介質粗糙面與埋藏導體目標的電磁散射特性研究

張亞，何紅杰

（鄭州輕工業大學，河南鄭州，450000）

0 引言

粗糙面與目標的復合電磁散射特性研究應用廣泛，在雷達監控、遙感和目標識別等領域具有重要的實際應用價值。近幾十年來，針對粗糙面與目標的復合電磁散射問題，各國學者提出了多種研究方法，根據其求解機制不同，這些方法大致可以分為三類：高頻近似方法[1-3]、低頻數值方法[4-7]和高低頻混合算法[8-11]。隨著計算機技術的飛速發展，數值算法由于其較高的計算精度受到越來越多學者的青睞。目前，求解三維復合電磁散射問題的常用數值方法主要包括矩量法(Method of Moment, MoM)[5-7,12]、時域有限差分方法(Finite Difference Time Domain, FDTD)[13,14]和有限元-邊界元方法(Finite Element Method-Boundary Integral Method, FEM-BIM)[4,15]。例如，文獻[5]將電場積分方程與局部粗糙表面的并矢格林函數結合研究了二維介質粗糙面下方埋藏介質目標的電磁散射特性，但隨機粗糙表面的并矢格林函數一般是難以預知的，因此該方法不適用于處理隨機粗糙表面的電磁散射問題；Wei等人采用基于單積分方程的MoM研究了介質粗糙面上/下方目標的電磁散射特性[12]，由于單積分方程的未知量僅為傳統MoM未知量的一半，因此，基于單積分方程的MoM在求解時間和內存消耗方面都具有明顯的優勢；Lai等人將區域分解技術與FDTD方法結合，計算了大尺度粗糙面的電磁散射[13]；Tian等人采用改進的FDTD方法分析了強脈沖源入射下粗糙地面上方電介質涂層導線的瞬態耦合特性[16]。

FEM-BIM方法結合了FEM和BIM兩種方法的優勢，具備處理復雜結構非均勻媒質電磁散射問題的能力，該方法在目標與粗糙面復合電磁散射特性研究方面的應用也已有報道。Xu等人將采用FEM/MoM求解了一維/二維粗糙面上方二維/三維目標的電磁散射[4,17]，但Xu的工作均采用傳統的LU分解算法求解復合模型的FEM/MoM矩陣方程組，雖然具有較高的計算精度，但內存消耗較大且求解效率不高；針對FEM-BIM矩陣方程組的特點，本文作者將FEMBIM與快速多極子技術(Fast Multipole Method, FMM)[18,19]結合計算了水平極化和垂直極化波入射下一維分層介質粗糙面上方二維涂覆目標的雙站散射系數(Bistatic Scattering Coefficient, BSC)[20]，顯著提高了仿真效率；Sun等人將FEM/MoM方法與多層快速多極子技術結合計算了二維介質粗糙面上方三維介質目標的電磁散射[15]，極大地提高了計算效率，減少了內存資源消耗。但上述工作均針對粗糙面上方目標的散射問題，將FEM-BIM-FMM應用于二維介質粗糙面下方導體目標電磁散射特性的研究還未見報道。

本文將三維矢量FEM-BIM與FMM結合研究了二維介質粗糙面下方導體目標的復合電磁散射特性，推導了復合模型電磁散射的FEM-BIM-FMM公式。在仿真中，采用FEMBIM處理導體目標的散射場，為了保證收斂速度，采用PMCHW積分方程組處理介質粗糙面的散射場，導體目標與粗糙面之間的耦合場通過復合模型表面的積分方程進行考慮；針對FEM-BIM矩陣方程組的特點，采用混合求解器求解復合模型的矩陣方程組，并采用FMM加速迭代求解過程；通過與MoM和傳統FEM-BIM的對比，驗證了本文算法的精確性和高效性；最后，結合Monte-Carlo方法，數值模擬了二維粗糙地面下方炸彈型導體目標的電磁散射，分析了土壤濕度、埋地深度和地面粗糙度等參數對復合模型電磁散射特性的影響。

