“一二三四”法破解追及相遇問題*

安 然 何 娟

(阜陽師范大學物理與電子工程學院 安徽 阜陽 236037)

追及相遇問題是高中物理中的難點問題，同時也是歷年高考中的常見考點.面對各種復雜的運動情況，學生往往沒有頭緒，不知從何處入手.部分教師習慣于歸納總結具體類型以便學生解題，例如：勻加速追勻速、勻速追勻減速、勻加速追勻減速等等.然而學生在解決具體問題時僅僅記住教師給出的模型，生搬硬套，一旦題目有變化便難以解答.因此,只有將所有類型統一起來，歸納出一般的解題思路與技巧，才能從根本上突破追及相遇問題[1～4].本文根據筆者長期的教學實踐，總結出“一二三四”法來破解追及相遇問題并舉例說明，供廣大物理教師參考與借鑒.

1 “一”個概念先牢記

追及相遇問題的實質是研究兩個物體的時空關系，而其中核心的概念“相遇”是指兩個物體在同一時刻處于同一位置.具體題目中可能會出現某些隱含字眼，例如“恰好”“剛好”“避免”等等，這些詞語往往意味著“相遇”的發生.此外，值得強調的是在追及相遇問題中，“剛好相遇”與“剛好不相遇”描述的是同一種狀態，即兩物體同一時刻處于同一位置.

2 “兩”類圖像畫仔細

圖像對解決物理問題有很大幫助，追及相遇問題亦是如此.該問題主要涉及兩類圖像，一是兩物體運動的示意圖；二是描述物體運動的物理量之間的函數關系圖(以v-t圖像為主).將兩類圖像準確無誤地畫出，有助于讀懂題目，明確運動過程，為后續解題做鋪墊.

3 “三”條關系來分析

在明確運動過程之后需要分析題目，此時應借助3條關系：時間關系、位移關系、速度關系.

時間關系是指兩個物體各自的運動時間之間的聯系.若同時運動同時停止則t1=t2；若兩個物體運動有先后順序則t1=t2+t0.

位移關系是指兩個物體各自的位移之間的聯系.在確定兩物體位移關系時通常借助兩物體運動示意圖.此外還要注意兩物體是否從同一地點出發，如不是，還要考慮初始位置之間的位移差.

速度關系是指兩個物體各自的速度之間的聯系，是3條關系中最重要的一條.當速度相等時，是兩物體間距離最大或最小，恰好追上或恰好追不上，不相遇、相遇一次或相遇兩次，或恰好不相撞的臨界條件.

4 “四”大方法去解題

在完成了審題、析題之后就要進行解題，具體有4種方法，分別是：臨界法、圖像法、函數法和相對運動法.下面以一道題為例，分別介紹4種方法并展示運用這4種不同的方法解答，最后加以評析.

【例1】甲車以v1=20 m/s的速度在平直公路上勻速行駛，突然駕駛員發現正前方100 m處有另一輛汽車乙正以v2=10 m/s的速度同向勻速行駛，駕駛員立即制動，假設制動過程中甲車做加速度大小為a的勻減速直線運動，乙車保持勻速運動，若要使兩車不相撞，a應滿足什么條件？

4.1 臨界法

臨界法在解決物理問題過程中應用廣泛，對于追及相遇問題，臨界條件即共速.例如速度大者減速追趕速度小者勻速，當共速時恰好追上，此時處于臨界狀態；又如速度小者加速追趕速度大者，在共速時兩物體間距離最大.此題運用臨界法解答如下.

解：設a最小值為a0，此時甲乙兩車恰好不相撞.由臨界法可知，當甲乙兩車共速時如未相撞，則將不會相撞.根據速度關系有

v1-at=v2

根據甲、乙兩車位移關系有

其中

s0=100 m

以上代入數據可得

a0=0.5 m/s2

所以要使兩車不相撞

a≥0.5 m/s2

評析：臨界法是解決追及相遇問題最普遍、最常用的方法，其思路清晰、邏輯流暢，同時也是最常規的方法，在教學中應使全體學生掌握.

4.2 圖像法

圖像法是指根據x-t圖像和v-t圖像，利用圖像的斜率、截距、面積的物理意義求解的方法.利用x-t圖像求解時，分別作出兩個物體的x-t圖像，如果兩個物體的x-t圖線相交，則說明兩物體相遇；利用v-t圖像求解時，注意比較v-t圖線與時間軸所圍圖形的面積與初始距離.此題運用圖像法解答如下.

解：分別作出甲、乙兩車的速度-時間圖像如圖1所示，即t0時刻兩車恰好不相撞，由題意及v-t圖線與t軸所圍圖形面積的物理意義有

圖1 甲、乙兩車的v-t圖

代入數據解得

t0=20 s

解得

則a≥0.5 m/s2.

評析：利用圖像將追及和相遇的物理過程清晰、直觀地展示出來，有助于學生理解與分析題目，圖像法解題還可以培養學生作圖、識圖、用圖的能力，提升數形結合的思維.

4.3 函數法

先求出在任意時刻t兩物體間的距離y=f(t)，若對任何t均存在y=f(t)>0，則這兩個物體不能相遇；若存在某個時刻t使得y=f(t)≤0，則這兩個物體能相遇.此題運用函數法解答如下.

解：為使兩車不相撞，其位移關系應滿足

代入數據得到

根據二次函數知識可知，若使函數值大于或等于零，其頂點的縱坐標必然大于或等于零，因此代入數據可得

解得

a≥0.5 m/s2

評析：函數法將物理問題轉化為數學問題進行求解，對學生數學水平有一定要求，且有利于培養學生數學與物理相結合的思想.

4.4 相對運動法

相對運動法是利用相對運動的知識求解追及相遇問題，通過選擇合適的參考系，簡化物理情境，最終解決問題.在運用此方法時應注意將兩物體相對地面的物理量(位移、速度和加速度)轉化為相對的物理量.此題運用相對運動法解答如下.

解：設a最小值為a0，此時甲、乙兩車恰好不相撞.以乙車為參考系，則甲車的初速度為v0=10 m/s，以加速大小a0減速，行駛s0=100 m后“停下”，末速度為vt=0.根據勻變速直線運動位移時間公式有

代入數據解得

a0=0.5 m/s2

則

a≥0.5 m/s2

評析：相對運動法過程簡單，運算量小，但對學生知識水平要求較高，需在扎實并熟練掌握勻變速直線運動規律的基礎上運用，適用于學有余力的學生，不做全體要求.

綜上所述，掌握“一個概念先牢記、兩類圖像畫仔細、三條關系來分析、四大方法去解題”的解題步驟與思路，方能以不變應萬變，徹底破解追及和相遇問題.