CDIO模式下“微積分”課程教學改革探討

韋麗梅

廣西大學行健文理學院 廣西南寧 530004

一、緒論

微積分課程是經濟管理類、理工類專業本科生的一門必修的重要的公共基礎課程，能否穩步提升該課程的教學質量直接關系學生學習各類后續課程，因此，針對該課程的教學改革和探索是十分必要的。近年來，已有不少的研究課題從不同角度、多種途徑對微積分課程的教學改革進行了有益的探索。基于OBE教育新理念思想圍繞教學目標、內容體系、教學模式、學習成果、考核評價方法和教學質量等方面開展了“微積分”課程的教學改革[1]。探究大數據環境下微積分課程的教學模式改革，較好地克服了傳統教學模式較為枯燥的缺陷，穩步提升微積分課程教學質量[2]。考慮到教育水平區域差異和學校辦學定位的差異，微積分課程教學改革還有探索的空間。

CDIO(Conceive，Design，Implement，Operate)工程教育模式是由美國麻省理工學院和瑞典皇家工學院等高校于2001年合作創立的新型工程教育模式，它蘊含了系統的構思、設計、實現和運作規范，是國際工程教育改革的最新成果，體現了系統性、科學性和先進性的高度統一，更是當代工程教育的發展趨勢。早在2008年，教育部高等教育司發文成立“CDIO工程教育模式研究與實踐課題組”，研究CDIO工程教育模式的理念及做法，指導開展CDIO工程教育模式試點工作、研討與交流活動。2016年，由全國104所高校正式組建成“CDIO工程教育聯盟”。

已有實踐與研究表明，CDIO能有效驅動課程計劃改革、師資隊伍建設和質量體系優化，是實現應用型本科院校建設和專業認證等工程教育改革工作的重要路徑[3-4]。因此，嘗試將CDIO理念引入微積分課程，對該課程的教學內容、教學方法及考核方式等方面進行初步探索。

二、微積分課程的特征

微積分課程的先修課程一般包括高中數學，主要內容包括函數、極限與連續、導數與微分、中值定理與導數的應用、不定積分、定積分、多元函數微分學、微分方程初步、無窮級數。該課程的概念繁多，內容抽象，邏輯性強，需要很強的思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力、綜合解題能力、數學建模與實踐能力以及自學能力。因而，一方面要求學生具備扎實的基本功和較強的動手計算能力，另一方面也要求專任教師具備常規的構思、設計、實現、運行的技能，使課程教學與CDIO能有機結合。

在“中國制造2025”等一系列國家戰略指引下，教育部積極推進新工科建設以適應新一輪科技革命與產業變革。在此背景下，微積分課程原有的課程體系和人才培養模式已無法滿足新工科建設的迫切需求，表現出重理論輕應用、重演繹輕歸納，追求數學的系統性與嚴謹性，忽略考慮學生的理解能力，導致學生失去學習的能動性。究其原因，主要有：

(一)知識數學化，應用虛無化

微積分全面地闡述了一元函數和多元函數的微分學和積分學，概念繁多、內容抽象，要求扎實的數學基礎。突出的特點表現為：分析對象依賴數學建模，分析工具依賴數學理論。這導致學生難以理解數學公式所蘊含的意義，致使學生產生畏難情緒，失去學習的興趣。另外，過多的理論授課使得課程過于枯燥，學生的學習興趣和動力不足。更為重要的是，眾多的應用問題被數學公式所掩蓋，缺少具體的應用案例，導致學生對知識點的應用一知半解，嚴重影響學生對知識的吸收。

(二)實踐形式化

實踐作為檢驗學生是否掌握微積分課程理論知識的重要途徑。因而，合理地設計系列化數學實驗輔助本課程的教學內容至關重要。然而，眾高校微積分多傾向于理論學習，缺乏實驗操作。反饋結果表明學生多照搬硬套數學公式，導致對基本概念、基本定理、基本方法缺乏深刻認識，導致課程知識點的鞏固和強化效果不佳。致使實踐應用環節流于形式，失去了對課程學習成效的檢驗和促進作用。

