基于COMSOL 的材料楊氏模量的超聲測量研究

王興君 王巍然

（蘭州大學土木工程與力學學院，甘肅蘭州 730000）

楊氏模量E 僅取決于該材料本身的物理性質，是工程實踐中重要的參數和依據。楊氏模量的測定，對金屬材料、生物軟組織材料的力學性質的研究，有重要意義。在測試技術領域，楊氏模量測定后，結合密度、泊松比等參數可以用于海洋中未知固體，以及生物的識別；在醫學中健康細胞組織和病變細胞組織的楊氏模量參數有明顯差異，例如，生物體肝臟組織在發生炎癥時，死亡的肝細胞將被膠原纖維構成的疤痕組織取代，其肝臟組織硬度將逐步增加，其楊氏模量數值將相較于正常肝臟組織存在數量級差距。因此，楊氏模量測定還可用于細胞組織的病變鑒別與治療等[1]。

目前楊氏模量的測定方法繁多，如靜態法的拉伸法、梁彎曲法，該類方法試樣用量大，需要對材料進行加載，需要測量儀器與試塊接觸與甚至破壞，均無法實現如對遠程物體如深海物體的測量，或是如內臟組織等取樣困難，需要進行在體內測量的操作。因此，該方法難以實現針對生物組織楊氏模量的測量。動態法有共振法[2]和超聲波法。在共振法中，如利薩如圖形法。該方法數據處理單一，且通過圖形相似判斷，極具有測量人員主觀成分，有誤判的可能性等缺點。共振法通過儀器以一定頻率接觸并機械驅動試樣，同樣難以實現遠程物體，或在生物體內的生物組織楊氏模量測量。

目前的超聲波法大多基于在測得的材料中超聲波傳播的聲速與材料楊氏模量之間的關系來實現材料楊氏模量的測定，具有穿透性強、無損傷、遠距離、無接觸、測量簡便、適用范圍廣等優點。

本文在基于材料中傳播的超聲聲速與材料彈性特性之間的特定關系規律，再結合在材料表面反射前后的聲壓變化測算材料密度值。將材料的聲速，密度數據代入計算出楊氏模量。相比于現有的超聲測量方法，本文在利用聲速數據的同時結合聲壓數據，可對密度未知的物體進行測量，可以省略密度數據測量的步驟，簡化測量流程；也可以用于密度值難以得到條件下的測量，如在生物體體內的生物組織的測量，以消去一個未知參數的影響。本文利用有限元仿真軟件COMSOL，通過建模，設置物理場，仿真結果分析等手段，實現被測材料楊氏模量測量的仿真結果，通過將仿真值與文獻標準值對比，驗證了該方法具有一定精度與可行性。

1 測量方法與原理

根據固體中縱橫波聲速的公式[3]，可聯立推導出固體楊氏模量與其他物理量的關系，即

式中，ρ 為材料密度，CL為縱波聲速，CT為橫波聲速，E 為楊氏模量[4]。

當超聲激勵僅在極短時間內起作用時，生物組織的力學性質與狀態僅取決于短暫的超聲負載。在這樣的力學狀態下，生物組織的粘性可以不計，可將生物組織簡化為彈性體[5]。如果進一步將生物組織假設為均勻的各項同性材料，那么通過測量手段得出楊氏模量就可以完全表征該生物組織的特性[1]。

圖1 為模擬的測量設備裝置示意圖。如圖所示，在盛有水的容器中，將材料放置于墊層上。超聲激勵發射與接收設備位置極近，設備浸入液面，并固定于距離待測材料上表面一定距離處，用于激勵信號的發射與接收。

圖1 超聲測量設備裝置示意圖

測量原理如下：如圖2(a)，待測材料浸入于水面以下某處，水面處探頭將超聲激勵沿材料上底面法線方向，以一個極其微小的偏角發出，使得超聲波入射方向將近乎垂直于固體上底面。由聲學反射定律[3]可知，入射角θi=反射角θr，此刻θi=θr≈0，入射超聲在固－液分界面發生反射，產生與原法線方向近似重合的反向反射回波，記為回波p1。同時發生折射：由斯奈爾折射定律[3]

圖2 超聲波在傳播過程中的折射與反射示意圖

如圖2(b)，新產生的固體中橫縱波在固體下底面發生反射，通過異質界面折射回到流體，再返回接收設備。縱波波速大于橫波，縱波將先于橫波被捕捉，縱波回波記為p2，橫波回波記為p3。

依據水面處聲探頭得到的三次回波聲時數據t1、t2、t3，近似處理所有超聲聲束均沿豎直方向直線傳播，可得方程組：

式中：d 為材料厚度且已知。

(1)設計多樣化。裝配式建筑的自重約減輕一半，地基可優化設計，外觀不求奢華，突出工業化建筑本質，簡約厚重，立面清晰，長期使用不開裂、不褪色、不變形；內部空間可根據需要靈活分割。

