準確把握學情 科學實施教學
——對人教版“三角形意義與分類”的精準教學思考與實踐

浙江省杭州市蕭山區(qū)湘師實驗小學 李凌云

浙江省杭州市蕭山區(qū)夾灶小學 李國良

一、課前慎思

實施精準教學要根據(jù)課標的要求和學生發(fā)展的實際，全面研判教材的編排體系，遵循學生的認知規(guī)律，準確把握教學目標和教學內(nèi)容，從而有效建構(gòu)起教學結(jié)構(gòu)。人教版數(shù)學 “三角形”單元涉及三角形的認識與特性、三邊關(guān)系、分類及三角形的內(nèi)角和與多邊形內(nèi)角和等知識點。基于學情，我們認為，對于這樣的編排，在課時安排上可以做一些調(diào)整，一是在學習三角形的底和高時，需要運用到三種不同類型的三角形，特別在對直角三角形與鈍角三角形高的認識與畫高時，學生存在著較大的困難；二是在一年級時，學生已經(jīng)認識了三角形，知道了三角形由三個尖尖的點、三條直直的邊、三個角組成，也就是說，四年級學生是比較容易理解三角形的定義的，而三角形的分類也是認識三角形的重要組成部分，它們的共性就是三角形的定義，不同點就是角與邊的大小、關(guān)系等。

筆者以為，可以把“三角形分類”結(jié)合在“三角形認識”一節(jié)課中，把教材中的“三角形的特性”安排在“三邊關(guān)系”中，而把“底和高的認識”單獨成立一節(jié)課。這樣，學生對三角形的認識、分類會更加深刻，對三角形的穩(wěn)定性認識、底和高的學習會更加到位，從而更加完整與全面地認識三角形。

二、基礎(chǔ)慎析

學情基礎(chǔ)是在開展教學前通過不同的調(diào)查方式對學生的知識水平、已有經(jīng)驗、思維能力等方面進行了解、分析與思考，為教學設(shè)計、實施有針對性教學等提供依據(jù)。

（一）調(diào)查內(nèi)容的擬定與思考

基于對教材的分析與調(diào)整，結(jié)合“三角形認識與分類”的教學內(nèi)容與要求，筆者根據(jù)思維發(fā)展水平層次設(shè)計了5個問題，旨在了解學生關(guān)于三角形的知識儲備、分類標準、圖示表征、深度理解等能力水平。

一級思維層次。本層次涉及兩道題目，一是要求畫出3個不一樣的三角形，二是尋找3個三角形的共同點。主要考查學生能否從平時接觸的三角形（三角板）中畫出三類三角形，初步了解學生對三角形的共性與個性的把握程度，為后續(xù)分類做準備。

二級思維層次。本層次有兩道題目，一是給畫出的三角形取個名稱并說說理由，二是除上述名稱外，還知道哪些三角形。主要了解學生能否從角或邊的特征來抽象出三角形的名稱及對已掌握的三角形的名稱的理解程度。

三級思維層次。本層次設(shè)計了一道題目，表征出三角形的類別和它們之間的關(guān)系。主要調(diào)查學生對三角形分類的掌握情況，特別是按角的特征與按邊的特征進行分類后的關(guān)系圖，了解學生的表征能力及對三角形分類本質(zhì)的理解力。

（二）調(diào)查結(jié)果的梳理與分析

本次調(diào)查，選擇了兩所小學各兩個班級的180個四年級學生進行前認知的調(diào)查，要求獨立完成，用時10分鐘。根據(jù)上述思維層次，筆者進行了梳理與統(tǒng)計，具體見表1、表2、表3。

表1 一級思維層次答題情況

表2 二級思維層次答題情況

表3 三級思維層次答題情況

從上述統(tǒng)計可以看出：

（1）大部分學生能從不同的角度畫出不一樣的三角形，53.9%的學生分別畫出了按角分類的三類三角形，其中銳角三角形占多數(shù)，鈍角三角形相對較少；而從邊的角度畫出等腰三角形的學生只占8.3%。畫等邊三角形有一定難度，因此，沒一個學生能畫出來，這說明如果不刻意強化邊的長度，學生很少會想到等腰三角形或等邊三角形，這說明三角形角的特征對于學生來說更加直觀一些、本質(zhì)一些。

