基于運動學、剛度和動力學性能的并聯機構有序遞進三級優化設計及其應用

王一熙 沈惠平 陳 譜 吳廣磊

1.常州大學現代機構學研究中心，常州，2131642.大連理工大學機械工程學院，大連，116024

0 引言

并聯機構的拓撲結構優化是指在滿足機構基本功能(自由度、輸出運動類型和數目)的情況下，優化機構的拓撲結構[1-5]，但目前對并聯機構拓撲結構優化的研究還較少，檢索到的關于拓撲優化的論文大多是關于連續體的柔順機構結構件的形狀優化設計[6-7]。并聯機構的尺度參數優化一直作為提高并聯機構性能的主要手段[8-9]，而目前并聯機構的性能評價主要有三類性能指標，即機構的運動學性能、靜態性能和動態性能[10-11]。

運動學性能評價主要依據基于工作空間、基于無奇異、基于轉動能力的方向工作空間和靈巧度工作空間的性能指標來分別評價機構的運動/力傳遞性能、靈巧度和奇異性能[11]；而靜態和動態性能評價主要依據全局剛度、動力學靈巧度指標來分別評價并聯機構的剛度、動力學方面的性能[3，10]。車林仙[12]利用帶修復策略可行性規則的差分進化算法，對球面四桿機構函數進行綜合，提出處理優化約束條件的可行性規則，其可靠性和穩健性指標優于對比算法；池騰騰[13]利用Isight和MATLAB軟件的耦合分析，對2-RPU/SPR并聯機構進行優化設計，并結合商用軟件中的一些數值工具，較好地提高了優化過程的可重復性和穩健性；WU[1]運用NSGA-Ⅱ算法對3-RRR球面機構的運動學和動力學進行了多目標優化，通過Pareto前沿優化結果得到了兩目標下球面機構的優化性能；吳超宇[14]采用權重系數，將Tripod并聯機器人的運動學、動力學、剛度三者的多目標問題轉化為單目標問題進行了優化；劉平松[15]基于工作空間大小、速度靈巧度和靜剛度指標，對I4R型并聯機器人全域性能進行了多目標優化；ALTUZARRA等[16]將線性驅動的四自由度并聯操作手的工作空間體積和靈活性作為目標函數進行多目標優化設計；TAGHVAEIPOUR等[17]提出了McGill SMG并聯機器人的多目標優化設計，旨在最大化機器人的工作空間和剛度，但使用的剛度指標無法充分代表剛度性能；WU等[18]通過預先確定的工作空間，對Ragar機器人運動學、靜力學和動力學同時進行多目標優化，利用遺傳算法給出了三目標下的Pareto前沿優化結果。CHE[19]用輸入傳遞和輸出傳遞兩個指標來評價4-RUPaR并聯機構的運動和力傳遞性能，并使其傳遞位置空間最大。

上述研究中還存在以下問題：機構優化設計的參數較單一，無法涵蓋并聯機器人運動學、剛度、動力學的全部設計參數；多目標優化時，較多的綜合性能指標無法清晰地判斷各自參數對整個優化過程的效果。

本文主要研究機構的綜合參數優化，包括機構的尺度、截面及質量參數，即從并聯機構產品設計的視角出發，在其初期設計階段，提出基于運動學、剛度和動力學性能的有序遞進三級優化設計策略和方法，也就是說為滿足運動學層面的性能，首先優化機構的尺度參數以滿足機構的工作空間體積、轉動能力和運動/力傳遞性能；然后在已優化的尺度參數上，優化桿件的截面參數，使機構的剛度性能達到優化；最后，在已優化的尺度參數和截面參數的基礎上，再優化桿件的質量(分布)參數，使機構的動力學性能達到優化。以文獻[20]提出的零耦合度且運動解耦的2-(RPa3R)3R機構的并聯操作為例，闡述上述綜合優化方法及其求解過程。

