基于學科核心素養的高中數學建模案例

■福建省漳州市龍海區實驗中學 楊惠凱

發展學生核心素養是當下高中教學的關鍵，也是我國課程改革深入的標志。高中建模活動是培養學生核心素養的有效載體，能引導學生運用數學知識解決實際問題。因此，教師需要重視高中數學建模活動的設計，積累成功案例經驗，推動數學學科核心素養的落實。本文基于學科核心素養，對如何設計成功的高中數學建模案例進行研究并提出幾點建議，以供參考。

一、基于學科核心素養的高中數學建模設計原則

數學建模活動的設計要以教學設計為主要框架，并按照新課標的教學要求開展，這樣才能真正落實學生核心素養的培養。而在設計建模活動中，教師要遵循以下基本原則：第一，處理好數學建模互動教學時機與課時的安排。根據高中數學教學特點分析，課程分為必修課程、選擇性必修課程、選修課程，不同課程的教學要求不同、課時分布不同，對應設計的數學建模活動也應有所不同。教師應以核心素養的培養為前提開展教學設計，必修課程課時最多、內容也更緊要，教師要重視基礎建模活動的設計，選擇2～3個課題指導學生對知識進行鞏固和強化。第二，確定教學重難點。建模案例的設計能讓學生參與其中，并對數學知識點有更深刻的認識，而且高中生已經具備初步的自主學習能力，為了保證不影響教學效率，教師應重視挑選教學重難點，圍繞重難點設計數學建模活動，并在活動中給予學生正確的指導，讓學生能在建立數學模型和求解中靈活運用所學的數學知識和解題技巧，達到鍛煉建模素養的目的。第三，創新教學形式。基于核心素養下的高中數學課堂，不能是教師用大部分時間灌輸知識的教學方式，也不能完全放任學生自由學習，而是要結合教學內容的難度和學生的思維水平、學習狀態、數學建模素養等進行選擇，促進“教”“學”共同成長。

二、結合常規教學的課內數學建模案例研究

在高中數學課堂中設計建模活動，目的是讓學生在深刻理解知識點的基礎上，掌握應用知識解決數學問題的能力。當知識儲備與能力相匹配時，學生才能學會用數學的眼光觀察世界、分析世界、描述世界，從而實現核心素養的培養和提升。教師要在課堂中以實際生活案例為切入點，引導學生建立數學模型，達到解決問題的教育目標。以“數學建模案例（二）：曼哈頓距離”為例，現實生活中很多城市的街道都是相互垂直或平行的，人們需要通過直行和拐彎才能到達目的地。德國數學家閔可夫斯基據此提出了“曼哈頓距離”，教師可以從中概括出問題，并在數學課堂中將其拆分為多個問題，引導學生參與建模活動中。

（一）提出問題

教師要先提出一個簡單的問題，引導學生構建數學模型，問題為：某地三個新建居民區位置分別位于三點，A（3，20），B（-10，0），C（14，0），現計劃在x軸上方區域（包含x軸）內的某一點P處修建一個文化中心，請嘗試確定點P的位置，并使三個居民區的曼哈頓距離最小。

（二）分析問題

很多以曼哈頓距離為背景的實際應用問題都是以某點到已知各點的曼哈頓距離最小作為約束條件，并引導學生建立模型確定該點位置。在向量相關課程的教學中，教師可以將這一問題作為實際應用例題，引導學生利用所學的向量知識進行分析。如果想要得出三個居民區的曼哈頓距離最小，就要先設點P的位置為（x，y），并從水平和豎直兩個角度展開分析。