1 理論模型及公式推導

圖1為二維介質粗糙面下方埋藏導體目標的電磁散射模型，其中粗糙面Ss被截斷為正方形區域，其長度為L，為粗糙面的外法向單位矢量，粗糙面上半空間 ΩU的相對介電常數和磁導率分別為εU和μU，下半空間 ΩD的相對介電常數和磁導率分別為εD和μD；錐形入射波Einc以入射角θinc和φinc照射到復合模型表面，Js和Ms為粗糙面上的感應電磁流。

圖1 二維介質粗糙面下方埋藏導體目標的電磁散射模型

采用FEM方法處理導體目標的內部場。取虛構邊界 tS將導體目標包圍，內部空間為 tΩ，t?n為 tS的外法向單位矢量；tJ和 tM分別為目標表面的感應電磁流。根據有限元方法的基本思想， Ωt內部的電場E(r)可以通過求解下面的等效變分問題獲得：

其中：

式中k0和η0分別表示真空中的波數和波阻抗。采用四面體單元和Whitney矢量基函數N(r)[21]將 Ωt內的電場E(r)離散，表達式為：

其中 tW表示四面體棱邊的個數，mE為電場展開系數。同時采用RWG基函數f(r)[22]將St上的感應電磁流離散，表達式為：

式中 tN為虛構邊界上三角形棱邊的個數。將(3)式和(4)式代入到(2)式可以得到下面的有限元矩陣方程組：

其中：

介質粗糙面及目標的耦合場采用BIM方法考慮。虛構面 tS上的場滿足下面的電場積分方程：

其中ηD為空間 ΩD的波阻抗，算子L(X)和K(X) 的表達式為：

其中G表示格林函數。粗糙面上的場可以用PMCHW積分方程描述，表達式為：

其中 Uη為空間 UΩ 的波阻抗。將粗糙面用三角形面元離散后，粗糙面上的未知量可以用RWG基函數展開為：

式中：

聯立(6)式和(16)式即得到了復合模型的FEM-BIM矩陣方程組，求解該方程組即可得到模型表面的電磁流信息。為了提交求解效率，本文采用LU分解法和廣義最小殘差法（Generalized minimal residual method, GMRES）混合迭代求解FEM-BIM矩陣方程組，首先假定{Jt}= 0、 {Ms}=0和{Js} = 0，結合{Jt}采用LU分解法求解(6)式，得到{Mt}；然后結合{Jt}、{Mt}、{Js}和{Ms}用GMERS求解(16)式，得到新的{Jt}、 {Mt}、{Js}和{Ms}；直到迭代誤差小于10-3。

獲得模型表面的電磁流信息后，可以采用下式計算復合模型的BSC：

其中Escat(r)為復合模型在上半空間中的散射場，其計算表達式為：為入射波功率，式中g =L4表示錐形波因子。

為了提高仿真效率，本文采用快速多極子技術加速GMRES迭代求解過程。按照快速多極子的思想將復合模型表面的未知量分組后，面元間的強相互作用仍然采用(17)~ (20)式計算，而弱相互作用則由下面各式計算。

其中Uk和Dk分別為空間 UΩ 和 DΩ 中的波數，矩陣A、B、T和D的表達式如下：

其中當l=U時，, sij= 。

2 數值算例

為了驗證算法的正確性，分別采用FEM-BIM、MoM和FEM-BIM-FMM計算二維高斯介質粗糙面下方導體立方體的雙站散射系數，仿真實現的硬件平臺為：AMD Ryzen 9 5950X CPU， 內存：32 GB。模型參數設置如下：粗糙面尺寸8m × 8m，均方根高度δ= 0.05 m ，相關長度lc= 0.15 m ，εD= 2.0 - j0.2，μD= 1.0，立方體的邊長為0.6 m，埋藏深度3.5 m，入射波為橫電波（TE波），頻率為0.3 GHz。圖2給出了三種方法的對比結果，從圖中可以看出，兩種入射角下，三種方法的計算結果均吻合良好，驗證了本文算法的正確性。表1給出了FEM-BIM和FEM-BIM-FMM的求解時間及內存需求對比，從表中可以看出，FEM-BIM-FMM的求解時間和內存需求分別為傳統FEM-BIM的14.6%和9.2%，計算資源消耗明顯減少，說明了本文算法的高效性。