1 2-(RPa3R)3R并聯操作手

零耦合度且運動解耦的四自由度三平移一轉動(3T1R)2-(RPa3R)3R并聯操作手[20]如圖1所示。該機構的動平臺1及靜平臺0由兩條相同的混合支鏈(HSOC)相連，每條混合支鏈由一個子并聯機構和子串SOC{-R∥R⊥R-}(例：R22∥R23∥R24)串聯得到，子并聯機構是由與靜平臺0通過R11副相連的子串SOC{-R11∥R12⊥R13-}和子串SOC{-R21-Pa4s-}并聯得到，其中，Pa4s為由4個球副(如S1、S2、S3、S4)組成的平行四邊形(Pa)結構，子串SOC{-R22∥R23⊥R24-}的R22副串接在Pa4s結構的短邊上，兩條混合支鏈通過R24、R34與動平臺1相連，且R24∥R34。

2 運動學尺度參數的優化

2.1 參數化建模

圖1c為2-(RPa3R)3R并聯機構的運動建模簡圖。靜坐標系OXYZ的原點O為靜平臺重心，X軸正向垂直于轉動副R41(A4)的軸線并指向其運動副中心，而Y軸正向平行于轉動副R41的軸線并指向轉動副R11(A1)的中心；在動平臺1上建立動坐標系PX′Y′Z′，P為動平臺中心，Y′軸正向垂直于轉動副R24的軸線并指向其運動副中心，Z′軸和Z軸姿態相同，X′軸由右手法則確定。

(a)機構三維CAD圖

(b)機構運動簡圖

(c)運動學建模圖圖1 零耦合度且運動解耦的四自由度三平移一轉動(3T1R)2-(RPa3R)3R并聯操作手Fig.1 A 4-DOF(3T1R) 2-(RPa3R)3R parallel manipulator with zero-coupling and decoupling motion

定義I、J、K為靜坐標系X軸、Y軸和Z軸的方向向量。各運動副中心分別記為Ai、Bi、Ci(i=1，2，3，4)和Di、Ei(i=2，3)；在靜坐標系中，它們相應的位置向量分別記為Ai、Bi、Ci和Di、Ei，符號標注如圖1c所示。

在靜平臺0上，各驅動副中心的位置為

(1)

式中，la為驅動副Ri1到靜坐標系原點O的長度；ai為驅動副Ri1中心Ai在靜坐標系OXY平面的單位向量；R(Z)為繞靜坐標系Z軸的旋轉矩陣；I為單位陣。

四條支鏈中驅動副Ri1的軸線方向為

(2)

式中，ei為Ri1軸線在靜坐標系中的方向向量。

驅動臂末端Bi的位置向量可表示為

Bi=Ai+lbbi

(3)

式中，lb為驅動副中心Ai和運動副中心Bi間的長度；R(X)為繞靜坐標系X軸的旋轉矩陣；bi為沿AiBi在靜坐標系中的方向向量；θi為驅動副Ri1的轉角，如圖1c所示。

則子動平臺1上各運動副中心的位置為

Ci=Bi+lcci

(4)

式中，lc為運動副中心Bi和Ci間的長度；ci為沿BiCi在靜坐標系中的方向向量。

Ci(i=2，3)也可表示為

(5)

在6R空間結構(R22∥R23⊥R24∥R34⊥R33∥R32)中，位置向量Di和Ei可分別表示為

Di=Ci+lddi

(6)

ld=CiDi

Ei=Di-leK

(7)

le=DiEi

式中，di為沿CiDi的方向向量；ηi為轉動副Ri3的轉角。

進一步，可得動平臺中心的位置向量為

P=Ei+lppii=2，3

(8)

lp=PEii=2，3

式中，pi為沿EiP方向的向量；α為動平臺繞Z軸的順時針夾角。

于是，末端的動平臺1的中心位姿可表示為χ=[PTα]T。

2.2 逆向運動學

由文獻[20]可知，2個子動平臺(桿件S3S4，S7S8)均做二維移動，其運動平面始終垂直于驅動副Ri1(i=1，4)的軸線，得到Ci(i=2，3)的約束方程：

(9)

由式(9)可得

i=2，3

再利用幾何約束條件建立約束方程，得

(10)

