指向思維生長的數學核心概念教學實踐與思考*

浙江省湖州市南潯區教育教學研究和培訓中心 浙江省湖州市南潯區和孚中學 褚水林

1 引言

數學概念是思維的細胞，是數學知識的“根”，是數學認知的基礎，是數學學習的內核.數學核心概念是數學概念的主體與核心，是進行判斷推理的關鍵，在整個數學概念教學中占了主干地位，并起到了邏輯的連貫性與一致性作用，與其他基本數學概念一起，成為數學的重要組成部分.數學核心概念教學為學生的認知、核心素養培養提供了廣闊的思維平臺.然而，核心概念教學還未引起足夠重視，未能從整體視角建構核心概念教學，輕概念的學習過程，重立竿見影的解題訓練，輕概念間的聯系，重單純的模仿記憶.這樣的核心概念教學，不利于學生對核心概念本質的理解，不利于學生數學思維能力的培養，不利于學生核心素養的形成.那么，在“雙減”背景下如何重構核心概念教學，發揮核心概念教學的作用與價值？筆者提出指向思維成長的數學核心概念教學，讓概念教學為學生知識生長、思維生長、生命成長助力，發揮核心概念課應有的育人價值.

2 詮釋：指向思維生長的數學核心概念教學內涵

數學概念最重要的特征是它們都被嵌入在組織良好的概念體系中.在一個概念體系中，有些概念處于核心位置，其他概念或由它生成，或與它有密切的聯系，符合上述核心概念的特征，我們稱這些概念為核心數學概念[1].數學核心概念居于學科中心，是學科結構的主干部分，具有整體性、結構性、生長性等特征.基于核心概念的特征、學生的認知規律、核心素養的目標要求，數學核心概念教學重視概念的生長發展過程、學生思維的生長過程.指向思維生長的數學核心概念教學，基于數學育人價值，通過創設一定情境，以問題引領為主線，設計恰當的學習活動，學生感受學習核心概念的必要性，經歷概念的形成、應用、精致過程，從而理解核心概念本質，生成概念系統，體驗概念的價值，自然生長知識、方法、經驗，從而不斷獲得思維方式和思維品質的發展，促進數學思維逐步從低階思維向高階思維發展，以思維生長助力學生成長，最終達到師生思維共同生長之目標.

3 實踐：指向思維生長的數學核心概念教學路徑

指向思維生長的數學核心概念教學，在遵循一般概念的教學基礎上，還有自身的特殊要求，從工具性理解向關系性理解過渡.從整體觀視角學習概念，首先需要研究“為什么學習此概念”，知道概念生成的背景和引入理由，激活學生情感需求和認知需求[2]；其次需要研究“學習概念的主要內容”，經歷概念形成過程，揭示概念的本質特征，提升思維活躍度和含量；再次需要研究“學了概念有什么用”，挖掘概念學習蘊含的思想方法，知道它在建構知識或解決問題中的作用，建立相關概念之間的關系和結構體系，提升思維的聯系性、深刻性.筆者以初中方程起始課(浙教版《義務教育教科書·數學》七年級上冊第5章第1節“一元一次方程”)教學為例，探索思維生長的數學核心概念教學實踐路徑.

3.1 創設情境，引入概念

問題1：小明今年13歲，老師今年的年齡減去10歲再除以2剛好為小明的年齡，你能算出老師的年齡嗎？

問題2：小明今年13歲，老師今年的年齡36歲，請問幾年后小明的年齡是老師年齡的一半？

教師先引導學生回顧方程的概念，再引導學生解決問題(用算術解法或方程解法).

追問：通過比較，試說出列算式和列方程兩種方法的特征？

列算式：列出的算式表示解題的計算過程,只能用已知數.對于數量關系較復雜的問題,列算式比較困難.

列方程：方程是根據題中等量關系列出的等式.已知數、未知數都可以參與運算,思維方式是順向思維，解決問題相對比較方便.

