MMC拓撲優化方法的拉-壓桿模型研究

陳 陣，李元松，楊毛毛，陶文華，占森方

(武漢工程大學 土木工程與建筑學院，湖北 武漢 430073)

0 前 言

拉-壓桿模型是由桁架模型發展來的一種針對混凝土構件中應力擾動區設計的一種類桁架模型的配筋計算方法。它的主要原理是通過由拉桿、壓桿和節點三部分組成的理想桁架來近似模擬混凝土結構中力的傳遞路徑，進而對結構進行配筋設計[1]。從最初的Monier采用箍筋加固結構，從平面桁架模型到軟化桁架模型，拉-壓桿模型配筋方法不斷地發展完善，逐漸成為了一種被廣泛接受使用的混凝土結構設計方法[2-3]，現已被多個國家納入規范體系中。常見的拉-壓桿模型構建方法有傳統經驗法、應力跡線法、荷載路徑法、拓撲優化法等[4-5]。拉-壓桿模型由于只需滿足平衡條件和屈服準則，不需考慮固體力學中的應變協調，因此對于一個給定的問題，拉-壓桿模型的構形并不唯一，這也是傳統經驗法與應力跡線法等方法建立的拉-壓桿模型的正確性常常受限于設計人員的直覺和經驗的原因。

拓撲優化法的應用使得這一現狀發生了轉變，設計人員可以通過拓撲優化結果構建拉-壓桿模型，這大大減少了傳統經驗方法中人為因素的干擾[6]。常見的優化方法包括變密度法、水平集法等方法[7-8]。此類拓撲優化方法為隱式求解法，求解結果都是基于像素或是基于節點的，因此結果邊界模糊，具有棋盤格現象，在此基礎上構建拉-壓桿模型也不夠準確，大連理工大學郭旭教授及其團隊通過多年的研究提出了一種基于可移動變形組件(moving morphable components，簡稱MMC)的拓撲優化方法。作為一種顯式的拓撲優化方法，該方法的基本思想是將組件作為表達結構拓撲的基本單元，通過組件的移動、變形、交叉和重疊來模擬結構拓撲的變化，從而得到最優的拓撲[9-11]。由于MMC法拓撲優化是基于組件而不是單元，因此設計變量更少求解效率更高，另一方面組件是通過顯示拓撲函數描述，優化后的結果邊界清晰，不存在灰度單元，可以直接由拓撲優化結果構建拉-壓桿模型，減少了設計者的參與和修改。喬文正等[12-13]對基MMC法構建拉-壓桿模型做出了系列的研究，對牛腿、開洞深梁等構建了相應的模型。

本文對MMC拓撲優化法的原理與優化步驟等進行歸納介紹，并以某一深梁為研究對象，基于可移動變形組件框架，利用有限元分析和靈敏度分析求解設計域的結構場，更新設計變量，通過求解體積約束下柔度最小的優化問題，得到最佳拓撲優化結果并構建深梁的拉-壓桿模型并通過Abaqus軟件優化進行對比。以某一深梁的實例驗證了基于MMC拓撲優化法構建拉-壓桿模型的可行性與簡便性。

1 MMC法優化原理

1.1 優化原理

以往的拓撲優化方法例如水平集法、SIMP法等，其原理都是通過材料將整個結構填充，然后通過不斷迭代去除非必要的部分來實現結構的拓撲優化，由于它們自身的優化特性，優化結果往往是基于像素或是水平集函數隱式描述的。MMC法基本思想是用一些可以移動、變形的組件作為結構拓撲的基本單元，在MMC框架下，組件可以自由地移動、覆蓋、融合和消失，因此可以通過改變其幾何特征參數，和施加在結構上相應的工況進行優化，得到結構的最佳拓撲結果，其結果邊界清晰明了，有助于設計人員進一步設計工作。

1.2 結構拓撲函數描述

每個組件的描述方程都是顯示的，可以由變量x，y通過一定函數關系表達[12]，此處給出結構拓撲函數，采用二次變厚度組件作為結構基本單元，如圖1所示。

圖1 組件結構示意圖

(1)

(2)

(3)