求得四個驅動副轉角為

θi=

2.3 運動學性能指標

2.3.1可達工作空間

運用離散化方法[21-22]，基于逆向運動學，取搜索步距為1 cm，可得到該并聯操作手的近似于柱狀的可達工作空間[23]，它可認為是由無數個1 cm3的小立方體組成的三維體。因原始尺度參數下點集的數量為35 181，故可近似估計原始工作空間的體積V=35 181×1 cm3=35 181 cm3。據此，可將該工作空間體積定義為可達工作空間性能指標fv=V。

2.3.2轉角工作空間

轉角工作空間是指在動平臺位置固定時，機構所能達到的所有姿態。SCARA并聯操作手具有獨立的一維轉動自由度，轉角工作空間是其重要的運動學性能，但動平臺處于某一位置時，其轉角只能在一定范圍[αmin，αmax]變化，結合原始操作手尺度參數，得到操作手可達工作空間中z=-450 mm平面上的轉動范圍，如圖2所示。圖中等高線上的數值分別表示動平臺在該區域內運動時，可達到的最小轉角αmin和最大轉角αmax。

但為統一評價機構在工作空間內的轉動性能，定義Δα=αmax-αmin為單個位置下轉角范圍的大小，并用它來評價該位置下的轉動性能，得到該機構在上述平面內Δα的變化情況，如圖3所示。

(a)最大轉角αmax

(b)最小轉角αmin圖2 z=-450 mm位置上的轉角極值Fig.2 Extremum rotation angle at z=-450 mm

圖3 工作平面中的轉角范圍Fig.3 Range of rotation angle at the working plane

2.3.3運動/力傳遞性能

機構的基本功能是實現從輸入端到輸出端的運動和力傳遞，現通過定義機構的全局傳輸性能指標來評估機構的傳遞性能[11，24]。

式中，“°”為互易積符號。

為評價機構的整體輸入傳遞性能，定義機構的輸入傳遞指標為各支鏈中能效系數的最小值：

同樣，通過運動旋量和力旋量的互易性，有

因機構整體的傳遞性能同時受輸入傳遞性能和輸出傳遞性能的影響，為評價機構整體的運動/力傳遞性能，定義機構局部傳遞指標(local transmission index，LTI)為機構的輸入傳遞性能和輸出傳遞性能中最差的部分，具體表示為

γL=min(γI，γO)

在該并聯操作手的原始尺寸參數下，給出在定姿態時，工作高度z分別為-600 mm和-350 mm時局部傳遞指標的分布，其形狀類似塔型，如圖4a所示，而在多個不同姿態(轉角為-90°，45°，180°)下，即動平臺在靜坐標系中的指標分布與定姿態相似，如圖4b所示。

(a)不同高度z

(b)不同姿態α圖4 局部傳遞性能指標的變化Fig.4 Variation about local transmission index

2.4 基于智能優化算法的運動學性能優化

目前，智能優化算法主要有遺傳算法(GA)、免疫算法(IA)、粒子群算法(PSO)、蟻群算法(ACO)、差分進化算法(DE)等[25]，其中，GA、PSO、DE算法表現出很好的適用性和可靠性[26]。本文利用這三種智能算法進行計算，一方面，可將三個算法的優化過程和結果相互對比和驗證，了解各自的優化進程及是否會陷入局部最優；另一方面，可比較分析這三種算法對并聯機構優化設計的適用性和可靠性。

2.4.1確定尺度參數的約束條件

以原始尺度參數的±50%為設計變化量，確定設計變量的設計范圍，如表1所示。

表1 尺度參數的設計變量及其變化范圍

機構的可達工作空間受尺度參數的大小決定，因此，須對機構尺度參數的總和進行限制，由機構的原始參數，計算得

則在優化過程中，設計變量必須滿足約束

關節的運動能力是并聯操作手運動的基本保證，受結構和安裝空間等因素的影響，考慮主動桿和靜平臺的干涉，確定驅動角的變化范圍為θ∈(-78°，78°)[23]；而對于平面四邊形結構Pa4s而言，因長邊桿和短邊桿的相對運動存在運動干涉和限制，因此限制S副處的空間轉角范圍為(-60°，60°)[23]。

