一個非線性演化方程的達布變換

朱賽柯,李芳

(河南工業大學理學院,河南 鄭州 450001)

1 引言

非線性演化方程是由有限維可積系統描述的非線性偏微分方程,是刻畫自然界中非線性現象的重要模型.對各種非線性演化方程精確解的研究在現代數學中非常重要,并對數學、物理和其他科學的幾個領域產生了影響.隨著對孤立子理論的深入研究,近些年來已經發展了一些系統的方法來求出非線性演化方程的精確解,如反散射法[1-3],非線性化法[4-5],Hirota雙線性法[6-7],幾何代數法[8-9],Darboux變換法[10-12],B¨acklund變換法[13-15],Painlev′e分析法[16-17]等.在眾多的方法中,Darboux變換法是一種簡單且富有成效的方法,它從種子解出發,進而求出非線性演化方程的精確解.截至目前,用Darboux變換法求解與2×2矩陣譜問題相關的非線性演化方程,已經得到了很多豐富的結果,但是在處理與3×3矩陣譜問題相關的非線性演化方程時,結果相對比較有限.同時與2×2矩陣譜問題的Darboux變換相比,3×3矩陣譜問題的Darboux變換的計算更復雜且難度更大.文獻[18]提出了一族與3×3矩陣譜問題相聯系的非線性演化方程,并且研究了其擬哈密頓結構和無窮多守恒律.然而用Darboux變換法求方程(6)的解尚未有人研究,因此本文的主要研究內容是構造該與3×3矩陣譜問題相聯系的非線性演化方程的Darboux變換并得到其精確解的表達式.

本文研究內容如下:在第二節中,通過譜問題找到相對應的輔譜問題,從而得到非線性演化方程.在第三節中利用譜問題的規范變換構造該非線性演化方程的Darboux變換.在最后一節中從種子解出發,得到精確解的表達式.

2 非線性演化方程

考慮3×3矩陣空間部分譜問題

及時間部分譜問題

其中u,v,w是兩個關于x和t的位勢函數,λ是譜參數.

當r=0時,

由相容條件

可得零曲率方程

令t=t0,將時間部分譜問題和空間部分譜問題代入(5)式計算可得非線性演化方程

此方程為文獻[18]中方程族的第一個非平凡方程.

3 達布變換

在本節中,將構造方程(6)的一個Darboux變換.它具有如下的Lax對表示:

其中U,V的表達式分別為(1)式和(3)式,u,v,w是兩個關于x,t的位勢函數,λ是譜參數.

首先引入規范變換

則(7)式變成新的Lax對

其中

假設

其中α1是常數,bij(i,j=1,2,3)是關于x,t的函數.

將(12)式-(13)式代入(10)式并比較λ的同次冪系數可得

故新舊位勢之間的關系為

因為detT是關于λ的三次多項式,故存在λj(j=1,2,3)使detT=0.因此

設

為問題(1)的三個基礎解.由于

故當λ=λj時,線性相關,即存在不全為零的常數滿足

上式等價于

其中

將(12)式代入方程組(18)可得

命題3.1由(10)式確定的矩陣與U具有相同的形式,即可表示為

新舊位勢的關系為(14)式-(15)式.

證明T的伴隨矩陣是T*=T-1detT.設

通過計算得fij(λ)(i,j=1,2,3)是關于λ的三次或四次多項式.

由(1)式和(19)式可得,當λ=λj(j=1,2,3)時,有

由方程組(18)可得

易驗證λj是fij(λ)的根,故(21)式可改寫為

其中Q(λ)的表達式為

比較(26)式中λ的同次冪系數得

命題3.2由(11)式確定的矩陣與V具有相同的形式,即可表示為

新舊位勢的關系為(14)式-(15)式.

證明T的伴隨矩陣是T*=T-1detT.設

通過計算得gij(λ)(i,j=1,2,3)是關于λ的三次或四次多項式.

由(2)式和(19)式可得,當λ=λj(j=1,2,3)時,有

由方程組(18)可得

易驗證λj是gij(λ)的根,故(27)式可改寫為

其中P(λ)的表達式為

比較(32)式中λ的同次冪系數得

定理3.1命題3.1和命題3.2成立的前提下,利用Darboux變換法可將方程(6)的一組解(u,v,w)生成它們的另一組解,其中新舊位勢之間的關系為(14)式-(15)式.

4 精確解

本節通過以上討論的Darboux變換法來求解方程(6)的精確解.取u=v=w=0作為種子解,則三個基礎解為

當λ=λj(j=1,2,3)時,將(33)式代入(19)式可得

由克萊默法則求解方程組(20)得

其中

由以上式子可以求出bij,因此

是方程組(6)精確解的表達式.