單元整體觀點下數學教學的策略與思考
——以浙教版“1.1銳角三角函數”為例

浙江省杭州市富陽區東洲中學 陸煒平 陳建國 壽云霞

1 引言

葉圣陶是著名教育家，他曾提到：教材僅僅只是授課的依據之一，要教得好，使學生受益，是要靠教師的整體把握和靈活教學.可見，教師對于教什么、怎么教要有一個整體的認識.章建躍博士也提出，基于全面實現數學育人目標的教學，必須強調數學內容的整體性、方法的普適性、思想的一致性、邏輯的連貫性、思維的系統性.數學課程標準也在“教材編寫”的建議中指出，要注重知識的“生長點”與“延伸點”來開展數學知識的教學，應注重知識的結構體系和整體脈絡來開展每堂課的教學，要處理好局部知識與整體知識的關系，讓學生感受數學的整體性.

由此可見，單元整體教學，是要求教師對知識體系與邏輯有一個整體的把握，也就是站在數學全局的“高地”上，打破學生“只見樹木，不見樹林”的狹隘思維，培育學生大單元整體意識，有利于學生核心素養的養成.

2 教學策略與思考

筆者經過多年的教學實踐，以浙教版“1.1銳角三角函數”教學為例，提出“明確單元目標，把握課時教學體系關聯；聚焦知識體系，分解設計課時教學目標；創設問題情境，動態生成數學知識本質；倡導辨析探討，建構學習框架明晰思路”四個方面的教學策略并進行實踐思考，對單元整體觀點下的數學教學頗有借鑒意義.

2.1 明確單元目標，把握課時教學體系關聯

章建躍博士認為，加強對數學整體性的認識，要明確大單元和小單元目標，從各知識的聯系性出發把握課時教學體系，聚焦關聯開展教學設計、進行課堂教學[1].汪宗興還在此基礎上提出數學整體觀分為“文化整體觀”和“學術整體觀”兩類[2].可見，數學整體教學是以知識內在邏輯聯系為起點，將數學方法、思想等置于課堂教學中心，為學生提供研究數學內容的思路，培養學生主動探索、自主構建知識的能力.因此，明確單元目標，把握課時教學體系關聯顯得尤為重要.

在初中階段，課程內容設置是均勻而分散的.初中函數是代數式、方程與不等式三大概念的集成，主要是用于研究變量之間的依賴關系，大部分學者認為變量從屬于辯證性概念，這也就要求學生學習并理解函數需達到辯證思維水平，因此在七年級學生概念形成水平較低時，教材僅安排了有理數計算、代數式、一元一次方程、二元一次方程組、分式等內容為后續的函數概念出現做好充足的準備.因此，教材中單元內的內容之間或者單元與單元之間的內容編排與呈現都具有一定的邏輯性、系統性、關聯性.

實踐1 “銳角三角函數”的單元體系關聯.

筆者從初高中教材及相應課程標準進行研究，繪制了有關三角函數的學習路徑和體系關聯(如圖1)，發現初中階段只涉及銳角三角函數，內容簡單具體、知識點較少，由于弧度制的產生，高中三角函數內容增加很多.

圖1 初高中三角函數知識體系關聯

立足初中階段對三角函數內容的要求，結合初高中教材中的差異，筆者制訂了“1.1銳角三角函數”單元目標：經歷銳角三角函數概念形成過程，探索并認識sinA，cosA，tanA內涵，掌握30°，45°，60°的三角函數值，能夠推導并應用三角函數公式，會用計算器求某銳角的三角函數值；反之亦可，能用銳角三角函數解決簡單的實際問題，體會三角形邊角關系可以轉化，理解三角函數的函數本質.

思考：銳角三角函數的單元目標設計除參照初高中課程標準外，還根據初中階段的整塊函數內容進行了協調、整合.筆者認為明確單元教學目標首先需遵循數學的科學邏輯性、數學知識的系統性、學生對知識整合的接受度；其次要把握住知識發展的邏輯主線，找到知識網絡中關聯問題的核心和紐帶，將單元主體知識逐漸展現在過程中.