2.4.2確定目標函數

機構運動學性能的三個重要指標已在2.3節闡述，因此，可將工作空間(可達、轉角)和運動/力傳遞的性能指標作為性能優化的目標函數，即

fV(x)=V(cm3)→max

于是，機構的運動學性能優化問題等效為對上述三個目標函數的加權優化問題[27]。由2.3節可知，該機構的工作空間形狀規則，但可達工作空間較小，而機構的轉角范圍較大，因此，可適當提高可達工作空間的優化權重，這樣，可將基于可達工作空間體積和運動/力傳遞的性能指標作為主要目標函數，分別得到50%和35%的權重，則轉角工作空間性能指標為15%。進一步，為合理表達性能指標在優化過程中的變化，將各性能指標進行歸一化，最終，得到的運動學多性能優化目標函數為

(11)

2.4.3優化過程分析和結果比較

對三種算法參數進行初始化設置[25]，如表2所示。再借助MATLAB用三種算法分別進行優化計算，其優化過程如圖5所示。從圖5中可看出，隨著迭代次數的增加，目標函數的變化趨向穩定值。將三種優化算法得到的尺度參數最優解、最優適應度函數fk及計算時間t進行比較，結果如表3所示。由圖5可知，有限次迭代后，GA算法遠未達到最優的目標函數值就已接近收斂；從優化效果(即fk值)來看，DE算法取得了最好的效果，PSO算法取得的優化效果與DE算法極為接近，但PSO算法用時較多。由圖5和表3可知，在優化效果極為接近的情況下，DE算法與PSO算法得到的尺度參數有一定區別，PSO算法取了較大的la值和較小的lc值，DE算法與之相反，但DE算法的效果更優，說明PSO算法陷入了局部最優，也說明該機構運動學性能優化時存在相近峰值，但DE算法能更準確地得到最優解。

表2 智能算法的初始化

圖5 尺度參數優化過程及其計算曲線Fig.5 Optimization process and calculation curve of dimension parameters

表3 優化前后的結構參數和最優適應度函數fk

將DE算法優化后的尺度參數進行圓整，以適應設計加工需要，并對比分析優化前后的運動學性能(工作空間、運動/力傳遞)指標，如表4所示。

由表4可知，優化后雖然機構的運動/力傳遞性能減弱了13.714%，但其可達工作空間的體積增加了233.282%，轉角工作空間也增加了21.299%，如圖6所示。

圖6 優化前后的可達工作空間Fig.6 Reachable workspace before and after optimization

3 剛度截面參數的優化

3.1 剛度建模

并聯機構的剛度是指動平臺在外力作用下，因機構中彈性構件的變形而引起動平臺產生微小位姿的難易程度。文獻[28]提出虛擬彈簧法(virtual spring method，VSM)，在不考慮預載荷的情況下，利用多自由度虛擬彈簧描述桿件在空間中多維彈性變形(扭轉變形、彎曲變形和拉伸變形)，并考慮桿件的拉伸/扭轉變形之間的耦合特性；文獻[29]利用旋量計算簡化了該方法中運動映射的計算過程，可快速地對機構進行剛度建模分析與優化。本文采用VSM方法對2-(Pa3R)3R并聯操作手進行剛度建模。因該并聯機構是由兩條混合支鏈組成的，因此先將每條混合支鏈分解為子并聯機構和串聯支鏈部分，并依次建立子并聯機構、混合支鏈的柔性模型，然后，通過靜力平衡方程得到支鏈的笛卡兒剛度矩陣，最后，將支鏈的剛度疊加，得到機構的整體剛度矩陣。

3.1.1分支鏈1、2的剛度矩陣

(a)R‖R‖R支鏈

(b)R-Pa4s支鏈圖7 子并聯機構中分支鏈的柔性模型Fig.7 Flexible model of limbs in sub-parallel mechanism

在R-Pa4s支鏈中，4-DOF是將Pa4s中被補償而消失的自由度當作被動關節放置在平行四邊形前端；2-DOF虛擬彈簧是為減去Pa4s中4-DOF的被動運動只保留存在剛度的自由度方向。由此，得到支鏈的一般性運動變形方程如下：

(12)