設計意圖：從師生年齡的角度入手，激發學生的求知欲，激活舊知，自然引入新知，起到先行組織者作用.本問題設計兩問讓學生自我評判列算式、列方程難易程度如何，第一設問列算式、列方程難易程度差不多，第二設問列方程優于列算術.通過比較，讓學生初步感知和體驗，逐步體會從算式到方程的進步，感受方程在解決問題過程中的重要性.

3.2 活動探究，生成概念

活動1：嘗試列方程.

例1根據下列問題數量關系列方程：

問題3：2021年東京奧運會中中國運動員的表現出色，其中跳水隊獲得金牌7枚，是射擊隊獲得金牌數的2倍少1.射擊隊獲得多少枚金牌？

設射擊隊獲得x枚金牌，可列出方程：.

問題4：小強、小杰、張明參加投籃比賽，每人投了20次.小強投進10個球，小杰比張明多投進2個，三人平均每人投進14個球.問小杰和張明各投進多少個球？

設張明投進x個，可列出方程：.

問題5：長方形的周長為28米，長比寬多3米，則長方形的長和寬分別為多少米？

①設長方形的寬為a米，則長為(a+3)米，可列出方程：；

②設長方形的寬為a米，長方形的長為b米，根據題意，可列出方程：.

問題6：長方形的面積為28平方米，長比寬多3米，長方形的長為多少米？

設長方形的長為m米，可列出方程.

設計意圖：設計不同背景問題，學生經歷“找等量關系，列方程”的過程，讓學生體會到方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，同時為學生自主建構一元一次方程及相關概念做準備.

活動2：識別特征，形成概念.

學生按照未知數的個數和次數分別進行分類：按未知數個數(即“元”)，可分為一元、二元；按未知數的次數，分為一次、二次.此時教師要善于引導學生發現這些方程的共性：方程的兩邊都是整式；特性：未知數的個數、未知數的最高次數.

你能否再舉一些具有這些特征的方程的例子?

在學生歸納、概括這三個方程的本質屬性基礎上，引導學生嘗試對一元一次方程下定義.

設計意圖：從方程整體的視角，提供豐富的方程例子，學生經過觀察、分析、比較再分類，逐步歸納屬性.通過觀察所列方程的共同特征，培養學生歸納概括能力，滲透數學抽象這一核心素養.

問題9：類比一元一次方程定義，方程④2(a+b)=28，⑤a-b=3，⑥m(m-3)=28，這三個方程分別可以稱為什么方程？能否給這些方程下定義？

設計意圖：類比一元一次方程定義，讓學生抓住方程的“元”“次”嘗試給二元一次方程、一元二次方程下定義，體現概念的生長、思維的生長.

3.3 應用遷移，理解概念

活動3：辨析概念.

(1)下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？

①5x=0；②1+3x；③y2=4+y；④3m+2=1-m.

活動4：嘗試檢驗，體驗方法.

例2利用問題2引入一元一次方程解的嘗試探究：

小明今年13歲，老師今年的年齡36歲，請問幾年后小明的年齡是老師年齡的一半？

表1

設計意圖：設計嘗試用逼近法求方程解的活動，既讓學生感受解方程的一般方法，又自然引出方程解的概念.

3.4 反思總結，構建概念系統

問題：本節課我們學習了哪些主要內容？

通過本節課的學習，你對算式和方程在解決問題中的作用有哪些新的認識？

我們通過怎樣方法學習一元一次方程？

師生共同梳理歸納，形成結構圖，如圖1.

圖1 一元一次方程概念結構體系網絡圖

設計意圖：設計問題串引導學生梳理總結所學知識、方法并以思維導圖形式呈現，使之形象化、結構化、網絡化，促進對新概念的深度理解和深度思維.

4 反思：指向思維生長的數學核心概念教學啟示

4.1 理解教材，把握數學核心概念本質

思維生長的數學核心概念課，關鍵在于深度理解核心概念、遷移應用概念并能建構概念體系.教師在教學設計時需要整體解讀教材，明白教材的編寫意圖，并對不同版本的教材進行精選和整合.