2.2 聚焦知識體系，分解設計課時教學目標

數學大單元知識體系的前提下，數學中所有的知識點都是一個個小整體，各知識點之間相互邏輯交錯形成知識網絡，而這網絡圖中的每個節點也就是看似分散的小知識點，每個知識點的產生都有其所依賴的知識體系、背景和結構.因此，了解知識的前后聯系，明白相應知識點在整個知識網絡中的地位，成為教師備好一堂課的首要條件，有助于區分單元整體觀點下的教學側重點.聚焦知識體系，再分解設計課時教學目標，能幫助學生形成牢固、清晰的數學認知結構.

結合學生數學學習心理，一個單元的課時不宜過長、內容不宜過多，在保證單元內容完整性的前提下，通常需要對子單元做進一步的劃分，如圖2中的單元整體觀點下的路徑圖.同樣，子單元的進一步劃分也不能破壞單元內容的整體性，并且要有明確的一般觀念為統領.由此，教師要在單元目標的統領下，聚焦知識體系，分解設計課時教學目標，提煉出每一課時相應的數學核心知識，并圍繞課時設計課堂活動.

圖2 單元設計路徑示意圖

實踐2 分解“銳角三角函數”的課時目標.

相比于之前所學習的一次函數、二次函數等基礎函數，銳角三角函數比較特殊，它的變量是角度而不是具體的某一個值，函數表達式更不是簡單的有關y和x的關系式，而是新引進了sinA，cosA，tanA標記符號，使得學生在學習三角函數時，并不能很好地將其與前面幾塊函數內容相聯系.另外，在平常的教學過程中，很多老師可能會忽視其函數的本質，讓學生熟記正弦、余弦、正切名稱及對應概念，知道怎么求就好了，甚至未將其納入函數內容.

根據以上兩點分析結合現實教學情況，分解設計課時教學目標.如本起始課的課時目標如下：讓學生經歷并發現在直角三角形中，當銳角固定時，其對邊與鄰邊、對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值都是固定的，形成銳角三角函數的概念，初步理解三角函數的本質，sinx實質是y=sinx，并能據此進行簡單的計算應用.

思考：為了使學生對相同知識在其不同的認知水平分別進行不同程度的挖掘，教材各課程內容在不同時間段需有螺旋上升的呈現，教師要對課程目標有清晰的認識，對內在關聯性強、共同特征多的知識內容進行整合、重組.在單元教學有了方向后，再逐步分解設計課時教學，充分發揮單元教學與課時教學的功能互補作用.

2.3 創設問題情境，動態生成數學知識本質

研究數學知識總是由簡單到復雜，由一般到特殊.三角函數概念是以角度為自變量，比值為因變量的基本函數，是對函數概念的一種升華.這類函數與學生之前所學函數卻有著很大區別，三角函數沒有固定解析式，概念更加抽象，學生理解難度也相應提升.

當學生經歷了直觀想象的過程后，學生對知識不再是機械記憶，而是把每一個符號意義化，從而深度理解知識的本質屬性，發展學生的創新意識.因此，三角函數的教學過程中，應當緊密結合圖形，不斷在三角形的結構中強調概念，而不是脫離實際，憑空背誦定義.在問題情境的創設中，需選擇較為典型的圖形，通過變式，循序漸進地“講解”知識點，動態生成數學知識本質.讓學生的深度學習發生在不知不覺之中，有利于培育數學核心素養.

實踐3 新授課導入.

問題1：如圖3，求出下面三角形中未知的角和邊.

圖3

設計意圖：通過學生熟悉的特殊直角三角形引入，復習了直角三角形中特殊銳角與邊長的關系，為接下來邊角關系的學習埋下了伏筆，使得直角三角形中的新舊知識連接更為自然，相較于實際問題導入，學生學習更輕松.

問題2：從上題可得，特殊直角三角形中，已知一特殊角與邊，求其他邊我們通常利用比值，請問直角三角形的兩邊之比有哪些情況呢，假設右圖4的Rt△ABC中∠A固定，以此為例.

圖4

師：通過觀察，我們可以發現前三種與后三種有什么關系？

生：后三種邊的比分別是前三種的倒數.