文獻[29]中給出了支鏈的笛卡兒矩陣表達形式：

(13)

i=1，2

而分支鏈1、2中相應的柔度矩陣為

3.1.2子并聯機構的剛度矩陣

這樣，混合支鏈的柔性模型為子并聯機構和串聯支鏈部分的組合，如圖8所示。

圖8 混合支鏈的柔性模型Fig.8 Flexible model of the mixed limb

其中，子并聯機構末端的6-DOF虛擬彈簧是將子并聯機構看作整體，描述其在笛卡兒空間內的六自由度的彈性變形。

通過代入相應的截面系數和材料系數，得到混合支鏈1、 2中相應的柔度矩陣分別為

3.1.3機構的剛度矩陣

3.2 基于CAD模型的參數識別

依次施加不同方向的單位力與力矩，得到局部坐標系中相應方向的變形，將變形作為主動臂柔度矩陣中的元素，如下式所示：

Ksθ=

(14)

用同樣的方法，可分別得到該操作手中其他各桿件的柔度矩陣[23]，為后續的剛度性能分析提供參數。

3.3 剛度性能指標的分析

笛卡兒剛度矩陣中存在量綱不一致的問題。為避免量綱不一致對所分析機構在不同位置時剛度特性的影響，文獻[32]提出基于虛功原理的剛度指標，定義虛功剛度指標(單位：1/J)為

在相同單位外力/外力矩funit下，外力做功越小，產生的動平臺位姿變化越小，因此，WV指標數值越大，該位置的剛度性能越好。

3.3.1機構的單方向承載性能

對該并聯操作手而言，假設動平臺在靜坐標系中受到重力方向單位負載fg=(0，0，0，0，0，-1)T(N)，運用WV剛度指標可計算得到該負載下的指標值WVg。例如在工作空間中，z=-350 mm和z=-600 mm的平面在定姿態α=45°下的剛度指標變化如圖9a所示；同時，在z=-450 mm的平面上選定多個姿態的剛度指標變化，如圖9b所示。

(a)不同平面(α=45°)

(b)不同姿態 (z=-450 mm)圖9 WVg指標的變化圖Fig.9 Variation about WVg index

由圖9可知，該并聯操作手在工作空間中的承載性能大體一致，即邊界差、中間好；但隨著動平臺工作高度的減小或動平臺轉角的增大，承載性能會出現不同程度的減弱。

3.3.2機構的整體剛度性能

(a)不同平面(α=45°)

(b)不同姿態(z=-450 mm)圖10 WVe指標的變化圖Fig.10 Variation about WVe index

由圖10可知，該機構的整體剛度性能的變化趨勢與承載性能相反，在邊界時剛度性能較好，中間時剛度性能差；而在不同姿態下，整體剛度性能變化趨勢發生了改變，動平臺轉角越大，指標值呈波浪式變化的趨勢越明顯。

3.4 基于智能算法的剛度性能優化

3.4.1確定截面參數約束條件

由于復雜構件(如主動桿為多孔構件)的柔度矩陣很難通過具體公式進行計算，因此，優化設計時需將柔度矩陣中所有的元素作為設計變量，但過多的設計變量又會明顯增加優化設計過程中的計算量和時間損耗，因此，可適當簡化復雜構件的設計變量，在材料參數與尺度參數不變的情況下，通過復雜構件的柔度矩陣，近似估計出與其對應的規則截面的桿件，從而減少設計變量數目，提高優化思路的實用性。

通過式(14)和截面慣性矩的計算方法[33]，對各復雜拓撲構件的截面參數進行近似估計，表5所示為各構件等效后的截面參數和彈性參數，而構件彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3。

2.3節已對機構運動學性能(工作空間、運動/力傳遞)進行優化，并得到一組優化的結構參數。在桿件壁厚確定的情況下，限制桿件材料體積，以達到優化桿件截面參數、提高材料利用率，并降低制造成本的目的，因此，確定桿件壁厚均為2 mm，則桿件的剛度設計參數簡化為單一的外徑Q。

表6中各桿件的外徑分別記為Qi(i=1，2，3，4)，則設計變量為Q=[Q1Q2Q3Q4]。為避免優化后桿件直徑過小不易加工，設計變量的上下限參考第2.4.1節，也以原始設計變量的50%作為優化時設計變量的取值范圍，見表6。