圖2 二維介質粗糙面下方金屬立方體的BSC:(a) inc=0θ °；(b) inc=30θ °

表1 不同方法計算介質粗糙面下方金屬立方體BSC時的求解時間及內存需求對比

下面采用FEM-BIM-FMM方法分析地面下方炸彈型金屬未爆物的電磁散射特性。炸彈型金屬未爆物的幾何尺寸如圖3所示，埋地深度1.0 m；地面幾何尺寸為10m10m× ，土壤是由空氣、水和固態土壤等組成的介電混合體，其相對介電常數受土壤濕度、土壤溫度、土壤含沙量和土壤黏土含量等因素的影響，本文采用Wang等人建立的四成分模型來描述土壤的介電常數[23]。在本文后面的算例中取土壤溫度為T= 20°C ，土壤濕度mv= 0.1gcm3，土壤含沙量S= 17.2%，黏土含量C= 19.0%。入射波的參數與上例相同。

圖3 金屬炸彈型目標幾何尺寸示意圖

圖4 分析了土壤濕度 vm變化對復合模型電磁散射特性的影響。從圖中可以明顯看出，兩種入射角下，對于確定的土壤類型（土壤含沙量和黏土含量保持不變），隨著土壤濕度 vm的增大，BSC在整體上呈現出明顯增大的趨勢。這主要是因為，土壤濕度變化對土壤介電常數有較大的影響，且隨著濕度的增大，土壤介電常數實部增加明顯，導致反射增強，BSC增大。

圖4 不同土壤濕度mv時地面下方埋藏炸彈型目標的BSC

圖5 分析了炸彈型目標的埋地深度變化對復合模型電磁散射特性的影響。如圖所示，兩種入射小下，埋地深度變化對鏡向散射角附近的BSC幾乎沒有影響，但對其它散射角方向的BSC影響較大，且隨著埋地深度的增大BSC呈現出減小的趨勢。這主要是由于鏡向散射角附近的散射場主要來源于地面反射，而目標的存在主要影響非鏡向方向的散射場，因此埋地深度變化主要影響非鏡向角方向的BSC。

圖5 不同埋地深度時地面下方埋藏炸彈型目標的BSC

圖6 分析了地面粗糙度變化對復合模型BSC的影響，其中相關長度lc= 1.0m ，從圖中可以看出，隨著均方根高度δ的增大，鏡向方向的BSC明顯減小而其它散射角方向的BSC明顯增大，這主要是由于當δ增大時，地面粗糙度增加，鏡向反射減弱而漫反射增加，導致非鏡向角方向的BSC增大。

圖6 不同均方根高度時地面下方埋藏炸彈型目標的BSC

3 結論

本文將FEM-BIM與FMM結合，提出了一種用于研究二維介質粗糙面下方金屬目標電磁散射特性的高效數值算法，推導了FEM-BIM-FMM的理論公式，采用PMCHW積分方程處理粗糙面的散射場，埋地目標的散射場采用FEMBIM處理，目標和粗糙面之間的耦合場通過模型表面的積分方程進行考慮。根據模型矩陣方程組的特點，采用用FMM加速的混合求解器求解FEM-BIM矩陣方程組。與傳統FEM-BIM方法相比，在保證計算精度的前提下，FEM-BIMFMM可以極大地提高仿真效率，降低計算機內存需求。最后，結合Monte-Carlo方法，數值分析了二維介質高斯粗糙面下方炸彈型金屬目標的電磁散射特性，研究了土壤濕度、炸彈埋地深度和地面粗糙度對復合模型BSC的影響，并給出了一些有意義的結論。