巧構回路 妙解異面直線夾角

◎孟 巍

(吉林省德惠市實驗中學，吉林 德惠 130300)

一、試題呈現

案例1如圖1，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，則直線PC與AB所成角的大小是________.

圖1

案例2如圖2，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.求直線AE與CF所成角的余弦值.

圖2

二、解法展示

以上兩個案例是求異面直線夾角的經典問題，解決異面直線夾角問題一般有三種方法，分別是幾何法、坐標法和向量法.

(一)作輔助線，平移直線構夾角

案例1中，運用幾何法，首先借助三角形的中位線定理作出兩條輔助線EF和FG，將異面直線PC與AB的夾角轉化為直線FE與FG的夾角(或其補角).然后構造兩條輔助線EG和AG，根據勾股定理及余弦定理求得四條輔助線的長度，從而求得角度.

解取PA中點E，PB中點F，BC中點G，連接EF，FG，EG，如圖3.

圖3

∵EF，FG分別是△PAB，△PBC的中位線，

∴EF∥AB，FG∥PC，

∴∠EFG(或其補角)就是異面直線AB與PC所成的角.

連接AG，設PA=AC=BC=2，

則CG=AE=1.

∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥AG，

根據余弦定理可得∠EFG=120°,

則異面直線AB與PC所成角的大小為60°.

(二)建坐標系，計算坐標推向量

案例2中，運用坐標法，首先選取底面菱形對角線的交點G為坐標原點來建立直角坐標系，然后連接EG,通過兩次勾股定理的運用得到EB的長度，再根據DF與EB的關系確定E，F兩點的坐標，最后利用向量法求夾角的余弦值.

解如圖4,以底面菱形對角線的交點G為坐標原點建立直角坐標系.

圖4

設GB為單位長度1，

(三)構造回路，轉化向量解夾角

案例1設PA=AC=BC=a，

=a2,

故直線PC與AB所成角的大小為60°

案例2設AB=2.

=-3,

三、解后反思

(一)巧構回路，優化學生思維

教師應該重視介紹和引導學生用“回路 ”向量法來思考和分析問題，因為抓住 “回路 ”和選好 “回路 ”往往是解決不易解決或較難建立坐標系的異面直線夾角問題的關鍵與契機.通過構造回路，學生能得到有關聯的向量積形式，從而直接算出結果.這種方法能優化學生的思維，巧妙構造回路的過程就是學生數學思維培養的過程.

(二)提升素養，回歸向量本質

案例3在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，則直線BM與AN所成角的余弦值為( ).

解設BC=CA=CC1=m.

所以選C.

(三)拓展應用

圖5

解法1(坐標法)

設圓臺上、下底面圓半徑分別為r，R.

∵πr2=9π，∴r=3.

∵πR2=36π，∴R=6.

過點B1作B1H⊥AB于點H，如圖6，則HB=3，

圖6

∵二面角B1-AA1-C1是直二面角，

∴建立空間直角坐標系A-xyz，如圖7，

圖7

=-9，

核心素養中提出要培育學生的直觀想象能力，增強學生運用圖形和空間想象思考問題的意識.向量作為幾何和代數之間的橋梁，在研究幾何中有著重要的作用.向量語言可以解決數學中的一些問題，向量中最基本的法則是三角形法則，也就是上文所說的回路.所以回路法也是一種回歸基礎、回歸本質的方法，它既是平面向量教學的起點，又是空間向量教學的起點.通過構造回路建立起向量和幾何之間的關系，學生可以用向量來解決幾何問題.提升學生的數學素養是所有教師共同的目標，通過構造回路，學生能在理解向量本質的同時提升核心素養.