表6 截面參數的設計變量及其變化范圍

3.4.2確定目標函數

3.3節已基于虛功剛度性能指標分別建立了關于機構單方向承載性能、整體剛度性能的指標，由此，定義操作手的這兩個剛度性能指標為其優化設計目標，即

將并聯機構的承載剛度性能和整體剛度性能綜合考慮，分別賦予50%的指標權重，經過歸一化處理，得到剛度性能優化的目標函數為

(15)

3.4.3優化過程分析和結果比較

取2.4.3節中表5的尺度優化參數，對三種智能算法進行初始化設置(表2)，再分別對機構的剛度性能進行優化，其優化過程如圖11所示。

圖11 剛度參數優化過程及其計算曲線Fig.11 Optimization process and calculation curve of stiffness parameters

將三種優化算法得到的截面參數最優解、最優目標函數值、計算時間等進行比較，如表7所示。

表7 優化前后的截面參數和剛度性能指標fs

由圖11可看出：①有限次迭代后，GA算法未達到最優的目標函數值就已收斂；②就優化效果(即fs值)而言，DE算法取得了最好的效果，GA和PSO算法均未求得最優解；③由表7可知，從優化結果(即截面參數值)分析，DE與PSO和GA算法得到的截面優化參數區別不大，但DE算法的效果最優，說明PSO算法陷入了局部最優，也說明該機構剛度性能優化時存在相近峰值。

將DE方法優化后的截面參數進行圓整，對優化前后的兩個剛度性能指標(承載性能、整體剛度)進行比較，如表8所示。

由表8可知，優化后，選定的兩種剛度性能指標都有明顯提高，承載剛度提高了150.788%，整體剛度提高了88.548%。

表8 剛度性能優化后的截面參數及性能

根據優化前后截面參數變化的對比，得到該機構截面尺度設計的一些準則：①Pa4s結構中長邊桿的剛度對機構的剛度性能影響較小，可大幅減小Q2的尺寸；②子并聯機構和混合支鏈中的被動桿的直徑Q3、Q4都應增大，以提高機構的整體剛度。

4 動力學質量參數的優化

4.1 基于動力學普遍方程的動力學建模

目前，剛體動力學建模主要有牛頓-歐拉(Newton-Euler)方程[34-36]、動力學普遍方程(又稱虛功原理)[37-38]、拉格朗日(Lagrange)方程[39-40]、凱恩(Kane)方程[41-42]等四種方法。本節運用動力學普遍方程，通過對該并聯操作手的每個構件進行受力分析，并利用虛功原理得到機構的動力學方程，進而求解動平臺受力與輸入力矩的關系。

4.1.1速度模型

由式(9)、式(10)即可得到兩個子并聯機構中關于Ci(i=1，2，3，4)和θi(i=1，2，3，4)的位置約束方程：

((C2-A1)-lbb1)·e1=0

((C3-A4)-lbb4)·e4=0

將上述方程分別對t求導，得

(16)

(17)

(18)

(P-lppi+leK-Ci)·ei=0

(19)

i=2，3

(20)

(21)

i=2，3

Wi=P-lppi+leK-Ci

將式(20)和式(21)化為矩陣形式，得到雅可比矩陣：

(22)

式中四個分量的表達式請掃描本文OSID二維碼查看。

將式(17)代入式(22)得

(23)

(24)

(25)

i=2，3

(26)

因子動平臺僅有平移運動，則質心處的速度為

(27)

因主動桿AiBi(i=1，2，3，4)的角速度可表示為

(28)

i=1，2，3，4

則主動桿末端的速度可表示為

i=1，2，3，4

由此，可得到被動桿的角速度

主動桿一端固定在靜平臺上，因此其質心速度應為

4.1.2加速度模型

對式(23)關于時間t求一階偏導，得

(29)

對式(24)求一階偏導，得桿件DiEi(i=2，3)質心的加速度為

(30)

i=2，3

對式(26)求一階偏導，得桿件CiDi(i=2，3)的角加速度

(31)

