基于直觀想象與數學運算素養培育*
——向量題幾何背景挖掘與構造

734500 甘肅省民樂縣第一中學 趙思博

向量本身兼具“形”與“數”的雙重特性，是解決代數問題和幾何問題的有力工具，加上其本身的內容十分豐富，命題形式靈活多變，自然成為高考命題的熱點

.

近年來，高考對向量的綜合運用的考查多與平面幾何、解析幾何、不等式等相結合進行交匯命題，綜合性強，難度較大，學生在這類問題上得分也不理想

.

筆者認為，向量教學要逐步讓學生體會“從形到向量—借助向量運算解決問題—從向量到形”的“三部曲”，更要培養學生逆向思考，體會“從向量到形—借助幾何直觀優化運算—從形到向量”的“三部曲”

.

根據教學實踐和解題研究，筆者闡述解決具有一定幾何背景的向量問題的有效策略

.

1 直觀建模，以數思形解三角形最值問題

例1

(2010高考浙江理-16) 已知平面向量滿足且與的夾角為則的取值范圍是________

.

解：

由聯想到向量減法的三角形法則，構造△

CAB

,作向量則向量在△

CAB

中，邊利用正弦定理得所以可得

評注：

此題以向量減法為背景巧妙命題，利用向量的幾何意義把符號表示形式轉化為圖形表達形式，使問題求解變得直觀

.

在向量的意義及運算體系建立后，要注意強化向量的幾何直觀表示，引導學生體會通過建立向量符號運算與幾何圖形之間的關系，形成解決向量題的背景支持

.

例2

(2013浙江理-17) 設為單位向量，非零向量若的夾角為則的最大值等于________

.

解：

不妨設則在△

OAB

中，又的夾角為則或即則

評注：

此題考查平面向量基本定理、平面向量的幾何意義及向量的運算

.

通過向量加法運算構建三角形，使題目形象鮮明，直觀具體，思路豁然開朗

.

構建數學問題的直觀模型，將向量“圖形化”，借助圖形把問題的本質凸顯出來，通過幾何直觀感知數學抽象，理解運算對象，使問題變得簡明、形象

.

2 構圖建系，巧用矩形性質以形解數

例3

(2013重慶理-10) 在平面上，若則的取值范圍是( )

解法1：

根據條件知

A

,

B

,

P

,

B

構成一個矩形，便于建立坐標系，利用坐標法解決

.

以

AB

,

AB

所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系(如圖1所示)

.

設|

AB

|=

a

,|

AB

|=

b

,點

O

的坐標為(

x

,

y

)，則點

P

的坐標為(

a

,

b

)，由得則又由得則所以而所以

圖1

解法2：

由由兩個條件結合向量加法的平行四邊形法則，易得矩形

AB

PB

,

O

是平面內一動點，聯結

OA

,

OP

,

OB

,

OB

,則有

OA

+

OP

=

OB

+

OB

(矩形的一個性質，可證明)，所以可得的取值范圍是

評注：

此題以平面向量加法的平行四邊形法則和矩形為幾何背景命題，在易于建立坐標系的情況下，優先考慮坐標運算，向量的坐標表示為實現向量運算到數的運算打下了基礎，建立起了幾何與代數之間的聯系，在向量問題解決中突出坐標法，是要讓學生感悟用坐標法研究幾何問題的程序性和普適性

.

解法2結合圖形特征應用矩形的性質大大簡化了運算，數形結合是幾何圖形的代數表達，也是代數表達式的幾何直觀，作為數形結合的兩個方面，兩者都不可或缺

.

向量教學中既要重視幾何圖形的代數表達，也要關注代數表達式的幾何直觀，利用幾何直觀，發揮圖形的功能，有助于向量問題的解決

.

3 直觀顯化，巧用圓的性質避繁就簡

例4

(2014安徽理-10) 在平面直角坐標系

xOy

中，已知向量點

Q

滿足曲線區域若

C

∩

Ω

為兩段分離的曲線，則( )A

.

1<

r

<

R

<3 B

.

1<

r

<3≤

R

C

.r

≤1<

R

<3 D

.

1<

r

<3<

R

解法1：

作向量并且

OA

⊥

OB

,設則則由此可得曲線

C

是以

O

為圓心、1為半徑的圓

.

區域

Ω

是以

Q

為圓心的圓環，內圓半徑為

r

，外圓半徑為

R

′，若

C

∩

Ω

為兩段分離的曲線，結合圖形可知，半徑為

r

和半徑為

R

的兩圓均與以

O

為圓心1為半徑的圓相交，所以1<

r

<

R

<3

.

解法2

(坐標法)：不妨設易得以下同解法1

.

評注：

此題以平面向量加法的平行四邊形法則和圓為幾何背景命題，解題的關鍵是能正確分析出曲線

C

和區域

Ω

是什么樣的圖形

.

面對如此之多的抽象數學符號，很多學生束手無策，若能認真分析集合內元素的本質特征，細心挖掘其具體意義和幾何背景，將抽象的符號語言直觀顯化，并能數形結合分析其數量關系，即可順利完成解答

.

有些數學表達式是有明顯幾何意義的，從幾何圖形的直觀認識問題的實質，進而解決問題往往運算較簡便，但這種方法構造性強，需要較高的思維水平和對向量的深入認識及理解

.

例5

(2016四川理-10) 在平面內，定點

A

，

B

，

C

，

D

滿足動點

P

，

M

滿足則的最大值是( )

解：

由題意，所以

D

到

A

,

B

,

C

三點的距離相等，

D

是△

ABC

的外心

.