綜上所述，亟待對微積分課程原有的教學內容、教學方法、手段和實踐等進行改革，以適應具有大系統整合、跨學科交叉、跨領域合作特點的新工程教育模式。

三、CDIO模式下課程教學改革探討

CDIO工程教育模式要求學生在基礎知識、個人能力、人際團隊能力和工程系統能力四個層面獲得全面提升。因此，有必要全面分析并討論微積分課程的教學全流程，檢驗學生是否以主動的、實踐的、課程之間有機聯系的方式學習微積分相關理論及實踐。為此，專任教師需將固有的教育理念轉變到CDIO工程教育理念上，遵循CDIO工程教育理念的12條標準反思教—學關系。基于對CDIO工程教育理念的認識，圍繞微積分課程可進行如下教學改革：

(一)教學內容的優化

CDIO工程教育倡導一體化教學計劃。微積分理論課程的內容理論性與實踐性并重。學生普遍反映該課程理論性強、概念抽象、數學公式多。在當前授課學時減少的趨勢下，如何精心安排相關教學內容以確保理論與實踐有機結合至關重要。此外，積極融入課程思政元素，激發學生的專業榮譽感與行業自豪感，用科技創新服務經濟社會發展。

本課程由理論學習和實驗操作兩部分構成，其中理論學習72個課時，實驗操作18個課時。理論學習分為線上學習和線下學習兩部分，線下學習主要以一元函數的微分學和積分學為主線，側重函數、極限、連續、導數、微分、積分等基本概念的講解，弱化計算方法，比如導數的運算、積分的計算只要求基本公式和法則的應用，湊微分法和分部積分法不做要求，再將現有理論推廣到多元函數領域。其中，函數的間斷點及其類型、反函數的求導法則、由參數方程所確定的函數及隱函數的導數、導數在經濟分析中的應用、導數與微分應用案例、中值定理、曲線的凹凸性、反常積分、旋轉體的體積、定積分應用案例、空間解析幾何簡介、條件極值、拉格朗日乘數法、幾類可降階的高階微分方程、二階線性微分方程等難點知識作為線上資源，錄制微課，借助網絡平臺發布教學視頻，作為個人提升，自主學習。此外，在函數的概念中增加成本函數、收益函數、利潤函數等經濟函數的概念及建模方法，在導數的概念中增加導數的經濟意義，即邊際函數的概念，在微分的講解中介紹微分的近似計算，在導數的學習中增加導數的應用案例，比如怎樣使得用料最省、利潤最大、成本最低等函數的極值和最值問題，在定積分的學習中增加平面圖形的面積、體積的求法和經濟應用，比如已知邊際函數如何求總量函數等應用案例，強化理論聯系實際，加強學生對知識的理解和應用。

在實驗操作部分，借助MATLAB軟件，側重符號運算，彌補理論學習中弱化的計算部分，重點介紹函數的作圖、函數值的計算、通過作圖直觀地了解極限、極值的概念，強化如何用MATLAB進行求解極限、導數、極值、積分、微分方程等操作，通過實驗增強學生對理論知識的理解。

(二)教學方法的改進

CDIO工程教育將主動學習作為12條標準之一。為此，借助網絡共享資源“學習通”和“對分易教學平臺”積極開展線上線下混合式教學，圍繞課前—課堂—課后三階段形成全流程的改進，以提升學生的主動學習興趣和能力。課前—課堂—課后三階段全流程均離不開師生的交流互動。良好的師生互動可實現教師邊教邊提高，學生越學越主動的良好局面。

課前階段著重將教學大綱、課程內容的背景資料、課程思政、數學史簡介、學習課件上傳到“學習通”平臺及時推送給學生，設置預習任務，在線平臺實時記錄學生完成任務的進展和記錄學習章節的次數，通過課前預習，設置相關的啟發式問題，讓學生對該門課程有個初步了解。例如，在教授極限的概念時，可將古代數學家劉微創立的割圓術作為背景資料引入；在介紹無窮小時，可將古希臘阿基里德追龜問題作為背景資料引入；介紹導數概念時，可將割線與切線的動態視頻作為背景資料引入，以動態的視頻增加學生對基本概念的提前理解。