(32)

進一步，可解得桿件BiCi、主動桿件AiBi(i=1，2，3，4)質心的加速度分別為

(33)

4.1.3動力學普遍方程建模

設均勻動平臺的質心在其中心，利用達朗貝爾原理，動平臺的受力情況可表示為

(34)

式中，fex、Mex分別為作用在動平臺中心的外力和外力矩；mP為動平臺質量；OIP為動平臺在靜坐標系中的轉動慣量。

桿件DiEi(i=2，3)在靜坐標系中僅有移動沒有轉動，則

(35)

i=2，3

式中，mDE為桿件DiEi(i=2，3)的質量。

因桿件CiDi始終做平面轉動，則

(36)

i=2，3

因子動平臺始終只有移動沒有轉動，則子動平臺的受力為

(37)

i=2，3

式中，mC為子動平臺的質量。

桿件BiCi的受力為

(38)

i=1，2，3，4

式中，mBC為桿件BiCi的質量；BIBC為桿件BiCi在局部坐標系中的轉動慣量，因桿件BiCi在局部坐標中存在二維轉動，則其轉動慣量需進行坐標系的轉換[23]。

桿件AB的受力為

(39)

i=1，2，3，4

根據虛位移原理[43]，由各桿件的受力方程得到機構的動力學普遍方程為

(40)

式中，δP、δα為各構件對應的虛位移和虛轉角。

根據式(23)～式(33)，將式(40)改寫為關于驅動副虛轉角δθ的形式，得到

δθ=0

(41)

因式(41)是針對任意虛轉角δθ的，則可得到

(JP)TfP+(Jα)TMP+

(42)

將式(23)、式(33)代入式(42)中，化簡得到動力學方程的一般形式為

(43)

4.2 動力學性能指標的分析

4.2.1動力學靈巧度

KM=‖M(θ)‖2·‖M(θ)-1‖2

(44)

式中，KM為慣性矩陣的條件數，KM越小，機構的加速度性能越好。

因慣性矩陣僅與機構位姿有關，在原始尺度參數和質量參數下，可計算該機構在不同位姿下的動力學靈巧度變化。例，圖12a所示為z=-350 mm和z=-600 mm的平面在定姿態α=45°下的動力學靈巧度變化；圖12b所示為在z=-450 mm的平面上，多個姿態(α=45°，90°，180°)下的動力學靈巧度變化。

(a)不同平面(α=45°)

(b)不同姿態(z=-450 mm)圖12 動力學靈巧度的變化Fig.12 Variation about dynamics dexterity

由圖12可知：該機構在不同高度上，靈巧度的變化趨勢不同，即工作高度越高，運動學靈巧度變化趨勢越明顯，其中，在工作平面中心處，加速度性能較差，越往邊緣移動，性能越好；而在較低的工作平面上變化比較平穩。當動平臺在不同位姿時，靈巧度呈現完全不同的變化趨勢，在α=45°時，加速度性能中間差，四周好；而在兩對稱姿態(α=-90°和α=180°)下，加速度性能從運動邊界的一側，逐漸減弱到另一側。

4.2.2能量傳遞效率

為克服慣性矩陣量綱不一致問題，有學者提出基于能量傳遞效率的動力學指標[44]，即將其定義為動平臺的動能(EP)與機構系統整體動能(T)的比值，用ζP表示能量傳遞效率：

(45)

4.3 基于智能算法的動力學性能優化

4.3.1確定質量參數的約束條件

在已優化尺度參數和截面參數，即給定構件體積的情況下，對構件的質量參數進行優化設計。為方便優化計算，將機構中各構件的轉動慣量視為常量，僅考慮各構件質量對機構動力學性能的影響，而動平臺處的質量受外負載影響而定，因此，確定設計變量為m={mDE，mCD，mC，mBC，mAB}。

