基于推理能力 探求最短路徑
——以“最短路徑問題”教學為例

湖北省武漢市將軍路中學 王 瓊

湖北省武漢市吳家山第三中學 萬建光

1 引言

最短路徑問題是八年級“軸對稱”一章章末的課題學習，引導學生探究線段的不等關系，這一內容是初中數學教師的教學中濃墨重彩的一筆.關于最短路徑模型的應用、拓展及變式的研究成果非常豐富，對求最值問題中點和線的各種情況的解題策略都有詳盡歸納，學生運用這些方法解題也能得心應手.縱觀一些“最短路徑問題”的公開課，執教者從經典的將軍飲馬故事入手，讓學生經歷建模、化歸、證明、應用的學習過程，學生能夠熟練運用軸對稱解決最短路徑問題并進行遷移.課后仔細想一想，在這個過程中，執教者往往凸顯解決問題過程中的化歸思想，而忽略了學生思維中的推理成分.在對問題進行推理的過程中只重視發展學生的演繹推理能力，而忽略合情推理能力的培養.學生的作圖方法是通過模仿、操作和記憶來完成的，掩蓋了知識的發生、發展過程，限制了學生的推理能力發展.

當然，人們發現知識的曲折過程不可能讓學生在有限的一節課時間親身體驗，但教師應該在遵循學生認知規律的基礎上，精心設計教學活動，讓學生經歷知識形成的關鍵性過程.

2 教學流程

活動1：初識路徑，建立模型.

問題1：如圖1，將軍從指揮部A地出發，到一條小河l邊飲馬，然后到河對岸的軍營B地，那么到河邊什么地方飲馬可使他走的路線全程最短？

圖1

(1)建立數學模型，將實際問題轉化為數學問題“在直線l上找一點C，使AC+BC最短”；

(2)如何作圖：如圖2，連接AB交直線l于點C，點C即為所求；

圖2

(3)證明AC+BC最短：如圖2，運用“三角形的兩邊之和大于第三邊”或者“兩點之間線段最短”，這兩個結論實質是一個道理；

(4)歸納圖中點和線的位置關系，并總結方法“化折為直”.

設計意圖：通過設計這個活動，讓學生運用已有的知識經驗解決這個問題，并引導學生進行推理證明，將學生的直觀經驗給出嚴謹的邏輯證明.同時，后面的兩個問題都可以化歸為這個模型，為學生后續推理提供依據.

活動2：再識路徑，猜想證明.

問題2：如圖，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

(1)觀察：幾何畫板演示，如圖3.

圖3

①在圖中拖動直線l的位置；

②拖動直線l上的點C，計算AC+BC的值.

如圖4，觀察在點C處取最小值時，直線AC和直線BC的位置關系是什么？

圖4

(2)猜想：如圖5，兩點“移”到直線l的異側得到最短路徑.

圖5

(3)嘗試作圖.

(4)如圖6，學生證明AC+BC最短.

圖6

(5)引導學生歸納：通過軸對稱作圖，將直線同側兩條線段化為直線異側兩條線段求得最短路徑.

設計意圖：通過幾何畫板演示，拖動直線l的位置，將問題1中的情境改變為直線同側兩點，與學生原有的認知產生沖突.繼續拖動點C在直線l上的位置，演示最短路徑時的位置，通過觀察直線AC和直線BC的位置關系，讓學生認識到，軸對稱在化歸過程中起到橋梁作用.學生通過觀察、猜想后獲得解決問題的方法，最后通過邏輯證明，讓學生深切體會到軸對稱變換的作用，即將直線同側兩點中的一點映射到另一側，而不改變路徑的總長度.

活動3：深悟方法，類比遷移.

問題3：(造橋選址問題)如圖7，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直)

圖7

圖8

(1)幾何畫板演示，觀察最短路徑AM+MN+NB時線段的位置關系和大小關系？

(2)如何轉化線段的位置構成兩點之間線段最短基本模型？

設計意圖：類比問題2的探究過程，在拖動線段MN的過程中，找到最短路徑時的位置，觀察線段AM，MN和NB的位置關系和大小關系，學生很容易觀察到MN為定值，AM與BN平行，通過平移變換，將線段AM平移到線段A′N,根據平行四邊形的性質，線段MN平移到線段AA′；同理，將線段NB，平移到MB′,MN則平移到BB′.這樣，將問題3化歸為問題1的模型.雖然觀察到AM與BN平行，但在作圖過程中，應該先將定值MN平移，構造平行四邊形，完成線段轉化.這個過程中注意引導學生分清變換前后的對應點和對應線段，完成最后的證明.