（2）大部分學生能根據(jù)畫出的三角形說出名稱，但基本停留于銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形上；闡述理由方面正確率較低，特別是銳角三角形，18.9%的學生表述成有銳角的三角形叫作銳角三角形。對于等腰三角形和等邊三角形，分別有45人和23人說到，說明學生還是知道涉及邊的三角形名稱，只是在畫的過程中較少呈現(xiàn)從而無法闡述理由。

（3）從角的分類情況看，83.3%的學生能分清楚三類三角形，遠遠高于從邊的角度來分析三角形。而對于從關(guān)系的角度來厘清三角形之間的區(qū)別與聯(lián)系，學生在認知上存在困難。

分類既是一種數(shù)學活動，也是重要的數(shù)學思想，而分類后通過對事物之間關(guān)系的分析既能厘清其聯(lián)系也能分析其區(qū)別。學生要正確掌握從角和邊兩個維度來進行分類并理解各種三角形之間的關(guān)系，需要了解一類事物的共同特征和性質(zhì)，再進行相似類之間的比較，也就是先尋找共性再找異相。筆者認為，教材內(nèi)容的調(diào)整與整合是合理的，可以加深學生對三角形更立體化的認知，在學生自行畫三角形的過程中找到共性的特征：由三個點、三個角、三條邊首尾連接的平面圖形。然后尋找每一個三角形的個性特征，可以從角或邊的角度進行分析，最終找到不同類三角形之間的聯(lián)系與區(qū)別。當然，在研究三角形分類時，學生往往會從“角”的角度展開，這樣顯得更加本質(zhì)一些。

三、實踐慎行

人類認識事物必須經(jīng)歷兩項活動，一項是對事物進行分類，一項是對每類事物進行度量。沒有這兩項活動的展開，學生就很難認清研究對象的性質(zhì)、特征。因此，通過“三角形認識”前對其概念的全面了解與分析，我們采取了兩次比較的方式讓學生分別從角和邊的角度來認識三角形。學生知道按角分有銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，它們存在著并列的關(guān)系；按邊分有一般三角形、等腰三角形、等邊三角形，它們存在著包含關(guān)系。這樣分類有利于更精準地開展教學，使學生更深刻地認識三角形的特征。

（一）基于比較理解三角形分類中的并列關(guān)系

概念是思維的基本形式之一，它需要把客觀事物一般的、本質(zhì)的共同特征反映出來，沒有概念就難以對事物進行判斷、推理與論證。課始，筆者組織學生畫三個自己認為不一樣的三角形，把與眾不同的三角形貼在黑板上（如圖1），并設(shè)疑：這些圖形為什么都稱為“三角形”。學生通過討論得出，這些圖形的共同特征是由三條線段圍成，而且相鄰兩條線段的端點首尾相連。三角形的定義在尋找共性中自然而然地被抽象出來。

圖1

隨后，教師提問：“這些展示的三角形有什么不一樣嗎？”

生1：有的三角形是直的，有的三角形是斜的。

生2：有的三角形有直角，有的三角形有鈍角，有的三角形只有銳角。

生3：有的三角形有一個直角、兩個銳角，有的三角形有一個鈍角、兩個銳角，有的三角形有三個銳角。

師：如果讓你給這些三角形分類，你準備怎么分？說說理由。

生1：可以分兩類，③④是有直角的三角形，其余是沒有直角的三角形。

生2：可以分三類，①⑥是有鈍角的三角形，③④是有直角的三角形，②⑤⑦是有銳角的三角形。

生3：同意生2的觀點，但不是把有銳角的三角形歸為一類，而是把有三個銳角的三角形歸為一類。

……

接著，大家一起討論分成三類的理由，并用圖的形式把它們之間的關(guān)系表征出來。這一尋找共性與個性的教學，正是基于調(diào)查結(jié)果的運用。學生在畫三角形的過程中，很少會從邊的角度去畫等腰三角形與等邊三角形，自然不會想到從等腰三角形與等邊三角形上進行分類，這樣可以更加本質(zhì)地從角的關(guān)系上進行三角形的分類。