同樣，以原始質量的50%作為變化量，確定各構件的質量變化范圍，如表9所示。

表9 質量參數的設計變量及其變化范圍

通過計算各構件的原始質量，得到

mmin=mDE，min+mCD，min+mC，min+

mBC，min+mAB，min=1.645 kg

則優化過程中設計變量應滿足總體約束：

mDE+mCD+mC+mBC+mAB>mmin

4.3.2確定目標函數

機構動力學優化設計的目標函數是動力學靈巧度及能量傳遞效率同時達到最大化，即定義

fP→max

動力學靈巧度反映的是機構在一定輸入力矩下的加速度能力，而能量傳遞效率反映的是動平臺在機構總體動能中的占比，物理意義比較明確，因此，分別賦予60%和40%的指標權重。經計算在原始質量參數下，這兩個動力學指標分別為fM=0.075，fP=0.697，由此，得到動力學性能優化的整體目標函數為

(46)

4.3.3優化問題分析和結果比較

同樣，先對三種智能算法進行初始化設置，再用這三種方法分別對機構動力學性能進行優化計算，其優化過程如圖13所示。

圖13 動力學質量參數優化過程及其計算曲線Fig.13 Optimization process and calculation curve of dynamic mass parameters

將三種算法得到的質量參數的最優解、目標函數和計算時間進行比較，如表10所示。

表10 優化前后的質量參數和性能指標fd

由圖13可知，有限次迭代后，①GA算法遠未達到最優的目標函數值就已接近收斂；②就優化效果(即fd值)而言，DE算法取得了最好的效果，且用時最短，GA和PSO算法均未求得最優解。③從優化結果(即質量參數值)分析，DE和PSO算法得到的質量參數的區別較小，但DE算法的結果更優，說明PSO算法陷入了局部最優，也說明該機構動力學性能優化時存在相近峰值。

將DE方法優化前后得到的動力學性能指標進行比較，如表11所示。

表11 動力學性能優化前后的質量參數及其指標的對比

由表11可知，優化后，選定的兩種動力學性能指標都有明顯提高，動力學靈巧度提高了73.333%，能量傳遞效率提高了16.069%。

根據優化前后質量參數變化的對比，得到該機構質量參數設計的一些準則：①Pa4s結構中長邊桿的質量對機構的動力學性能影響較小，可大幅減小mBC的大小；②應盡量減小從動桿的質量(如mDE、mCD)，從而改善機構的動力學性能。

上述優化計算時計算機硬件配置信息如下：處理器為Intel(R) Core(TM) i5-8300H CPU，四核八線程；基本頻率為2.30 GHz；內存為16 G；軟件為MATLAB 2016a。

本文提出的基于運動學、剛度和動力學性能的有序遞進三級優化策略和方法及其在2-(RPa3R)3R型SCARA并聯操作手機構的綜合參數優化(尺度、截面及質量參數)上的應用過程可用圖14的流程圖表示。這種有序遞進三級優化策略和方法，如果再考慮機構的拓撲特征[45]，更有利于參數求解和提高計算效率。

圖14 并聯機構的有序遞進三級優化策略和方法流程圖Fig 14 Flow chart of the three-level orderly proceeding optimization strategy and method of parallel mechanism

5 結論

提出一種基于運動學、剛度和動力學性能的并聯機構有序遞進三級優化策略和方法，以20(RPa3R)3R并聯操作手為例，對其運動學性能、剛度性能和動力學性能分別進行了分析，并運用GA、PSO、DE三種智能算法分別進行了優化設計，得到以下結論：

(1)有序遞進三級優化設計策略和方法具有優化參數全面(涉及尺度參數、截面參數、質量參數)、優化方法綜合運算能力強、各自優化結果不抵觸且優化有序等優勢；而該并聯操作手的耦合度為零并具有部分運動解耦性，使得其運動學、剛度和動力學分析求解方便。

(2)通過對比GA、PSO、DE三種智能算法在運動學、剛度和動力學中的優化計算效果，DE算法在犧牲了一定計算速度的基礎上得到了最好的優化結果，其收斂的準確性最高，因此，在并聯操作手的優化設計中，DE智能算法中具有較明顯的優勢。

(3)目標函數的不同權重并不總能指導智能算法進行計算，若單一目標性能增幅過大，會影響權重系數發揮作用；而過多的目標函數，又很難進行清晰的表達，因此，在目標性能優化時，各性能優化的有效性上還需要進一步研究和探索。