（三）模型建立與求解

學生在教師的指導下完成問題的分析后，要先結合題干在白紙上將圖像畫下來，通過直觀的觀察后，設點P（x，y）其中y≥0，則點P 到三個居民點的曼哈頓距離可以表示為：Z=d(x,y)=|x- 3 |+|y- 20 |+ |x+ 10 |+ |y|+ |x- 14 |+ |y|=(|x- 3 |+ |x+ 10 |+ |x- 14 |)+(|y- 20 |+ 2 |y|)。通過列式分析發現，水平方向的距離為X=h(x)=|x- 3 |+ |x+ 10 |+ |x- 14 |，垂直方向的距離為Y=v(y)=|y- 20 |+ 2 |y|，二者是相互獨立的，雙方并無影響。曼哈頓距離求的是點P到三個居民點的最小距離，也就是求Z 的最小值，且Z=X+Y=h(x)+v(y)，通過等量替換得出，Z 的最小值Zmin就等于水平距離X的最小值Xmin與垂直距離Y的最小值Ymin的和，即有Zmin=Xmin+Ymin=minh(x)+minv(y)(x,y∈R)。從水平距離上看，因為X=h(x)=|x- 3 |+ |x+ 10 |+ |x- 14 |，當且僅當x= 3是，不等式的等號是成立的，即 |x+ 10 |+ |x- 14 |≥|-(x+ 10 )+(x- 14 )|= 24，計算得出的結果為Xmin= 24。同理可以求出，當y= 0時，Ymin= 20。因此，當文化中心修建在點P（3，0）時，它距離三個居民區的曼哈頓距離最小，最小距離為44。基于此，學生能在教師指導下完成數學模型的建立和求解，并利用學過的向量知識對問題進行分析和解決，同時強化了對向量知識理解和掌握，也使抽象思維、數學建模、運算能力等得到了鍛煉和培養。

（四）創新問題并提高難度

在上述問題的基礎上，為了進一步啟發學生的思維，教師可以在題目中加入新的條件，讓學生開展更深層次的思考。例如，設置問題：假設以點O為圓心，半徑為1的圓的范圍內屬于生態環境區，人們不能進入，在其他條件不變的基礎上，點P 的位置是否會產生變化，如果產生了變化請重新確定，使其到三個居民點的曼哈頓距離最小。教師要引導學生重新分析題意，發現題目中融入了圓的相關知識，結合之前所求出的P 點位置和圓的特點，發現水平方向上的位置不需要變化，但垂直方向上的位置則不符合題目要求。因為圓的半徑為1，所以建立模型并求解時應添加y≥1的限制條件，再遵循原來的思路進行解題，點P 的位置應該由P（3，0）變為P（3，1）。重新列式計算得出，文化中心到三個居民區的曼哈頓距離的最小值為45。由此，學生在建模求解中不僅加強了對向量知識的掌握，還復習了圓的相關知識，能將向量與圓的知識完成銜接，構建更加完善的知識體系，促進數學建模能力提高的同時，還能將所學知識融會貫通，強化系統化學習。

（五）問題拓展

當學生接觸過建模活動且厘清學習思維后，教師可以在原有基礎上設計拓展環節，指導學生對模型展開進一步的討論。例如，根據圖1 所示，n 臺工作效率相同的機器等距排列在一條流水線上，每臺機器生產零件都需要送到人工檢驗臺上檢驗，質量合格后才能進入下一道工序。如果零件在直線上傳送速度是相同的，問檢驗臺的位置應設置在哪里，才能使零件傳輸時總的距離最小？

圖1

在前面的問題中，教師給予了學生指導，并在題目中給出了具體數值，學生在計算時可以通過繪制直觀的圖像解題，但拓展問題的難度明顯增大，將固定的位置轉變為動態的流水線，且題目中給出的條件有限。很多學生在初次閱讀題目后往往是一頭霧水，教師可以將學生分成多個小組，讓他們在小組內展開分析和探究。小組內成員需要結合題意先完成建模工作，小組長鼓勵成員依次說明自己的觀點和看法，集中所有人的智慧建模再求解。根據題目的要求將零件傳送總距離設為y，將檢驗臺位置設為x，再將第k 個零件的位置設為Ak( )k= 1,2,...,n，再列式求出結果。教師通過設計基礎性、創新性、拓展性等難度不同的問題，不僅可以讓學生鞏固向量的知識，還能對數列、圓等知識加強理解，而且讓學生完整地體驗數學建模的過程，最終使學生的核心素養得到鍛煉和提高。

