一次函數背景下等腰三角形存在性問題分析與策略

◎肖 杜 羅 麗

(1.重慶市南開兩江中學校，重慶 401135；2.西南大學銀翔實驗中學，重慶 401533)

在中考數學的壓軸題中，等腰三角形的存在性問題是一個熱門考點，也一直是教學中的重點、難點內容，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，讓許多學生望而卻步.本文從等腰三角形產生的原理上進行歸類分析，談談解決此類問題的常用方法和策略.

類型一 兩圓一線產生等腰三角形

1.如圖1-1，點A的坐標為(1,1)，點B的坐標為(4,3)，在x軸上存在一點C，使△ABC是等腰三角形，求出點C的坐標.

圖1-1

解析分三種情況討論△ABC:

①AB=AC②BA=BC③CA=CB

①當AB=AC時，即以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與x軸的交點即為此時的C點(如圖1-2)，由圖可知，此時的C點有兩個，分別記為C1，C2.

圖1-2

②當BA=BC時，即以點B為圓心，AB長為半徑畫圓，與x軸的交點即為此時的C點(如圖1-3)，由圖可知，此時的C點有兩個，分別記為C3，C4.

圖1-3

過點B作BH⊥x軸于點H，

所以HC3=HC4=2，所以C3(2,0)，C4(6,0).

③當CA=CB時，此時點C在AB的垂直平分線上，所以AB的垂直平分線與x軸的交點即為此時的C點(如圖1-4),記為C5.設點C5的坐標為(x,0)，

圖1-4

類型二 平移變換中的等腰三角形

圖2-1

解析由題中給出的直線AB的解析式可知，∠CAO=∠BAO=30°,從這個特殊的角度出發，通過平移、討論，大致確定K,H的位置，通過幾何計算，解決問題.

①當KO=KH時，根據平移，先大致確定兩個位置，如圖2-2,2-3所示，

在圖2-2中，過點H作HM⊥x軸于點M，

圖2-2

因為∠HAK=∠HKA=30°，

在圖2-3中，過點H作HM⊥x軸于點M，

圖2-3

因為∠HAK=∠HKA=30°，

②當OK=OH時，如圖2-4所示，過點H作HM⊥x軸于點M，

圖2-4

因為∠HAK=∠HKA=30°，

所以HA=HK=2HM,OH=OK=2OM,AM=KM=3OM,

為什么沒有討論HO=HK呢？實際上若HO=HK，

則∠HOK=∠HKO=30°,而∠HAO=30°,顯然矛盾，因此舍去了.

類型三 旋轉變換中的等腰三角形

圖3-1

①如圖3-2，記此時的M,N為M1,N1，∠M1N1B=∠M1BN1=30°,所以∠EM1N1=60°,

圖3-2

②如圖3-3，記此時的M,N為M2,N2，∠M2N2B=∠M2BN2=30°,

圖3-3

③如圖3-4，記此時的M,N為M3,N3，∠N3M3B=∠M3BN3=30°，

圖3-4

圖4-1

圖4-2

圖4-3

圖4-4

圖4-5

通過上面的例題，我們總結經驗，發現等腰三角形的存在性問題找對、找全并不是太難，關鍵在于找到其中不變的量以及變化的量的變化趨勢，同時要有克服困難的勇氣，不斷嘗試突破，找到一些規律，也就慢慢熟練解題了.