對一道共振習題引發問題的探討

楊鈞捷

(江蘇省海門中學 江蘇 南通 226100)

1 問題引入

在一次習題教學中筆者講述了這樣一道習題，題目如下.

【例題】如圖1所示，球a振動后，通過水平細繩迫使b和c振動，下列說法中正確的是( )

圖1 例題題圖

A.只有球a和球c振動周期相等

B. 球c的振幅比球b小

C. 球c的振幅比球b大

D. 球a,球b,球c的振動周期不等

教輔資料中給出的參考答案是： 球a振動充當驅動球，b和c兩球的振動周期都應當等于球a的振動周期，所以A和D錯誤.球c的擺長與球a的擺長相同，周期也相同，所以球c做受迫振動的振幅大，B錯誤，C正確.

教學中學生提出這樣一個問題，球b雖然不能產生共振，但它的質量小，道理上它的振動更“容易”，這樣，會不會導致其振幅比球c共振時的振幅還要大呢？這個問題同時也引發筆者思考，在周期性驅動力作用下，單擺的振幅與質量到底有些什么關系？鑒于此問題對于中學命制此類試題有一定價值和意義，為此，本文嘗試在此作出深入探討.

2 問題探討

2.1 建立模型

球b提供驅動力，認為b和c兩球都受到相同的驅動力，則

F=F0cosωt

其中,F0是驅動力的幅值，ω是驅動力的角頻率，單擺在回復力和驅動力的作用下，根據牛頓第二定律

其中,m為擺球質量，l為擺長,用微分方程表示為

求解可得，當振動穩定下來后，單擺位移隨時間的變化關系為

2.2 分析結果

就本文前述習題而言，球b雖然質量小，其振幅會有所增加，但由于球c發生了共振，從理論上講，其振幅可以接近無窮大，所以球c的振幅一定是最大.

2.3 拓展與討論

實際實驗中，我們觀察到共振時，單擺的周期并不是無窮大[1].這主要是因為存在阻尼作用，如果考慮這個因素，單擺的運動方程變為

求解微分方程可得，當振動穩定下來后，單擺位移隨時間變化情況滿足

易得，球b受迫振動的振幅為

同理，球c受迫振動的振幅為

3 結束語

本文從振動微分方程求解的角度，證明了擺球質量確實會影響受迫振動振幅，但無論是否考慮阻尼影響，質量是否相同，共振的振幅是大于其他情況的.此探討主要是為了便于教師從本質上更好理解受迫振動和共振，從另一個角度思考此類力學問題.

致謝

本文撰寫過程中得到昆明市五華區教育體育局副局長、五華區基礎教育發展研究院趙堅老師的悉心指導.