空氣的浮力與不連續性對密立根油滴實驗測量值影響的定量分析

劉宇飛

(桂林理工大學理學院 廣西 桂林 541008)

劉小良

(中南大學物理與電子學院 湖南 長沙 410083)

密立根油滴實驗最先是由美國的物理學家密立根(R.A.Millikan)設計出來的，用以測定基本電荷的電荷量并證實電荷的量子化現象[1].實驗中先測量出大量帶電油滴所帶的電荷量值，然后采用逐差法或作圖法計算出基本電荷的電荷量，或者說電子的電荷量[2～4].此外，隨著基本電荷電荷量測量精度的大大提高，已經得到公認的基本電荷的電荷量值為e=(1.602 177 33±0.000 000 49)×10-19C[5]，目前,許多大學物理實驗教學中，倒驗法也被普遍使用[6,7].測量油滴所帶的電荷量有兩種基本方法：一種是動態法，首先測出帶電油滴在未加外場時在空氣中勻速下落的速度，然后測量外加適當與重力相反的電場力時帶電油滴勻速上升的速度，最后再由力的平衡方程得出帶電油滴的電荷量；另一種方法是靜態法，也叫平衡法，首先外加一個適當的電場力與帶電油滴的重力平衡，然后撤除電場力使油滴在重力和空氣對它的粘滯阻力下達到勻速下落狀態，測出其勻速下落速度，最后根據力的平衡方程得到油滴的帶電荷量[8～10].相對來說靜態測量法原理簡單，操作比較容易，數據處理方便，因此，成為大學物理實驗中常選的實驗方法，本論文的討論主要是基于靜態測量法.為了實驗的方便，一些常用實驗方法中常將油滴所受空氣浮力忽略，甚至忽略空氣的不連續性對空氣粘滯系數的影響，這樣就導致了測量結果的系統誤差，已經有部分文獻對此有過定性或不同程度的定量分析[11,12]，但仍然存在促進其嚴謹性空間.本文將從理論上嚴格推導空氣浮力與空氣的不連續性對油滴帶電荷量的影響，并定量化不計空氣浮力與空氣的不連續性對測量結果造成的相對誤差.

1 不計空氣浮力與不連續性時油滴的電荷量

在忽略空氣浮力與空氣的不連續性前提下，靜態測量法獲取帶電油滴的處理過程可以簡述如下.

調節油滴盒兩極板之間的電壓，使油滴處于平衡狀態，可得到平衡方程

(1)

其中q,U,d,m和g分別是油滴電荷量、極板之間的電勢差、極板之間的距離、油滴質量和重力加速度.要獲得油滴電荷量需要獲取油滴的質量，然而此處油滴的質量太小，無法用天平等直接方法稱量，需要采用間接的方法獲得.

考慮到在表面張力作用下，油滴呈現為球體狀，可以將油滴的質量表達為如下形式

(2)

其中ρ和r分別是油滴的質量密度和油滴的半徑.

為了獲得油滴的半徑值，關閉加在油滴盒兩極板之間的電壓，此時油滴在重力作用下首先呈加速下落，然后會受到一個大小與油滴下落速度成正比的空氣的粘滯阻力，最后油滴的受力達到平衡后會呈勻速下落狀態.根據斯托克斯定律，可以寫出該狀態下的平衡方程

6πrηv=mg

(3)

其中η為空氣的粘滯系數，v為油滴勻速下落時的速度.

聯立式(1)～(3)，可將油滴的電荷量表述為

(4)

2 不計空氣浮力與不連續性時油滴的電荷量測量結果的誤差分析

2.1 空氣浮力對實驗結果的影響

由于該實驗是在大氣環境下進行的，油滴必然會受到空氣浮力的作用，上述平衡方程(1)和(3)必須考慮油滴所受的空氣浮力

(5)

其中ρ′為空氣的質量密度.容易得到，當計入空氣對油滴的浮力時，式(4)中的ρ需要修正為ρ-ρ′，即計入空氣浮力前后ρ的增量為Δρ=-ρ′，于是由式(4)的微分，可以得到q的增量

(6)

2.2 空氣的不連續性對實驗結果的影響

當將空氣視為連續均勻介質時，空氣的粘滯系數為常數，由方程(2)、(3)可得出油滴的半徑表達式

(7)

由于油滴的半徑非常接近于常溫下空氣分子的平均自由程，此時的空氣不能視為連續均勻介質，其粘滯系數需要修正為

(8)

其中p為空氣壓強，b為修正系數.將修正后的粘滯系數取代方程(3)中的粘滯系數 ，再和式(1)、(2)聯立可得到油滴的半徑和油滴帶電荷量為

(9)

(10)

由式(10)容易看出，當忽略空氣的不連續性時，相當于其中的修正系數b取0值，式(10)即轉化為式(4).當計入空氣的不連續性時，b的增量為

Δb=b-0=b

由式(10)的微分，可以得到q的增量

秦鐵崖伸手示意：“這是刑部趙大人交給我的差事，現在交差。我已給老仙翁說好，騰一座小院出來，專供你表姐居住。”說罷拱手告辭。

(11)

對應的相對誤差為

(12)

已知油滴的密度以及其他各參數值分別為

p=1.01×105Pa

b=8.22×10-3Pa·m

g=9.79 m·s-2

η=1.83×10-5kg·m-1·s-1

而油滴的勻速下落速度基于實驗測量結果，這里可以取

v=7.5×10-5m·s-1

將全部參數代入式(11)，可以得到Δq為負值，意味著若不考慮空氣的不連續性時將高估油滴的帶電荷量，并且可以計算出此時的相對誤差約為15.2%，因此,為了提高實驗的精度，在測量油滴的帶電荷量時必須考慮空氣的不連續性的影響，需要對空氣的粘滯系數進行修正.

鑒于式(10)處理起來有點困難，比較方便的處理方法是將修正后的粘滯系數式(8)代入式(4)得

(13)

并且在數據處理時，將油滴的半徑r用式(7)代入.

可以證明這種處理方法對由于空氣的不連續性引起的系統誤差的消除上，與采用式(10)有幾乎等價的效果.由式(4)和(13)，可得

(14)

于是有

(15)

將已知參數代入后可以得到該相對誤差值約為12%，與基于式(10)得到的15.2%比較接近，已經基本包含了空氣的不連續性對油滴電荷量的影響.

如果同時考慮空氣的浮力與空氣的不連續性，則油滴帶電荷量的精確表達式可寫為

(16)

該式可以充分消除油滴電荷量測量值中因浮力和空氣的不連續性所導致的系統誤差.相應地，油滴電荷量的近似表達式(13)可以修正為

(17)

3 結束語

在密立根油滴實驗中，如果不計入空氣浮力和空氣的不連續性，會對油滴帶電荷量的測量結果產生系統誤差.在典型參數設置之下，可以發現，忽略空氣浮力產生的相對誤差不超過0.1%，對實驗結果的影響是比較微小的，所以無論在靜態法還是動態法中，都可以忽略油滴所受的空氣浮力.然而當忽略空氣的不連續性、不均勻性時，產生的相對誤差可以達到15.2%，導致測量結果有大的偏離，因此，在實驗中必須考慮空氣的不連續性對空氣的粘滯系數的影響，從而提高油滴帶電荷量測量的精度.