通過一道習題及變式談對函數的理解

◇ 安徽 李 華

(作者單位:安徽省潁上第一中學)

學習函數,關鍵是要抓住函數的三要素:定義域、對應法則與值域.那么函數的定義域、對應法則與值域三者之間有什么關系呢? 這個問題是教師教學首先要解決的問題.由于函數概念比較抽象,學生對函數概念的理解往往不到位,為此教師除了在理論上加以闡述外,還要從實例出發(fā),讓學生通過例子以及對例子延展來加深對函數概念的理解.例子從何而來,筆者認為應盡可能從教材中找,從教材例子出發(fā),加以適當變式,以促使學生對函數概念形成完整認識.

引例探究是否存在函數f(x),g(x)滿足條件:

(1)定義域相同,值域相同,但對應關系不同;

(2)值域相同,對應關系相同,但定義域不同.

本題要求同學們深刻領會函數的概念.我們必須明確,定義域、對應法則與值域,是函數的三要素,缺一不可.設函數的定義域為集合A,對應法則為f,則函數的值域為{f(x)|x∈A}.于是我們可以看出,函數的值域歸根到底是由它的定義域和對應法則確定的.所以我們可以這樣認為,如果兩個函數的定義域和對應法則分別相同,那么這兩個函數是同一個函數.

(1)如果存在函數f(x),g(x)滿足條件:定義域相同,值域相同,但對應關系不同,那么這兩個函數一定不是同一個函數.這樣的函數是存在的,如下兩個函數的定義域和值域都是[0,＋∞):f(x)＝x2,g(x)＝|x|.

(2)如果存在函數f(x),g(x)滿足條件:值域相同,對應關系相同,但定義域不同,那么這兩個函數一定也不是同一個函數.這樣的函數同樣是存在的,如函數f(x)＝x2,定義域為{0,1,2},則值域為{0,1,4};函數f(x)＝x2,定義域為{0,－1,－2},則值域也為{0,1,4}.

函數雖然體現了兩個非空數集之間的對應關系,但歸根到底函數是由定義域和對應法則確定的,因此我們在求函數關系式時,不要忘記注明函數的定義域.

變式1下列說法錯誤的是( ).

A.在函數值域中的每一個值都能找到與之對應的定義域中的值

B.函數的定義域是無限集,則值域也是無限集

C.當一個函數的定義域與對應關系確定后,它的值域也就確定了

D.若函數的定義域中僅有一個元素,那么它的值域中也僅有一個元素

本變式設計的目的是要求學生不僅要從正面理解函數概念,還要從反面的角度加以辨析,從而達到舉一反三、融會貫通的教學效果.

變式2設M ＝{x|0≤x≤2},N ＝{y|0≤y≤2},圖1的4個圖象中,其中能表示由集合M 到集合N 的函數關系的有( )個.

圖1

A.0 B.1 C.2 D.3

①錯,x＝2時,在N 中沒有元素與它對應,故不滿足任意性.②對,這種對應關系同時滿足任意性與唯一性.③錯,x＝2時,對應元素y＝3?N,不滿足任意性.④錯,x＝1時,N 中有2個元素與之對應,不滿足唯一性.故僅有②正確,選B.

本變式是變式1的特殊化,讓學生從數與形的角度去進一步認識函數,領悟函數概念的內涵,即A 中元素無剩余,B 中元素允許有剩余.允許出現“多對一”,但不允許出現“一對多”.

變式3下列函數中,與函數y＝x＋1是相等函數的是( ).

判斷兩個函數是否相同,也是函數概念教學中的一個重點問題,看兩個函數是否是同一個函數,不僅要考查函數的對應法則,還要考查函數的定義域.這兩點往往容易被學生忽視,尤其是函數的定義域,本變式的設計目的就是要讓學生感知函數概念中定義域的重要性.

變式4已知某函數滿足如下兩個條件:一是解析式為y＝x2,二是值域為{1,4},試問這樣的函數有多少個?

當函數的解析式和值域確定后,它的定義域不是唯一的.本題可采用列舉法,由已知的對應法則與值域,可得定義域可能是{1,2},{－1,2},{1,－2},{－1,－2},{1,－2,2},{－1,－2,2},{－1,1,2},{－1,1,－2},{－1,1,－2,2}.所以滿足條件的函數有9個.

本變式是在前3個變式基礎上的拓展,對學生有一定的能力要求.通過本題的解決,不僅可以讓學生深刻領悟函數的概念,而且可以讓他們的數學思維上升到一個更高的層次.

基于以上的分析,對于函數概念不難得出如下結論:

1)判斷兩個函數為同一函數的依據,一是定義域要相同,二是對應關系也要相同;

2)函數的定義域是函數的靈魂,它決定了函數的值域,并且它是研究函數性質和圖象的基礎,因此,我們一定要樹立函數定義域優(yōu)先意識.