活動4：全面梳理，反思推理.

(1)“兩點之間，線段最短”的依據是什么？

(2)我們如何找到軸對稱或平移的方法來轉化線段的？

(3)什么情形下用軸對稱的方法？什么情形下用平移的方法？

設計意圖：關注學生的推理活動過程，引導學生梳理解決最短路徑問題的知識準備、方法探索、方法應用及辨析過程，明確合情推理和演繹推理在推理過程中的作用.

3 教學分析

推理一般包括合情推理和演繹推理.在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論[1].國際學生評價項目(PISA2009)將推理能力分為三個水平：再現、聯系和反思[2].

3.1 建立模型，實現再現

建模的過程實質上也是一個推理的過程，模型的建立為學生的推理提供“再現”的內容.本節課中學生很容易運用已有知識和經驗“兩點之間，線段最短”解決這個問題，通過這個模型解決后續問題.但是我們更應該關注這個模型背后的數學思考.人教版初中數學教科書七年級上冊將這個結論定義為“一個基本事實”，本質上是對這個結論的合情推理，而七年級的學生缺乏相應的知識來證明這個結論.八年級的學生通過對三角形的知識學習過程，已具備一定的演繹推理能力，可以完成對這個結論的證明.這個模型的建立為學生后續的推理提供了依據，使學生推理過程中有能力對已有知識“再現”.

3.2 操作證明，辨析聯系

著名數學教育家斯滕伯格基于自身的教學實踐認為：培養推理能力的有效方式是將操作、實踐性思維與分析、概括性思維有機地結合起來[3].

合情推理強調動手操作、實驗探索等體驗性活動內容.學習過程中，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、證明等活動過程.在初中數學教學中，觀察、歸納、猜想這樣的學習方式常常被用于代數的計算法則和數式規律的探索中，幾何推理常常側重于邏輯證明.本課中，通過觀察幾何畫板演示并計算最短路徑的過程最終確定最短路徑時的位置，幫助學生積累經驗，增強感知，發展直覺；通過觀察最短路徑時線段的位置關系獲得猜想，找到轉化線段位置的方法，讓學生感悟到知識的形成過程.

在實踐操作中探索得出的結論，需要用演繹推理的方式加以證明.教師要引導學生對猜想進行證明，并用語言清晰、有條理地表達自己的想法，做到言之有理，落筆有據.

問題3的解決既是推理過程的重現，又是推理能力的提升.學生在已有解決問題2的經驗基礎上，嘗試獨立進行推理，讓他們自己把握推理過程中的種種關系，從一個數學問題的解決過程中，掌握研究一類問題的方法，正是我們需要培養的數學思維品質.同樣通過演示操作確定思路，數學表達完成證明.此時，要引導學生進行辨析，避免學生再度使用軸對稱方法而誤入歧途.因此，在教學中，要重視引導學生對比情境之間的異同及相關模型、知識、方法之間的關聯，建立更準確的“聯系”.

3.3 反思推理，形成方法

在教學中，教師應重視引導學生對推理過程和推理結果兩個方面進行反思.通過思考“我們如何找到軸對稱或平移的方法來轉化線段”，即通過觀察、猜想探索方法，然后通過證明驗證方法的正確性，由此完成對推理過程的反思.通過思考“什么情形下用軸對稱的方法？什么情形下用平移的方法？”這個問題，總結點與線的位置關系與選取方法的聯系，對推理的結果進行反思.這個“反思”的過程，需要學生對整個推理活動進行總結和提煉，這個過程本身也是一個推理活動.

同時通過反思獲得推理的一般性方法，暴露推理過程的思維活動，為后續學習過程中的推理活動提供依據.

推理能力的培養應貫穿于整個數學教學過程中.在教學中，教師要充分發揮合情推理和演繹推理在思維過程中的作用，引導學生在推理活動過程中“大膽猜想，小心求證”，既重視學生思維結果的嚴密性，又要注重思維過程的探索性，更需要學生孜孜不倦地在嘗試中自主建構，提升推理能力.