類比探究透本質，數形結合雙翼飛
——“二次函數的圖象與性質（3）”的教學設計與反思

筅江蘇省張家港市塘市初級中學 陳麗黎

1 問題提出

數學教育家波利亞曾說過：“一個認真想把數學作為他終身事業的學生必須學習論證的推理；這是他的專業，也是他那門學科的特殊標志.然而為了取得真正的成就，他還必須學習合情推理；這是他創造性工作所賴以進行的那種推理.”自新課改以來，數學教學從傳統的“知識本位”向“能力本位”過渡，合情推理逐步滲透到數學教材并成為數學“四基”的核心與重點，為學生的理性精神和科學意識的培養起到了非常重要的作用.類比是初中數學中最基本的數學思想之一，也是合情推理的主要組成部分，類比思想的應用有利于學生認識聯系、獲取聯系，是培養學生推理能力、提升數學素養的關鍵途徑之一.筆者在執教蘇科版教材九年級下冊第五章第3節“二次函數的圖象和性質”時，基于引導學生經歷操作、觀察、思考的過程，創設多個學習環節，讓學生從“數”“形”兩個視角開展類比研究，建構二次函數的圖象與性質的知識網絡.

2 教學案例分析

2.1 教學目標

（1）讓學生利用描點法正確作出函數y=ax2+k和函數y=a（x+h）2的圖象.

（2）理解并掌握二次函數y=ax2+k和y=a（x+h）2的圖象性質及它們與函數y=ax2的關系.

（3）經歷操作、探究、歸納和概括二次函數y=ax2+k和y=a（x+h）2的圖象性質及它們與函數y=ax2的關系，體會數形結合的數學思想和從特殊到一般的研究方法，培養學生觀察和分析問題、解決問題的能力.

（4）經歷操作、觀察和交流等過程，獲得問題研究的策略，體驗數學活動，從而發展數學素養的內涵.

2.2 教學回顧及意圖

2.2.1溫故知新，承前啟后

問題1二次函數y=ax2（a≠0）的圖象是什么？

設計意圖：通過回憶二次函數y=ax2（a≠0）的相關性質，幫助學生建立新知識和舊知識之間的聯系，探索二次函數問題新的研究方向.這一學習流程為類比學習奠定了基礎，也為下面學習新的二次函數的圖象與性質積累經驗.2.2.2規范作圖，合情推理，實現由“數”到“形”的跨越

設計意圖：通過描點法繪制y=x2+1，y=x2-2的圖象，以小組為單位交流分享，發現圖象的特征，產生共鳴.學生經歷畫圖過程，教師引導學生通過觀察、比較、類比討論圖象“形態”“走勢”，讓學生學會用函數的解析式解釋其圖象的特征，逐步培養學生分析、概括和思辨能力.

2.2.3創設問題，滲透思想，促進以“形”助“數”的轉化

問題3y=x2+1，y=x2-2的圖象是拋物線嗎？

在學生獨立思考、小組討論后，設置如下追問.

追問1：二次函數y=x2+1，y=x2-2的圖象位置有什么變化？

追問2：你能從表格（如表1）中每組數對和函數圖象位置變化的角度解釋一下你的發現嗎？

表1

追問3：利用類比的思想，說說二次函數y=x2+1和y=x2的圖象性質發生了怎樣的變化.

設計意圖：引導學生觀察表格中函數值的變化，結合描點過程，發現對應點的位置和拋物線的平移變化關系.三個追問不僅使學生已有的學習經驗得到深化，還能利用類比思想感受到函數圖象的變化，讓函數的性質更形象、更直觀，學生獲得研究新問題的經驗.數學課堂教學中，需要用“感性直觀”與“知性探究（精神）”結合方法，適當滲透合情推理.

2.2.4學以致用，鞏固新知

練習1：已知函數y=-3x2+5圖象的開口______，對稱軸為_____，頂點坐標為______，當x_____時，y隨x的增大而減小；當x=______時，y有最_____值，為______.

練習2：將二次函數y=-3x2+5的圖象向上平移4個單位長度后，所得圖象對應的函數表達式為_____.

設計意圖：鞏固所學二次函數y=ax2+k的圖象和性質，滲透以“形”助“數”思想，讓學生體會到學以致用的成功感.

2.2.5類比學習，無師自通

活動2：在同一直角坐標系中，分別畫出二次函數y=x2，y=（x+3）2，y=（x-2）2的圖象，你有何發現？

問題4二次函數y=（x+3）2，y=（x-2）2的圖象是拋物線嗎？

追問：這兩個圖象與y=x2的圖象存在怎樣的位置關系？

設計意圖：學生有了研究函數y=ax2+k的圖象的經驗，利用列表、描點、連線很快能解決上述問題.通過觀察圖象，從運動變化的角度，學生不難發現函數y=（x+3）2，y=（x-2）2的圖象與y=x2的圖象之間的位置關系，但如何從“數”的特征到“形”的變化的角度解釋呢？一方面，當函數值相等時，y=（x+3）2和y=x2自變量的值都相差3，從圖形上看，y=（x+3）2圖象上的對應點都在y=x2的圖象基礎上向左平移了3個單位；另一方面，教師把表格進行錯位平移，學生更加容易認清上述圖象之間的關系.通過這樣的教學，我們希望學生能豁然開朗，知識的形成水到渠成，學生也能進一步感受數形結合的數學思想.

3 教學思考

3.1 立足原有知識經驗，借助動手操作，完善學生的認知結構

新課程標準指出：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎上.”［1］這就要求我們在備課時，認真研究學生已有的知識經驗、認知水平和發展水平，適時地滲透合情推理，用發展的觀點看待學生，以學定教.在本課的教學中，學生通過溫故知新環節復習鞏固了二次函數y=ax2（a≠0）的圖象性質，在此基礎上，我們充分尊重和關注學生的認知起點，通過列表、作圖直觀感悟二次函數y=ax2+k和y=a（x+h）2的圖象性質及它們與函數y=ax2的關系，有效、合理、自然地把學生帶入“最近發展區”，促使學生在自主學習、自主探究、合作交流中提升和完善認知結構.

3.2 問題化教學串聯課堂，聚焦核心關鍵，幫助學生積累數學活動經驗

作為數學教師，僅僅“授之以漁”是不夠的，學生是課堂教學的主體，教師是課堂教學的組織者、合作者、引導者.因此，教師要不斷引導學生學會用數學眼光觀察問題，用數學思維思考問題，進一步用數學語言表達問題，用數學方法解決問題.在本節課的教學設計中，以問題串形式的教學改變了過去那種教師教、學生聽的模式，所有的教學活動都是以學生的學習需求為前提，學生主動參與，向學生滲透學習和研究一個新函數時，采用類比、從特殊到一般的方法，收集、整合信息，聚焦核心關鍵，即從“數”（函數解析式）的角度認識、理解并分析函數性質，從“形”（函數的圖象）的角度直觀感受和刻畫函數的性質，不斷積累數學活動體驗.

3.3 注重數學思想方法滲透，通過實踐活動，促使學生內化知識與技能

本節課教學中，既有教師的適時引導，又有學生的獨立思考和合作交流，學生在動手操作、動眼觀察、動腦思考的實踐活動中，感悟“函數”和“函數圖象”間的對應關系本質是“數”和“形”的對應關系，體會“數”決定“形”，“形”刻畫“數”，為后續研究二次函數y=a（x+h）2+k的圖象性質積淀了學習方法.這些經驗的積累和數學思想的感悟，無形中提高了學生的解題能力，最重要的是通過自己的思考，內化數學知識與技能得到，并且慢慢地成了學生的一種數學素養［2］.