坐標(biāo)系為背景的幾何類題型，可將圖形的基本結(jié)構(gòu)作為思維的切入點(diǎn)，用一些基本圖形的性質(zhì)舉一反三，達(dá)到以一通百的效果.本題中，過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的垂線后，就出現(xiàn)了學(xué)生所熟悉的正方形.從正方形的性質(zhì)出發(fā)思考本題，問題則迎刃而解.同樣地，換個(gè)角度，通過證明△APB是一個(gè)等腰直角三角形，與以上作正方形的原理一樣，都是以不變的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)付發(fā)生變化的問題，但解題的核心思想并沒有發(fā)生改變.

5 利用數(shù)形結(jié)合，提升思維能力

利用數(shù)形結(jié)合，可將復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)量關(guān)系問題，也可將繁雜的數(shù)量關(guān)系問題簡化為直觀的幾何問題，它最大的特點(diǎn)就是將問題變得直觀、形象、通俗易懂.在初中，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用一般與坐標(biāo)系的建立、數(shù)軸、函數(shù)等密切相關(guān)，本題亦可從此角度思考，解題將變得直觀、明了.

解法4：如圖4所示，取AB的中點(diǎn)C，連接PC并延長與線段OA交于點(diǎn)H.站在函數(shù)的視角分析，點(diǎn)P為直線CP與PO的交點(diǎn)，已知直線OP的解析式為y=x.

圖4

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中是運(yùn)用得較多的一種數(shù)學(xué)思想，本題以函數(shù)圖象為思維的切入點(diǎn)，再從代數(shù)的角度分析與解決問題.復(fù)雜的問題經(jīng)轉(zhuǎn)化后變得更為直觀，容易理解.筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在運(yùn)用該思想方法時(shí)，常會(huì)因?yàn)閳D形不標(biāo)準(zhǔn)、思維定式、邏輯不清等問題導(dǎo)致解題失敗.因此，教師在用這種方法啟發(fā)學(xué)生思維時(shí)，應(yīng)充分了解學(xué)生的實(shí)際情況，要求學(xué)生嚴(yán)格按照條件準(zhǔn)確畫圖，才能把復(fù)雜的問題變得簡單化.

6 教學(xué)思考

數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)學(xué)科消耗了學(xué)生不少的時(shí)間與精力，有些學(xué)生因鮮少在數(shù)學(xué)解題中收獲成就感，而對學(xué)習(xí)漸漸失去信心.一題多解則能讓學(xué)生在發(fā)散性思維中從不同角度觀察與分析問題，多種解題方式中，總有一種方式是學(xué)生所擅長的，學(xué)生在豐富的解題方法中可感知到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，實(shí)現(xiàn)思維的步步登高，學(xué)習(xí)也不再那么單調(diào).

一題多解會(huì)讓學(xué)生不斷地挑戰(zhàn)自己的思維，體驗(yàn)非智力因素對學(xué)習(xí)的影響，并感知到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感.新課標(biāo)提出：“教師要以不同形式的教學(xué)方式與探究活動(dòng)，帶領(lǐng)學(xué)生感知與體驗(yàn)數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造過程，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí)的提升.”［3］這就要求教師充分發(fā)揮學(xué)生的自主性，讓學(xué)生在良好的情感體驗(yàn)中進(jìn)行解題訓(xùn)練，以形成良好的解題技巧與技能.

同時(shí)，一題多解還能避免枯燥的重復(fù)練習(xí)，本題的四種解題方法，從不同的角度思考與分析，分別帶給學(xué)生不一樣的學(xué)習(xí)體驗(yàn).眾所周知，“雙基”的掌握離不開一定量的實(shí)操，而一題多解完美地避免了反復(fù)演練帶來的枯燥感.

總之，一題多解與發(fā)散思維的培養(yǎng)有著密不可分的聯(lián)系.基礎(chǔ)教育階段開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科的主要目的就在于發(fā)展學(xué)生的思維，而思維的發(fā)展又依賴于學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展.因此，我們應(yīng)想方設(shè)法帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入精彩的數(shù)學(xué)世界，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)的豐富與多彩，體驗(yàn)數(shù)學(xué)獨(dú)有的魅力，從而積極、主動(dòng)地投身于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，在“多變”的數(shù)學(xué)中感知“不變”的真諦，讓每個(gè)學(xué)生都能拋棄固有的思維模式，不斷創(chuàng)新，成為自信且善于探究的新一代.