基于GM（1，1）模型對廣西人均地區生產總值的預測

莫定源MO Ding-yuan

（百色學院數學與統計學院，百色 533000）

0 引言

廣西作為西部唯一的沿海地區，是中國對外開放、走向東盟、走向世界的重要門戶。近二十年，廣西的經濟得到快速發展，2020 年廣西生產總值達到22156.69 億元，人均地區生產總值達到44309 元。人均地區生產總值作為衡量一個地區經濟發展的重要指標，也是衡量一個地區人民生活水平的一個標準，該指標可以客觀反映某一地區的宏觀經濟運行狀況，因此，分析和預測廣西人均地區生產總值具有重要的現實意義。廣西統計年鑒數據顯示，廣西2013-2020 年人均地區生產總值保持著穩步增長的態勢，為了進一步分析和預測廣西人均地區生產總值的未來趨勢，本文對2021-2025 年廣西人均地區生產總值進行預測。考慮到廣西人均地區生產總值指標是等時距觀測得到，該指標的時間序列隱含著指數變化規律，而且經濟系統屬于復雜的灰色系統范疇，符合灰色預測模型的客觀條件，因此本文采用GM（1，1）模型對其進行預測分析。

1 灰色預測模型

灰色預測模型是通過少量的、不完全的信息建立數學模型做出預測的一種預測方法[1]，利用離散隨機數建立起的微分方程形式的模型。GM（1，1）表示一階的、一個變量的微分方程型預測模型，GM（1，1）模型是灰色預測模型中最常用的模型。該模型對于樣本數量少、規律性不強的信息也有較好的擬合效果，并且預測的精度高，因此GM（1，1）模型應用非常廣泛，該模型已被科研工作者應用于經濟、生態、工業、醫學等各領域[2-5]，并取得許多豐碩的研究成果。GM（2，1）、DGM 和Verhulst 模型往往用于非單調的時間數列或有飽和的S 型序列。灰色預測模型在進行預測之前，需要對模型進行精度檢驗，常用的檢驗方法是殘差檢驗和后驗差檢驗，只有滿足精度要求的模型才能運用于預測研究。

1.1 GM（1，1）模型的建立

③構造數據矩陣B 和列向量Y：

④新數列可用如下的微分方程表示：

其中，a 和u 為待定的系數，利用最小二乘法即可得到參數估計：

⑤利用得到的參數估計，求解即可得到時間響應函數：

上式得到的即為累加數列的值，再累減逆運算即得到原始數列預測值：

1.2 模型的驗證[6-9]

GM（1，1）模型驗證的常用方法有兩種：殘差檢驗和后驗差檢驗。

1.2.1 殘差檢驗

①先計算殘差的值：

②再計算相對殘差的值：

1.2.2 后驗差檢驗

根據相關參考文獻[6]，模型驗證等級參照表如表1 所示。只有當模型滿足一定精度要求時，即通過模型驗證時，才能將該模型應用于預測研究。在表1 中，相對殘差e（k）、均方差比值C 的數值越接近于0，小誤差概率P 的數值越接近于1，則表示模型精度越高；反之，則表示模型精度越低。

表1 模型驗證等級參照表

2 廣西人均地區生產總值實證分析

本文主要研究2013-2020 年廣西人均地區生產總值的變化規律，通過已知數據建立GM（1，1）模型，并對模型進行預測分析。本文所用的2013-2020 年廣西人均地區生產總值指標數據來源于《廣西統計年鑒》。詳細數據見表2所示。

表2 2013-2020 年廣西人均地區生產總值 （單位：元）

①由表2 中2013-2020 年廣西人均地區生產總值的

表3 累加生成數據

②構造X（1）的均值序列Z（1），則Z（1）=（40762.5，70509，…，260504.5）。

③構造數據矩陣B 和數據向量y 分別為：

④利用最小二乘法估計參數：

⑤經計算，得到的GM（1，1）模型的方程為：

⑥根據上述模型，計算2013-2020 年廣西人均地區生產總值累積預測值及2013-2020 年廣西人均地區生產總值預測值，并計算絕對值殘差和相對殘差，計算結果如表4 所示。除了驗證相對殘差之外，還需要對模型進行后驗差檢驗，模型的后驗差檢驗結果如表5 所示。