問題3：請你利用上述概念，分別求出上圖3中∠A的正弦、余弦、正切值，并觀察其特征.

師：基于以上發現，如果已知角的大小固定為45°或者60°，相似變換三角形，對應的比值會改變嗎？

追問1：那角的大小改成30°呢，結論會改變嗎？再改為20°，10°呢？你有怎樣的猜想？

追問2：確定一個∠A，sinA確定嗎？∠A與sinA是怎樣的關系？

設計意圖：從學生計算過邊角關系的直角三角形，體會當銳角確定時其對應兩邊之比確定這一結論，從特殊到一般，容易探索到問題本質.不斷創設地追問，能動態地引導學生深入理解三角函數的知識本質.

思考：重新建構教材時，在單元目標、課時目標的引領下，往往需將知識的導出環節分成幾個步驟，使課堂的探究步步遞進，層層深入.站在學生的角度，將他們置于動態的知識鏈中，使知識的推動延伸跟隨學生的思維而動，同時學生的思維也隨著知識的展開不斷深化.

2.4 倡導辨析探討，建構學習框架明晰思路

單元整體觀點下數學教學就應該讓學生能夠構建學習框架、明晰探索思路，這是有效發展學生思維的平臺和載體，也是尋找解決方法解決問題的關鍵環節.因此，單元整體教學在學后思考與探討上應該給予學生足夠的空間與時間，倡導學生充分參與思考與辨析.

實踐4 學后探討.

探討1：今天學習的銳角三角函數，反映哪個變量與變量之間的關系？自變量與因變量分別是什么？

探討2：以前我們學習的函數有哪些？它們的一般表達式是什么？研究與學習的思路是什么？如：y=2x+1和sinx的研究框架你能用思維導圖的形式畫出來嗎？

探討3：為什么我們今天學習的是銳角三角函數，你覺得還有什么三角函數？

探討4：既然銳角三角函數強調是銳角，按照函數的一般研究思路“背景—概念—圖象與性質—應用”，我們會應用在哪些方面？

探討5：由于初中階段學習與研究三種三角函數，即sinx，cosx，tanx，那么今后(比如在高中)你覺得還會研究哪些內容？

…………

設計意圖：通過對比性、過程性、開放性的學后探討，代替知識羅列般的小結，促使學生進行有深度、有廣度、有價值的思考，初步建構起學習框架.從而明晰研究思路，引導形成結構性的知識和方法鏈，領悟單元整體觀點下的學習策略，培養學生主動探索的能力和整體建構知識點的意識[3].

思考：數學整體性單元教學的核心在于把同類研究對象、相似的研究內容整合在一起，形成具有思想一致性的學習單元，而單元之間又形成環環相扣、邏輯連貫的“單元鏈”，旨在讓學生收獲“研究對象在變，思想方法不變，研究套路不變”的切實體驗.銳角三角函數是架構“數”與“形”的重要工具，三角函數的“形”不僅僅指代函數圖象，更重要的是聯系了三角形特別是直角三角形中的邊角關系，是真正意義上數形結合的集中體現.

從研究方法看，三角函數沒有一次函數那樣具有一般性和代表性，但其研究路徑與學習經驗同樣也可以仿照之前的函數學習展開推進.銳角三角函數作為浙教版最后一塊函數內容倘若未進行完美收尾，變成一塊獨立的知識，將不利于學生形成整體的知識結構，因此在研究方法上需要不斷向一次函數靠攏，有助于學生學習方法和經驗遷移.

3 結束語

單元整體教學的提出破除了“一課一備”“一課一學”教學模式的局面，以課標與教材為基礎，從數學邏輯結構出發，聚焦合適知識結構，明確目標重點，是備好課的先決條件.教師用系統、聯系的觀點看待課時教學，關注數學知識的整合設計，關注學生探究的完整過程，這是發展學生數學核心素養的有效途徑.

上述課例的開展僅是關于初中銳角三角函數的探究，仍有許多值得深入思考的問題，比如單元目標確立依據需要回溯或延伸到何種程度，在前后知識的關聯教學過程中時間又當如何把控，期待能有更多的同行積極實踐，共同探討，期待我們的孩子能學會思考、愛上數學.