初中階段方程起始課不同教科書課題名稱不盡相同，如人教版的課題“從算術到方程”，浙教版的課題“一元一次方程”，不同的課題意味目標立意也有所側重.方程起始課教學從整體觀、系統觀的思維創造性地用教材，本課例在浙教版提供的學習素材基礎上，增加了算術解法與方程解法比較的內容，讓學生體會到從算式到方程的進步；在列方程時增加了不同類型的整式方程，通過對列出方程的分類逐步獲得一元一次方程的概念，在此基礎上生長二元一次方程、一元二次方程，體現了低起點、高立意，體會方程的價值和方程思想，體驗到核心概念的生長過程.

4.2 創設情境，感受學習核心概念的必要性

核心概念教學不僅要知其然，而且知其所以然.通過解決現實問題需要的分析，讓學生感受數學與現實的聯系，產生核心概念學習的情感需求；通過數學自身發展的分析，讓學生產生數學核心概念學習的思維需求.通過問題1、問題2師生年齡問題情境，采用“一題多解”的方式，讓學生感受算術法與方程法的區別，初步體會方程法的優越性，逐步實現從算術法到方程法的思維轉換，體會方程思想.

4.3 設計活動，經歷核心概念的形成過程

史寧中教授指出，抽象是從許多事物中舍棄個別的、非本質屬性，得到共同的、本質屬性的思維過程，是形成概念的必要手段[3].數學概念的形成往往是從具體到抽象、從特殊到一般的過程，數學核心概念學習成為發展學生數學抽象能力的重要載體.因此，數學核心概念盡量以“概念形成”的方式學習，使學生真正經歷辨別—分化—抽象—概括—表示等思維活動過程.在一元一次方程的概念形成教學中，通過列方程、給所列方程分類、再聚焦到一元一次方程的共同屬性歸納抽象，從整體到局部，從共性到特性，從整式方程到一元一次方程，類比一元一次方程對二元一次方程、一元二次方程初步認知，體現方程的整體性，體現數學概念的自然形成過程、生長過程.

4.4 搭建支架，促進數學思維的自然生長

核心概念教學追求的是思維的自然生長，追求思維動力、思維品質、思維能力得到自然、必然生長.一是營造環境，激發學生思維動力.需要產生的一種心理反應就是動機，學生的需要，就是激發學生思維動機的出發點.教學中立足學生的認知起點、思維起點、情感需求，營造和諧的師生關系，從而產生思維的動機，增強激發思維的內驅力.二是設計問題鏈，引發學生思考，提升思維品質.本案例通過問題1、問題2，引發學生對算術方法與方程方法比較，讓學生感受到學習方程的必然性；通過問題3～6的設計，讓學生經歷列方程的過程，感受方程是刻畫現實世界數量關系的一種模型，初步形成建立方程模型解決問題的意識；通過問題7～9，逐步歸納一元一次方程的本質屬性，發展學生的抽象概括能力；通過問題2引導學生首次經歷一元一次方程解的嘗試探究，方程解的概念、嘗試檢驗解融合在一起，學生的創新思維、深度思維得到培養.三是思維導圖，形成思維結構化.核心概念教學注重概念間的聯系，以思維導圖建構概念認知結構網絡，以此促進概念本質理解，促進學生深度思維、結構化思維.

教育的出發點與落腳點就是讓學生全面發展、健康成長.指向思維生長的核心概念教學，要站在學生的生命視角，重構核心概念教學結構，以“內容問題化、問題活動化、活動思維化”為關鍵要素，讓學生感受學習核心概念的必要性，經歷核心概念的形成、應用過程，讓學生養成從核心概念出發思考問題、解決問題的習慣，讓學生學會從概念的聯系中創新思維，關注數學本質，讓概念教學為學生知識生長、思維生長、生命成長賦能，發揮核心概念課育人價值.