GM（1，1）模型需要通過相對殘差驗證和后驗差檢驗才能用于預測研究。GM（1，1）模型的相對殘差越小越好，由表4 可知，平均相對殘差為1.16%，模型精度達到98.84%，因此從相對殘差角度看，根據表1 中的模型精度劃分，該模型精度等級為良好。GM（1，1）模型的后驗差檢驗，后驗比方差C 的值越小越好，而小誤差概率P 的值越大越好，模型的后驗差檢驗需要綜合考慮C 和P 的數值，由兩者共同判斷模型的后驗差檢驗，本案例的后驗差檢驗計算結果詳見表5 所示。由表5 可知，后驗比方差C 為0.055＜0.35，小誤差概率P 為1＞0.95，因此從后驗差檢驗角度來看，根據表1 中的模型精度劃分，該模型精度等級為優秀。GM（1，1）模型經過上述的相對殘差檢驗和后驗差檢驗，模型檢驗通過。因此，可運用該模型對2021-2025 年廣西人均地區生產總值進行預測研究。

表4 模型預測及相對誤差計算

表5 后驗差檢驗

⑦模型預測。根據GM（1，1）模型對2021-2025 年廣西人均地區生產總值進行預測，預測結果如表6 所示。將表6 中的結果用折線圖表示，如圖1 所示。

由表6 可知，GM（1，1）模型的預測結果顯示，2021 年廣西人均地區生產總值的預測值為48857.84 元，2022 年預測值為52669.04 元，2023 年的預測值為56777.53 元，2024 年的預測值為61206.50 元，2025 年的預測值為65980.97 元。由圖1 可見，廣西人均地區生產總值在2021-2025 年保持平穩增長，而且增長速度較快。GM（1，1）模型的預測結果，既可為廣西2021-2025 年的經濟發展狀況提供科學依據，又可為地方政府和管理部門出臺相關經濟政策提供理論支撐。

圖1 2021-2025 年廣西人均地區生產總值預測

表6 GM（1，1）模型對廣西2021—2025 年人均地區生產總值的預測 （單位：元）

3 政策與建議

3.1 創造良好營商環境，加大投資

廣西首府南寧作為中國—東盟博覽會的永久舉辦地以及“一帶一路”的重要門戶城市，政府應當充分利用本地區的優越條件，創造良好的營商環境，加大投資力度，吸引國內外有影響力的企業在廣西投資。同時，加強與東部發達地區的合作，形成友好的合作貿易伙伴關系。

3.2 發展優質特色產品，打造品牌

柳州螺螄粉、百色芒果、桂林米粉、橫縣茉莉花茶等是廣西極具地方特色的地理標志品牌，在國內享有較高知名度，但還需進一步拓寬市場渠道，特別是拓展國外消費市場。政府應當鼓勵個人或企業通過抖音等平臺推介優質農產品，進一步提升地理標志品牌的產品知名度。同時，通過高端技術和營銷手段打造特色產品的品牌效應。

3.3 引進高端科技人才，引領發展

貫徹以人為本的發展理念，大力引進國內外高科技尖端人才，以實現廣西產業的升級與轉型。為了留住高端科技的人才，政府要實施一系列引才留才的優惠政策，發揮高科技人才在廣西經濟發展中的引領作用，為廣西經濟的快速發展做鋪墊。

4 結語

本文運用GM（1，1）模型對廣西2021-2025 年人均地區生產總值進行預測，研究表明，未來五年廣西人均地區生產總值仍保持穩定增長趨勢。經模型驗證，該模型的擬合效果比較理想，預測精度等級從相對誤差角度屬于良好等級，從后驗差檢驗角度為優秀等級，因此該模型具有較高的可信度。對廣西2021-2025 年人均地區生產總值進行預測，為廣西未來經濟的發展狀況提供了科學客觀的理論支撐，促使廣西地區的經濟實現跨越式發展。最后，立足廣西經濟發展現狀及產業結構特點，提出加快廣西經濟發展的政策與建議。