三、依托學生社團的課外數學建模案例研究

數學建模能力的培養僅依靠課堂教學時間是遠遠不夠的，教師應探索將教學向課外拓展，尋找課內外活動相銜接的道路。社團活動是學生數學建模能力發展的有效途徑，為了培養學生綜合能力，部分高中陸續開展了社團活動，這為數學建模活動提供了發展和實踐的良好平臺。教師在鼓勵學生成立數學建模社團活動，并邀請課內外教師為他們做指導工作，以生活中的實際問題為背景建立數學模型，并設計競賽活動，鼓勵學生以組隊的形式參與其中。以“數學建模案例（三）:人數估計”為例，為了培養學生的數學建模素養，教師可以在社團舉辦競賽活動，設計只知道部分信息的題目，讓學生以小組為單位，自行推理和估計全部信息。問題的設計要盡量貼合生活實際，如醫療科研機構調查某慢性病患者的人數、學校五一外出旅游的人數、高考改革后物理學科選考人數等，讓學生在建模中深化對知識的掌握。

（一）提出問題

某高校美術系平面設計專業是“大熱門”，報考人數連創新高，今年報名結束后，某考生想要知道報考的總人數，就隨機了解了50個考生的考號整理在下表1中。考生的考號是按照由小到大的順序依次排列的，請大家設計一種方法，根據隨機的考生考號估計考生的總數。

表1 某高校美術系平面設計專業考生考號表

（二）分析問題

從表格中隨機抽取的考號，總體中的個體已經按照自然數編號，通過隨機抽取并按照從小到大的順序排序后，把考號分別記為x1，x2，x3，...xn，其中。但由于考生總數并沒有精確的估計方法，如果沒有其他輔助消息，則只能利用樣本估計總體的形式進行近似估計。因此，為了使估計值更加精準，各小組可以在多種假設的條件下，采用不同的估計方法建立數學模型并求解。

（三）建模與求解

結合所學知識，各小組學生會采用不同的方法建立數學模型并求解，有的小組從樣本與總體的關系入手，嘗試用樣本的最大值估計總體的最大值；有的小組則借助中位數建模，用樣本的中位數估計總體的中位數；有的小組則是借助樣本的平均值估計總體的平均值；還有小組利用分區間的方式求解。以用分區間方法求解為例，具體解題內容如下：將隨機抽取的50個樣本按照從小到大的順序排列，利用它將N個數據分段，選取不同的端點，則得到不同的估計值。在分區間時，需要先將區間[ 1,N]分成51個小區間，分別是利用公式計算出這51 個小區間長度均值為，而前50 個區間的平均長度則為，由于樣本是隨機抽取的，可以認為因此，N 的估計值可取為在建模和求解的過程中，各小組所用的方法不一樣，取得的結果也會存在一定的差異，教師知道結果是在合理的假設前提下得到的，就不能說結果一定是錯的，這也體現了統計學的特點。對此，競賽評委要更重視對學生的建模過程和分析過程進行點評，讓學生在建模中通過討論和探究有所收獲。

（四）模型檢驗

指導教師應根據學生的建模過程和探究結果，要求學生嘗試在合理范圍內改變隨機考號內容，并重新建模計算求解，查看結果是否存在偏差，如果前后兩次所得結果相差無幾，則說明所建模型的合理性與適用性。反之，如果前后兩次所得結果有較大的偏差，則需要在小組內重新討論，思索建模與求解中的不足之處，并對過程進行合理的優化。

四、結語

總的來說，當前的高中數學課堂中很少組織過建模活動，更多的是教師組織學生在課堂中討論數學建模相關的問題，在課堂中很少體現對學生建模素養的培養。為了改變這一情況，教師應從核心素養的角度出發，以理論指導實踐，設計具體的教學案例，并引導學生參與其中，通過實踐活動獲取知識、提高自身能力。