基于多元回歸模型的鈣質土固結特性優化模型＊

劉鎧誠，郭 睿，劉容川，喬洪磊

（1.武漢理工大學，湖北 武漢 430000；2.合肥工業大學，安徽 合肥 230000；3.山東大學，山東 濟南 250000）

1 背景及意義

鈣質土是長期在飽和碳酸鈣溶液中，經物理、化學作用后形成的富含碳酸鈣顆粒、天然膠結物的碳酸鹽沉積物。珊瑚礁主要由鈣質砂構成，其幾乎是中國在南海唯一的陸地國土類型。南海區域具有極其重要的軍事、航運地位，是中國重要的能源和貿易資源通道。近年來中國島礁填筑工程發展迅猛，針對珊瑚砂的研究成為學術熱點[3]。珊瑚砂具有多孔隙、形狀不規則、易破碎的特征，性質上與陸源砂土有較大差異。珊瑚礁碎石土如圖1所示。

圖1 珊瑚礁碎石土

為了在遠離大陸的南海珊瑚礁上面進行各項工程建設，同時降低成本，利用鈣質土進行基礎建設的鋪墊，然而鈣質土以其特殊的物理特性和固結特性，導致在使用時可能出現一些安全隱患，為了更加了解鈣質土的各項指標，對鈣質土的特性進行實驗仿真具有很大意義[4]。其中由于鈣質土的粒徑大小可能會影響鈣質土的使用和特性，因此對鈣質土的粒徑大小的研究，對于幫助南海海洋工程建設有著重要意義。但是鈣質土的固結特性的指標具有多樣性，而鈣質土的粒徑大小也對其各項指標有不同的影響趨勢，其中包括一些對建設和使用有參考價值的指標[5-6]。

而回歸分析是一種統計學上分析數據的方法，目的在于了解兩個或多個變量間是否相關、相關方向與強度，并建立數學模型以便觀察特定變量來預測需求變量[7]。回歸分析的基本思想是雖然自變量和因變量之間沒有嚴格的、確定性的函數關系，但可以設法找出最能代表它們之間關系的數學表達形式。在自變量很多時，其中有的因素可能對應變量的影響不是很大，而且x之間可能不完全相互獨立的，可能有種互相作用的關系。在這種情況下可用逐步回歸分析，進行x因子的篩選，這樣建立的多元回歸模型預測效果會更好。本文中由于鈣質土的固結特性包含較多方面的影響，且其具有指標多樣性的特點，通過對多項指標之間的關聯性進行判斷，采用多元非線性回歸方程作為預測模型更加符合鈣質土固結特性的多個因變量的特點[8]。

基于以上背景，本文以鈣質土固結特性的幾個重要建設指標為研究目標，對其進行分析和建模，設置相關性權值，而對變化通向統一模型，對于單一變化趨勢的目標單獨分析，建立多元非線性回歸曲線，從相關數據中得到預測的最優解，而后通過擬合曲線的特點增加其抗干擾性和準確性，最后通過對多元非線性回歸曲線的擬合效果進行數據計算得到本文設計的擬合模型的擬合準確度，保證其在對鈣質土的固結特性的粒徑最優解分析方面有更為精準的預測，為南海地區的海上工程建設提供幫助。

2 擬解決的問題

通過顆粒分析試驗將鈣質土的粒徑大小進行數據區間分組，研究粒徑級配對其性質的影響；通過相對密度試驗了解8組不同粒徑鈣質土的相對密度；通過相關性分析及計算得到鈣質土固態特性的主要影響因素；利用多元回歸方程對多因子的固態特性因素進行擬合，得到各自擬合曲線，并通過構建擬合曲面的方法得到最終的固態特性最優解。

3 項目內容

3.1 總體設計

南海淺層鈣質土沉積物主要以粗顆粒鈣質土為主，其中包含有部分珊瑚礁塊，影響鈣質土的物理力學性質，其鈣質土有顆粒形狀很不規則、高孔隙率、顆粒含有內孔隙、顆粒易破碎、高內摩擦角等特點[9]，其鈣質土粒徑放大圖如圖2所示。

圖2 鈣質土粒徑圖

鈣質土內部結構如圖3所示，由圖可知，鈣質土的顆粒之間空隙較大，而且成分較為多樣，從粒度來看其是以黏土及粉砂粒級為主，伴有中砂和礫級以上的較大顆粒的貝殼碎屑，其中的碳酸鹽溶解結晶作用導致產生了大量的碳酸物，其中部分碳酸物互相膠結，最后形成固結狀態，其固結特性達到穩定，形成復雜的骨架式剛性連結。

本文通過對鈣質土的影響因素進行分析，而后對其中影響趨勢進行統計，通過對多種影響因素的數據進行分析得到對維曲線，對其中的數據源進行結點分析，設置其中分析結點，通過資料獲取不同荷載作用下鈣質土的固結沉降量、沉降時間和固結速率特征，通過綜合數據分析總結鈣質土壓縮特性。鑒于影響因素的較多且變化較為復雜，不采用單一線性回歸的結構，采用多元結構的設計，單元分別為固結沉降率、沉降時間、固結速率數據，利用單個回歸方程結點設置為不同粒徑大小進行多項數據采集分析，從而進行信息的分散化處理，加快了數據分析的效率，實現多維度數據結構的分析與處理，得到的結果更具有綜合性。

3.2 多元回歸方程模型設計

3.2.1 算法步驟

對于鈣質土的影響因素最優解求解算法主要步驟如下：①根據數據建立回歸模型，其中的數據本文從仿真以及文獻中獲取；②對模型進行顯著性檢驗，通過得到的多因子數據，包括固結沉降率、沉降時間、固結速率數據3方面的變化數據，得到數據庫，對多元回歸方程模型進行訓練，實現數據的多維處理效果；③對模型進行回歸診斷，對模型得到的結果進行分析，實現其信息負反饋效果，保證得到的結果在期望值附近小范圍波動。