在此基礎(chǔ)上，筆者要求學生進一步尋找這些三角形的共同特征，那就是每個三角形都有兩個銳角。在學生掌握三類三角形的定義后，筆者出示圖2，要求根據(jù)定義來判斷，進一步鞏固鈍角三角形與直角三角形最大的特征是有一個鈍角和一個直角，判斷銳角三角形必須明確有3個銳角。

圖2

筆者以為，二分法是分類中最基礎(chǔ)的方法。在前測與實際的教學中，部分學生容易以直觀的感知介入分類。此時，教師要大膽地引導學生進行討論、分析，從三角形顯著特征——角來明確分類，逐漸地按照同一標準分，使學生知道其結(jié)果也是唯一的，從而懂得以角為標準將三角形分為銳角、直角、鈍角三角形三類，它們之間的關(guān)系是并列的，均屬于三角形中的一種。

（二）基于度量感悟三角形分類中的包含關(guān)系

有了上述分類基礎(chǔ)后，筆者出示圖3，要求學生對這些三角形進行分類。很快，學生把①②⑤⑦歸為一類（銳角三角形）、③④歸為一類（鈍角三角形）、⑥為一類（直角三角形）。教師設(shè)疑：“這些三角形有什么共同特征？”學生通過分析、討論，一致認為它們都是軸對稱圖形，接著，學生進行度量、驗證，發(fā)現(xiàn)①③④⑤⑥有兩條邊相等，而②⑦有三條邊相等。明確有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形，三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形。在厘清分類標準，知道頂角、底角、腰的概念后，教師組織學生對等腰三角形與等邊三角形的關(guān)系進行表征，于是出現(xiàn)圖4的兩種情況。

圖3

圖4

生1：因為三角形也可以分成等腰三角形與等邊三角形，贊成前面一種。

生2：后面一種的關(guān)系圖還可以，等腰三角形是兩條邊相等，而等邊三角形是三條邊相等，這樣的圖讓我想到了正方形是特殊的長方形。

經(jīng)過集體討論，教師呈現(xiàn)出從邊的角度來研究等腰三角形與等邊三角形及一般三角形的關(guān)系，讓學生懂得按邊的關(guān)系來分析等腰三角形是特殊的三角形，而等邊三角形又是特殊的等腰三角形，它們是包含關(guān)系。

筆者以為，呈現(xiàn)出圖3這道題目，不僅可以讓學生鞏固按角分類的知識點，而且不經(jīng)意間引導學生從軸對稱圖形的維度來分析三角形，從而把觀察點落到邊的角度進行分析。一個好的學習素材，不僅能聚焦數(shù)學知識的本質(zhì)，還能提高課堂教學效率，達到事半功倍的效果。

接著，教師再次組織學生分析圖3，設(shè)問：“做了這道題目后，大家有什么想法？”

生1：如果從三角形的角來看，這些三角形可以分成三類；如果從邊的角度看，這些三角形可以分成兩類。

生2：從角進行分析，所有的三角形有銳角、直角、鈍角三角形三類；從邊進行分析，有一般三角形和特殊的三角形。

關(guān)于三角形的分類，我們不僅可以從角的維度去思考，還可以從邊的角度去分析。通過這一梳理與總結(jié)，學生體會到一個事物可以從多個不同的角度去認識，但一定要選擇合適的標準，才能對事物進行合理的分類。學生真正感悟到“換個角度看數(shù)學，一樣的數(shù)學不一樣的內(nèi)涵；換個角度看世界，一樣的世界不一樣的精彩”。

課標指出，課程內(nèi)容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、探索與思考。從初設(shè)教材的整合到學生認知基礎(chǔ)的調(diào)查，再進行課堂教學驗證，教師基于精準化課堂教學理念來改進教學方式與行為，使教學內(nèi)容更加符合學生的認知規(guī)律，更能提升學生對數(shù)學概念本質(zhì)屬性的認知，逐漸地使思維從感性走向理性。