聯立(3)(4)可求材料縱波聲速CL，材料橫波聲速CT。

在異介質分界面，根據聲壓比公式[3]：

式中：Pi為入射波聲壓，Pt為折射波聲壓，Pr為反射波聲壓，rP為Pr與Pi之比，tP為Pt與Pi之比。R1為入射部分介質Ⅰ的阻抗，即R1=ρ1c1，其中ρ1，c1，分別為入射部分介質的密度與縱波聲速。R2為折射部分介質Ⅱ的阻抗，即R2=ρ2c2。

由上述推導可知，微小入射角下，θi、θt、θr都近似為0，則cosθi、cosθt、cosθr都近似為1，式(5)(6)可退化為：

式中：R12為介質Ⅱ與介質Ⅰ的阻抗比，即R12=R2/R1。

在仿真中，如圖2(a)所示，超聲聲束第一次在固體上底面反射產生反射回波p1的聲壓P1，實際上是超聲波先傳播一定距離到固－液分界面，反射后又再在流體中傳播一段距離回到的接收裝置，是衰減過后的聲壓。對平面波而言，其衰減符合指數衰減，其聲壓P 隨傳播距離x的變化是[6]

式中：P0是初始聲壓，α 是衰減系數，x 是傳播距離。CW為水的縱波聲速，t1是第一次回波p1時間。

為得到聲壓比rP，需再設置仿真Ⅱ，讓相同初始聲束在流體中無障礙傳播x=CWt1后，測其聲壓，記為P2。根據式(9)(10)可寫為

式中：Ps是聲發射設備起始聲信號聲壓，為已知且恒定的值。

x1與x2分別為回波p1從發出到分界面，再從分界面回到接收設備的傳播距離，二者近似相等且和為x。根據式(7)(11)(12)可得

依據R12公式，材料密度ρ 表達式可寫為

式中CW，ρW分別為介質Ⅰ水的縱波聲速及密度，為已知參數。

將P1，P2，CW，ρW，CL代入式(16) 可計算得材料密度ρ。最后，將所測算得到的材料CL，CT以及ρ 代入式(1)，可計算得到該材料楊氏模量E。

將σ、ρ、CL代入式(17)可計算得到生物組織材料的楊氏模量E。

2 COMSOL 有限元數值模擬仿真

2.1 幾何模型

將圖1 所示設備裝置進行如下簡化。模型由上部的水和下部的材料部分以及超聲激勵點源組成，如圖3 所示。

圖3 仿真Ⅰ的二維幾何模型

在仿真Ⅰ結果的基礎上，建立仿真Ⅱ的模型，測量聲波自由地在水中傳播x=CWt1衰減后的聲壓值P2。超聲激勵點源在材料上表面3mm，x 近似為6mm。

2.2 超聲激勵與網格

本次模擬采用頻率fc=3MHz 的超聲激勵，為加寬超聲信號的分析帶，模擬得到較良好回波信號[8]，本文將采用如下表達式：

式中：ST為幅值隨時間函數，t 為自變量時間，fc為超聲頻率。S0是一個漢寧窗函數[9]，其表達式為：

式中：L 為窗的長度，即周期時長。本次模擬使用3MHz 的3 個周期的激勵信號，L 是1μs。網格設置的原則是波長的1/10[10]，所以域②的網格大小設置為0.05mm，域①設置為0.1mm。

2.3 介質材料

圖3 中域②模擬介質Ⅰ水，域①模擬介質Ⅱ待測材料。本次模擬將采用鎳，鋁兩種金屬材料以及豬肌肉組織與豬肝臟組織，做待測材料。

3 仿真結果分析

3.1 回波信號時差

對四種材料進行超聲激勵檢測仿真模擬的信號圖進行數據處理。其中，回波p1信號取信號聲壓峰值時間為t1，回波p2與p3信號無明顯峰值，取穩定波形開始時的時間為t2與t3。各材料回波信號圖如圖4 所示。

圖4 典型回波信號

3.2 回波信號聲壓值

仿真Ⅱ結果中，超聲信號自由傳播6mm 后的聲壓值為P2=0.2526Pa。從仿真Ⅰ超聲信號結果中，讀取出各個材料的回波p1的聲壓值P1。

3.3 楊氏模量測算結果

根據文獻資料，四種材料的楊氏模量E，泊松比σ，密度ρ 的標準值[3，7]，如表1。

表1 四種材料的各參數標準值

各材料的測量值，如表2 所示；各參數量結果，楊氏模量結果及相對誤差，如表3 所示。

表2 四種材料的各參數測量值

表3 四種材料的測量結果與相對誤差

4 結論

本文提出了一種基于超聲力學原理的測量材料楊氏模量的方法，并通過COMSOL 仿真進行驗證了該方法的有效性。本文分別對厚度為15mm 的兩種金屬材料和兩種生物組織材料進行了仿真模擬，結果表明：楊氏模量的測量值與參考文獻標準值的相對誤差在0.15%-2.82%。

該超聲測量方法具有無損傷無接觸的特點，通過單次測量獲得材料橫縱波聲速值與密度值，簡化流程，消去多余未知參數影響，可以對遠程物體的楊氏模量進行測量，以實現物體鑒別；可以對在生物體體內的生物組織楊氏模量進行測量，以實現對醫學中對生物組織的病變鑒別與治療。