3.2.2 影響因素指標的定性剔除

本文通過數據可知，固結試驗粒徑在1 mm以上的荷載增加孔隙比下降幅度很大，其他組別則下降平緩，荷載增加孔隙變化因素屬于分類變量，會增加模型的復雜度且在數據中無法控制單一影響因素來研究鈣質土粒徑對鈣質土固結特性的影響，因此本文將荷載增加孔隙變化因素剔除，單獨研究其他影響結果的最優值。

而后通過查閱相關文獻也得出了鈣質土孔隙比和鈣質土壓縮特性在粒徑變化過程中可能出現不同的變化趨勢，因此單獨對其鈣質土的壓縮特性進行仿真實驗。而固結沉降量、沉降時間和固結速率特征3個因素對固結特性影響權值相同，并且三者之間相關性較低，無需進行單獨分析，且通過建立多元回歸方程可增強其關聯性，得出的實驗結果也更具有普遍性。各項因素的相關性表示圖如圖4所示。

圖4 各項因素的相關性表示圖

上圖為設定各自因子的權值，區域顏色越深，相關性越強，區域顏色越淺，相關性越弱，分布位置選擇每一變量與自身影響變化完全相同，當其中的因素對固結特性的影響同步時，實現共線性。后文對其設定的多元非線性回歸模型進行參數設定，對其中的權值進行采樣式擬合，擬合曲線可以根據得到的數據進行分析比對，在其中設計負反饋結構，通過類PID結構，在對得到的結果進行不斷修正的同時，也可對其中的外界影響因素進行刪減，通過擬合曲線的方法，可以大大提高整體模型的抗干擾性。

3.3 模型結構設計

多元非線性回歸模型通常用來描述變量y和x之間的隨機線性關系，即：

式（1）中：y為鈣質土的固結特性，是隨機的因變量；βk為其中的3項變量的影響權值，是回歸系數；xk為固結沉降量、沉降時間和固結速率特征，是非隨機的變量；ξ為隨機誤差項。

其用矩陣表示為：

鈣質土的粒徑得到其他因子計算：

式（4）中：V為其總體測量體積；d為鈣質土的粒徑；α、β為相關系數；D為權值。

假設鈣質土的密度為常數，可得到：

而后通過歸一化處理，可初步得到需要模擬的變量式：

上述為鈣質土的固結特性在三維數據的變化中的單一變化趨勢，通過對其中的變化進行相關性處理，可得到其多元擬合回歸模型。

通過多元回歸方程構建的模型實際上是用一個多元非線性曲面來近似地代替實際的復雜函數關系，其基本原理是當某點周圍鄰近一定數量點的實際函數值已知時，可通過某種方式建立起一個多元非線性曲面。其條件是采用的數據點在最優點附近。故本次實驗求出的最優解附近及預處理得到的區[0.025，0.075），[0.075，0.5），[0.5，1），[1，2），[2，5）組合中選擇增加5個實驗，將最優解與區間組合對比。實驗仿真結果圖如圖5所示。

圖5 實驗仿真結果圖

以本文中的3個影響因素指標為自變量，固結特性為因變量首先進行多元非線性回歸，回歸的擬合優度為0.690，效果不佳。分析其結果可能是因為回歸方程的次數過低且自變量之間存在交互影響，以下考慮對回歸方程提高次數并引入交互項來提高優度。

通過實驗得到了鈣質土的壓縮特性、固結速率、沉降時間、固結沉降率的變化趨勢，圖5中顯示了其各自的最優解，通過模型分析可得到粒徑大小的最優解，本文獲取的數據，包括固結沉降量、壓縮系數、壓縮模量，分析得到了結沉降量、固結速率、沉降時間及壓縮系數與含水率、干密度之間的相關關系。

3.4 擬合效果評估

將回歸方程的次數提高為2次，并引入交互項后的多元非線性回歸方程為：

式（7）中：ai為平方項系數；bi為交互項系數；cij為一次項系數；d為常數項。

將自變量和因變量的取值代入式（7）中，用MATLAB求解出來方程的各項系數中一次項系數矩陣A為：

交互項系數矩陣C為：

常數項d=53.5576，擬合曲線的擬合優度R2=0.9172，標準誤差RMSE=2.716 0，表明多元非線性回歸模型的擬合效果很好。考慮到繼續提高方程的次數對擬合優度的提升并不顯著且會大大增加方程的復雜度以及回歸方程求解的難度，所以不再進行回歸方程次數的提升。

4 總結

本文通過對鈣質土的固結特性因素進行數據分析，通過已有數據的各項實驗結果，通過對多項影響因子進行比較和分析，本文選取固結壓縮特性、固結沉降量、沉降時間和固結速率特征為主要因子，其中由于固結壓縮特性出現反向趨勢，對其進行單獨曲線擬合，其余3項影響因子通過多元非線性回歸曲線進行模型建立，本文對其擬合結果設定反饋結點，通過對得到的預測的最優解與實際值進行對比，可以對模型進行調整，訓練數據庫在調整的過程中也能保證最優解在準確值附近小范圍波動，本文實現了鈣質土固結特性因子的選取及分析，以及固結特性各項影響因子的變化仿真，而后通過對擬合曲線的擬合優度和誤差計算，對模型進行改進，本文創造性地選用二次多元回歸方程進行求解，保證了單一擬合元素的關聯性，由保證了單一元素的突變性變化趨勢。