課堂授課階段，借鑒復旦大學張學新教授提出的對分課堂教學模式[5]，把課堂時間對分，一半用于教師講授，一半用于學生討論，關鍵創新是“隔堂討論”，即把老師講授的時間和學生討論的時間錯開，讓學生在中間有一定的時間自主安排學習，進行個性化的內化吸收。核心理念是“時間對分”“任務對分”“教學模式對分”和“培養模式對分”，教師按照以下四個環節來組織教學。

(1)前期準備，根據學習通預習進展的情況，教師將課程內容的難易情況、重難點情況和易出現理解偏差情況進行歸納總結，優化教學內容，制訂適合“對分課堂”的教學計劃。

(2)講授環節，先以教師單向講授為主，主要介紹教學內容的框架、重點和難點，不覆蓋細節，為學生自主學習提供基本學習框架和思路。

(3)內化吸收就是課后學習階段，讓學生課后自主學習教材和輔助資料，完成兩類作業。一類是傳統作業，以基本內容為主。另一種是“亮考幫”作業，根據教學大綱和個人自主學習情況，主要是要求學生在聽課、讀書、完成常規作業后，總結出學習過程中自己認為閃亮的內容、弄懂了的內容和有疑問的內容。

(4)討論環節則是放在下次課，教師上課后立刻組織學生分組討論，每組4～5人，討論主要針對教師上次課的講授內容和學生在內化階段的學習結果。小組討論后，教師隨機抽查學生討論的結果，再由全班自由發言，教師對疑難問題進行解答并做簡單總結，特別注意講解學生遺漏的、需要深化提升的內容。既提高學生協同合作的能力，分享智慧，又提高了學生學習的積極性。

上述“對分課堂”教學模式主要由三個環節構成：老師課堂授課、學生課下自學、生生和師生課堂討論，涉及的教學環節如圖1所示。

圖1 教學環節及其組成

(三)考核方式的改良

CDIO工程教育強調學生考核，因而需要建立一套有效的考核機制，用于評估學生的基本個人能力和人際能力在何種程度達到專業目標。學生的人際能力和創新能力等素質難以由作業和測試反饋。在微積分課程的考核和評估中，摒棄以期末考試為主的考核方法，采用多元化的考核方式。提倡采用考勤、作業、單元測驗、課程表現、實驗操作等多種形式相結合的常態化考核機制。平時注重學生學習過程的形成性評價，根據完成、態度和創新三個維度去打分。利用平臺對學生進行上課考勤、作業、課堂表現、測驗四方面的評分，結合上機實驗操作，本校采用如下考核方式：考核成績由60%平時成績+40%期末考試成績構成，其中平時成績由五部分組成：考勤15%，作業20%，課堂表現20%，隨堂測驗15%，實驗操作30%。實驗操作由考勤和課堂作業組成，各占30%和70%。上述考核成績及其構成如圖2所示。

圖2 考核成績及其組成

作業能夠及時鞏固并檢驗學生對課程內容的理解，單元測驗能夠督促學生系統性總結歸納知識，課程表現有助于學生積極參與到教學活動中，上機操作不僅能檢驗學生掌握知識的情況，還能鍛煉其運用于實踐的能力。多元常態化考核，一方面可以檢驗學生是否按照主動的、實踐的、課程之間有機聯系的方式學習本課程，還以工程基礎知識、個人能力、人際團隊能力和工程系統能力四個層面為參照檢驗學生的達成情況。

結語

借鑒CDIO理念逐步開展微積分課程的教學改革，圍繞教學內容、教學方法和考核方式等方面進行有益的探討，有助于學生以主動的、實踐的、課程之間有機聯系的方式學習微積分的基本概念，應用數學工具“定性分析、定量估算和仿真實驗”解決實際問題，逐步培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力、綜合解題能力、數學建模與實踐能力以及自學能力，穩步提升教學質量。