解題教學要幫助學生“學會尋找思路”
——以李庾南老師習題講評實錄為例

筅江蘇省海安市海陵中學 楊亞平

1 引言

最近有機會觀摩學習了全國著名特級教師李庾南老師執教的一元二次方程習題課．李老師講評習題并不滿足于學生說出答案、核對解法步驟的層次，而是帶領學生全面理解題意，先從整體上看清問題，然后各個擊破，最終實現問題解決．本文中先梳理李老師對3道習題的講評過程，再與同行交流筆者的一些學習體會．

2 李庾南老師講評3道習題的課堂記錄

例1k為何值時，關于x的二次三項式x2-10x+k+5為一個完全平方式？

課堂記錄：學生很快得出答案k=20，李老師讓其中一個學生講講思路．

生1：由完全平方式的結構，我先分析出公式中的b應該是5，所以k+5=52，從而求出k=20．

生1點頭認可，李老師追問其他學生，他們也表示是這樣思考的．

師：你們還有其他思路嗎？

生2：我是用一元二次方程的根的判別式求解的．先假設二次三項式x2-10x+k+5為一個完全平方式，那么它對應的一元二次方程x2-10x+k+5=0可以寫成（x+m）2=0的形式，也就是說，這個方程有兩個相等的實數根，所以Δ=b2-4ac=0，即（-10）2-4×1×（k+5）=-4k+80=0，解得k=20.

師：很好！活學活用，能運用方程的眼光看待二次三項式ax2+bx+c（a≠0），想到這個式子為完全平方式的條件就是它所對應的一元二次方程的根的判別式b2-4ac=0．

例2當k為何值時，關于x的方程kx2-4x+4=0有實數根？

課堂記錄：有個別學生很快就做好了，李老師巡視時發現他是典型的默認本題中的方程是一元二次方程，運用根的判別式求解，出現了漏解的情形，于是李老師安排該生上臺講解他的思路．

生3：由題意可得b2-4ac=16-16k≥0，即k≤1時，原方程有兩個實數根．

師：大家同意他的解法嗎？

生4：還要考慮k≠0，因為這是一元二次方程．

師：生3，你同意嗎？（生3表示忽略了這個限制）生4，問題中有沒有明確說明這是一元二次方程？

生4：沒有，所以還要分類討論k=0的情況，也就是說，它有可能是一元一次方程．

師：那你們再全面思考一下，看要考慮哪些可能的情形．

1分鐘后，生4示意他已想清思路.

生4：已知條件中并沒有明確指出原方程是什么方程，也沒有說明有幾個實數根，因而必須分類討論.

李老師根據生4的講解，在黑板上板書示意：

接著李老師安排學生寫出解法，生4上臺板演，如下：

①當k=0時，原方程為一元一次方程-4x+4=0，有一根為x=1．

②當k≠0時，原方程為一元二次方程，當b2-4ac=16-16k≥0，即k≤1且k≠0時，原方程有兩個實數根．

李老師在學生解答的基礎上，提醒學生可以寫出結語：

綜上，當k≤1時，關于x的方程kx2-4x+4=0有實數根．

課堂記錄：經過2分鐘左右，就有學生示意求出了m=3，李老師檢查后對結果表示肯定，指導該生再思考如何更嚴謹地組織語句，又過了1分鐘后，安排該生上臺講解．

李老師在學生講解時，梳理她的思路，形成如下板書：

師：大家同意她的解法嗎？有沒有補充的？

生6：還應該考慮這個方程是否有實數解，也就是要計算一下根的判別式．我算了一下，根的判別式是m2+24，恒大于0，所以這個方程一定有兩個不相等的實數根．

李老師對生6的補充表示肯定，并將生6的意見書寫在生5的思路的上面，然后整體上用“大括號”括起來，如下板書示意：

李老師隨后提醒學生注意在運用一元二次方程根與系數的關系前，要優先考慮一元二次方程的根的判別式．

3 解題教學要幫助學生“學會尋找思路”

3.1 從讀題到審題，讓學生形成解題“整體觀”

觀摩李老師的解題教學可以看出，李老師并不是先帶領學生一起讀題、分析思路，而是讓學生先獨立解題，在學生有了思路之后，李老師會走到學生旁邊個別診評，然后根據學生的解答情況進行評價或思路點撥，如果是比較典型的“問題解法”，李老師會“捕捉”“采集”出來，讓學生到講臺上板演或講解思路，然后師生共同分析，讓學生在反復讀題、理解關鍵條件或題設信息中完善解法．從上面幾道習題的講評看，李老師在學生講解、優化、補充的同時，會梳理出解題思路，讓學生形成解題“整體觀”，而不是看見一個條件就急于演算，結果思考不全面而導致解題不嚴謹或有錯漏．這里特別值得一說的是，所謂解題“整體觀”［1］，即審題要仔細，看清所有題設信息，而不是盯住某個條件“倉促上路”；或者從結論逆向出發，接通某個題設條件就以為思路貫通、解題成功，這樣的解題常常是缺少“整體觀”的體現．從這個意義上說，李老師的習題講評過程體現出來的“整體觀”是值得我們學習的．

3.2 從聽講到對話，讓學生解題“嚴謹而簡明”

目前的初中數學課堂教學中，習題講評課占很大比例，不少日常習題講評課往往是教師講題為主，有些即使安排學生講題，也多是用學優生的嘴代替教師的講解（有些專家認為還不如教師親自講解）．我們看到專家教師李庾南老師的習題講評課就從學生單純聽講走向了生生對話、師生對話．從上文分享的3道習題的講評過程，可以看到一些高品質的師生對話，更多學生的思維都被卷入對話中．特別是，李老師在學生講評或對話的過程中，及時采集、梳理學生的思路，用體現“整體觀”的板書形象、生動地再現學生的思路歷程，幫助學生展現他們解題過程中“火熱的思考”．在師生充分對話和交流之后，學生基于對問題解決的“整體觀”，只要列出相應的關系式或方程組，然后簡明寫出各步結果，最后給出結語即可，對較難題來說，讓學生懂得“省略非必要表達步驟”是使過程表達簡明的重要技能［2］．

3.3 從糾錯到究錯，讓學生感悟“細節決定成敗”

從李老師組織的3個習題講評實錄來看，李老師善于捕捉“生成性資源”，并且那些解題速度快但有“錯漏”的學生往往容易被李老師安排先上臺展示，接著李老師并不急于進行糾正、訂正，而是以一個“促動師”的角色，組織學生討論、對話，在這個過程中，往往原來出錯的學生會發現他的錯漏就在于“某個細節”沒有注意到，這些細節都在糾錯中實現了究錯［3］．事實上，這樣的教學過程正是著名小學數學特級教師華應龍老師所倡導的“化錯教學”．

自20世紀70年代末李庾南老師提出“自學·議論·引導”教學法以來，該教學法在新授課、單元教學的相關主題研究方面都比較豐富，但是關于“自學·議論·引導”教學法在習題課教學中的實踐，還有待進一步深入研究．本研究是筆者近期有機會觀摩學習李老師在習題課中的一些精彩實錄后的有感而發，有些觀點和感悟不一定準確，更不一定正確，期待專家、同行的批評指正．