式中，L為組件在x′方向上的半長；(x0,y0)表示第i個組件中心點的坐標;θi表示第i個組件沿逆時針方向的角度；p是一個比較大的偶數，一般取p= 6，t1i,t2i,t3i表示第i個組件二次變化的3個寬度；組件的設計變量可以表示為di=(xoi,yoi,Li,t1i,t2i,t3i,θi)。

2 MMC法拓撲優化設計流程

在確定結構大小、邊界條件以及荷載狀況下，以結構柔度最小為目標，結構體積為約束，通過MMC拓撲優化法建立優化模型，以有限元和靈敏度進行準確的數值分析，采用可移動漸進線算法(MMA算法)更新設計變量，求解拓撲優化數學模型的算法流程如圖2所示。

圖2 MMC拓撲優化程序設計流程圖

3 數值算例

深梁作為典型的不符合平截面假定的一類鋼筋混凝土構件，選擇一深梁作為實例進行優化。本文的研究是在張維聲[11]研究基礎上進行的，假設結構處于平面應力狀態，幾何、材料及荷載等參數均采用無量綱形式，厚度取單位1，材料彈性模量E為1，泊松比v為0.3，加載大小均為單位荷載。構建的拉-壓桿模型中，拉桿為實線、壓桿為虛線。

深梁梁高取1.0 m，寬取1.0 m，梁上作用荷載F為100 kN，網格劃分為50×50，材料體積分數約束上限為0.4，深梁結構及對應荷載情況下的拉-壓桿模型如圖3所示。基于MMC拓撲優化與Abaqus拓撲優化進行對比。

(a)單荷載深梁

3.1 單荷載下深梁

圖4為單荷載下深梁優化網格與結果，在MMC的優化過程中，初始布局選擇8個組件，設計變量個數為56個。伴隨著迭代次數的增加，這些組件通過移動、膨脹、收縮、相交和重疊來實現結構拓撲的變化，最終達到收斂要求。從圖中的優化過程可以發現MMC優化過程清晰明了、邊界光滑、求解效率快，沒有Abaqus優化方法結果導致的模糊粗糙邊界。優化結果為深梁中部所受荷載通過兩個壓桿傳遞到支座處，支座上方形成一根拉桿將兩根壓桿連接。

(a)MMC初始布局圖

(c)MMC拓撲優化結果

3.2 多荷載下深梁

圖5為受多荷載的深梁優化過程。同理，在多荷載作用下深梁的MMC的優化過程中，初始設計為32個組件，設計變量數為224個，通過設計變量不斷更新，最終達到目標收斂要求，收斂結果見圖5(a)。MMC拓撲優化結果清晰，設計者可以清晰明了，設計者可從拓撲優化結果中建立起結構相應的拉-壓桿模型。荷載向下通過壓桿傳遞到支座處，中間與下部區域存在拉桿保證橫向平衡。

而在Abaqus拓撲優化結果中，圖4(d)與圖5(b)可以清晰看到在靠近深梁底部處，無論是單荷載或是多荷載下，在深梁下部都缺少相應的底部拉桿，造成這種結果的原因是多種的，此處不進行討論。而基于MMC拓撲優化法卻沒有這種現象，可以直接通過結果構建拉-壓桿模型，這十分方便設計者去構建結構的拉-壓桿模型。但在MMC法中，組件的數量、大小及設置的循環次數等都會對結果產生較大影響，其中組件數量的影響最為關鍵，使用MMC法時要選擇合適的組件數量。

(a)MMC優化結果

4 結 論

本文介紹了MMC法的優化原理以及優化步驟，通過將MMC拓撲優化法應用于深梁這一典型不符合平截面假定的構件，研究了基于單荷載和多個荷載情況下深梁拉-壓桿模型的構建，并將基于MMC法與Abaqus優化建立拉-壓桿模型進行對比得出以下的結論。

1)基于MMC拓撲優化方法應用于拉-壓桿模型構建是可行的。

2)MMC法作為顯式的拓撲優化方法，克服了隱式求解方法存在的中間密度單元，邊界鋸齒化等問題，拉-壓桿模型邊界光滑。

3)基于MMC法構建拉-壓桿模型去除了單元格的影響，優化結果可直接作為結構相應拉-壓桿模型，但使用時要注意組件的合理配置，而基于Abaqus所建立的拉-壓桿模型需要設計者更多的完善，基于MMC法構建拉-壓桿模型更加方便設計者工作。

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