由得所以

DB

⊥

AC

，同理可得

DA

⊥

BC

,

DC

⊥

AB

，從而

D

是△

ABC

的垂心

.

△

ABC

的外心與垂心重合，因此△

ABC

是正三角形，且

D

是△

ABC

的中心

.

求得所以正三角形△

ABC

的邊長為

解法1：

如圖2所示，以

A

為原點建立直角坐標系，

B

,

C

,

D

三點的坐標分別為由動點

P

的軌跡是單位圓，設

P

點的坐標為(cos

θ

,sin

θ

)，其中

θ

∈[0,2π)，而即

M

是

PC

的中點，可以寫出

M

的坐標為則當時，取得最大值故選B．

圖2

也可以以點

B

為坐標原點,

BC

所在直線為

x

軸建立直角坐標系(如圖3所示)由點

P

的軌跡方程為令點又即

M

是

PC

的中點，則取得最大值為

圖3

解法2：

取

AC

的中點從而動點

M

的軌跡是以

N

為圓心為半徑的圓，當

B

,

N

,

M

三點共線時，

BM

為最大值．所以

BM

最大值為則取得最大值

評注：

本題考查了數量積運算性質、平面向量的數量積與向量的模、圓的參數方程、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力

.

對條件進行化簡變形，易得出△

ABC

是正三角形，動點

P

的軌跡是圓，動點

M

的軌跡也是圓，解法1運用坐標法，轉化為三角函數的最值的求法，使學生對向量運算的認識逐步深化，進一步體會向量的主要作用要通過運算來實現

.

解法2利用圓的性質得出最值，則更能體現向量運算的幾何解釋

.

4 以形助數，妙用圓的性質化動為定

例6

(2014湖南文-10) 在平面直角坐標系中，

O

為原點，動點

D

滿足則的取值范圍是( )

解：

此題中已有坐標系，為三定點，可設動點

D

(

x

,

y

)，則所以有(

x

-3)+

y

=1，說明點

D

的軌跡是以

C

(3，0)為圓心、1為半徑的圓

.

因則有此式有明確的幾何意義，表示定點到圓

C

上點的距離，數形結合可求得其取值范圍是

評注：

此題以平面向量的坐標運算和解析幾何中兩點間的距離為幾何背景命題，巧妙地把向量的坐標形式轉化為圖形形式，使解題事半功倍，優化了解題過程

.

研究向量問題要樹立數形結合思想和坐標法統領全局的意識，解決問題時要善于用坐標法運算，用幾何眼光觀察與思考，用代數表達式的幾何直觀解決問題，從而促進學生的數學運算、直觀想象等素養的發展

.

5 深度理解，利用幾何直觀化繁為簡

例7

(2013安徽理-9) 在平面直角坐標系中，

O

是坐標原點，兩定點

A

,

B

滿足則點集所表示的區域的面積是( )

解法1:

要求面積應先明確是怎樣的圖形，從題設提供的信息想到建立坐標系，尋求動點坐標滿足的線性約束條件，將問題轉化為不等式組表示的平面區域

.

由可得建立直角坐標系，可設可得則當時，由可行域可得由對稱性可知區域的面積是所以選D

.

解法2:

由可得可知△

OAB

是一個邊長為2的等邊三角形，由考慮當

λ

≥0，

μ

≥0，且

λ

+

μ

=1時，

A

,

B

,

P

三點共線(用三點共線的充要條件可判斷)，則

λ

≥0，

μ

≥0，且

λ

+

μ

≤1時，點

P

必在△

OAB

內(包括邊界)，考慮|

λ

|+|

μ

|≤1，

λ

，

μ

∈

R

的其他情形，點

P

的集合恰好是以

AB

為一邊，以

OA

,

OB

為對角線一半的矩形，其面積

評注：

解法1從坐標的角度考慮，先建立平面直角坐標系，利用題設條件得點

P

的坐標

x

,

y

與

λ

，

μ

之間的關系，利用|

λ

|+|

μ

|≤1，

λ

，

μ

∈

R

得到關于

x

,

y

的不等式組，將問題轉化為線性規劃問題解答，這是典型的坐標法，是研究解析幾何問題最基礎、最常用的方法，完全通過代數運算，運算量較大，得到最終結果需要較強的數學運算能力，這對提升學生的數學運算素養是有利的

.

解法2從平面向量基本定理入手，結合三點共線的充要條件去思考構成平面點集的區域圖形的形狀，巧妙地避開了繁雜的運算，不失為一種優美解法，但這種方法體現較強的構造性，對學生的思維水平要求較高，要求學生對向量知識有系統的認識和深入的理解

.

數學問題求解的基本思維方法是從題設條件出發尋找解題的方向

.

在決斷解題方法時，對題設條件的思維切入點不同，解題的方法也將不盡相同

.

對于一類有幾何背景的向量題，在尋找解題思路時，應牢牢把握向量的兩個基本特征：利用“數”的特征，可以從向量的線性運算、數量級、基底分解與坐標運算等方面切入，將問題轉化為代數運算來解決；利用“形”的特征，通過向量的幾何意義及向量的運算將其轉化為平面幾何中的問題，直接利用平面幾何中的相關結論得到結果

.

教師在教學中，要注重直觀想象與數學運算素養的培養，這樣學生才能熟練地實現向量的符號表示形式向圖形表達形式、坐標表示形式的轉化，優化向量問題解法

.