半參數廣義線性模型最大似然估計的弱相合性

趙 瑛

（遼寧開放大學，遼寧沈陽 110034）

0 引言

半參數廣義線性模型是由Green和Yandell[1]等一些作者提出來的，相比于通常的廣義線性模型，其處理問題更靈活。半參數廣義線性模型既含有參數的線性形式，又含有變量的非參數形式。在半參數廣義線性模型（SGLMS）中，響應變量 Y∈R，協變量 （X，Z）∈［c，d］p×1×［0，1］，滿足給定（X，Z） 時條件期望：

其中，θ∈Θ，ρ∈Ψ。Θ?RP是一個非空開集，Ψ是從［0，1］到R的光滑函數的集合，而h是一個從R到R的光滑函數。給定（X，Z）時，Y的條件密度設為指數族形式：

式中，Γ和Φ是R的非空子集，b（φ）是R上的實函數，協變量（X，Z）的聯合分布函數G（x，z）未知。

假設（θ，ρ） 是未知參數，在估計未知參數θ的同時，也需要估計半參數ρ，基于未知參數θ的性質，利用 ξ=（X，Z，Y） 的獨立同分布的樣本ξj=（Xj，Zj，Yj），j=1，2，…，n，得到半參數的最大似然估計量，并且在一定條件下證明其一致弱相合性。

1 最大似然估計

在SGLMS模型中，Y的數學期望μ（φ） 通過 h 與半參數 XTθ+ρ（Z）相聯系，即

為了表達μ（φ）結構，假設均值μ的逆變換存在，φ=a（XTθ+ρ（Z）），其中 a=μ-1·h。又設 M為R的一個子集，使得對所有的（X，Z）∈［c，d］p×1×［0，1］，θ∈Θ，ρ∈Ψ，有 XTθ+ρ（Z）∈M，則a∶M?R→R，而且Φ=a（M）。

假設Φ是自然參數空間的非空凸子集，而自然參數空間是具有有限范數 exp（b（φ））=∫exp（φTy）dλ1（y）的所有φ構成[2]。因此在Φ內，Y的所有階矩都存在，而且b（φ）的所有階導數也存在，且

為了討論Y的各階矩，需對X、Z的矩進行限制（當X，Z為非隨機變量時，下面的假定當然成立）。

假定對 k=1，2，…，p+1 和任意 θ，ρ（Z），

用條件期望重新表達（3），則有

特別對k=1，得

其中Kni（·）=K（（Zi-·）/hn）是帶寬hn＞0的通常概率核。

利用普通核估計代替條件期望，得半參數部分 ρ（z）的矩形核估計量為ρM（z）=ρM（z，θ） 方程關于r的解。

2 定理的證明

Severini和Wong[3]提出的最大似然方法，可以構造半參數部分的估計量，并得到了一致收斂的速度，同時證明了

對任意γ＞0成立。其中，q＞2是一個正整數，使得統計量ρθ，ML的q階矩存在。同時也證明了估計量的導數具有相同的收斂速度。

基于半參數部分的一致弱相合估計的存在性，并將Forrester等人[4]的結果一般化，研究估計量的收斂速度。

為方便起見，引入如下符號：

3 結論

這里把Severini和Wong定理中比較苛刻的條件換成了平凡的Lipschitz條件，而且我們得到的結果與Severini和Wong給出的結果比較[5-6]，更具有可操作性，并且則進結論（15），即一步討論了ρ的導數的最大似然估計的一致弱相合性。